[latexpage]
Рассмотрим неравенства, которые можно очень быстро и просто решить путем замены на равносильное. Тогда неравенства с модулями, радикалами, логарифмами, степенями становятся обычными рациональными.
Решим несколько неравенств методом рационализации. Табличку замен можно посмотреть здесь.
1.Решите неравенство:
$$\log_{(x+2)^2} (7x+2)\leqslant 0$$
Решение.
Показать
Определим сначала ОДЗ:
$$\begin{Bmatrix}{(x+2)^2>0}\\{ {(x+2)^2\neq 1}\\{7x+2>0}\end{matrix}$$
$$\begin{Bmatrix}{x \neq -2}\\{ x \neq -1}\\{ x \neq -3}\\{x>-\frac{2}{7}}\end{matrix}$$
Следуя таблице замен, получаем равносильное исходному неравенство:
$$((x+2)^2-1)(7x+2-1)\leqslant 0$$
$$(x^2+4x+3)(7x+1) \leqslant 0$$
Раскладываем на множители квадратный трехчлен, корни (-1) и (-3).
$$(x+1)(x+3)(x+\frac{1}{7})\leqslant 0$$
Наносим полученные точки на прямую. Расставляем знаки интервалов. Старшая степень $x$ с положительным знаком, следовательно, на самом правом интервале – знак «+».
К неравенству 1
Решение получим, наложив ОДЗ:
Ответ: $x \in (-\frac{2}{7}; -\frac{1}{7}]$
2.Решите неравенство:
$$\log_{5} (x^2+6x+5)<1$$
Решение.
Показать
Определим сначала ОДЗ:
$$x^2+6x+5>0$$
$$(x+1)(x+5) >0$$
Решение этого неравенства – $x \in (-\infty; -5) \cup (-1; \infty)$.
Перепишем неравенство:
$$\log_{5} (x^2+6x+5) -1<0$$
Следуя таблице замен, получаем равносильное исходному неравенство:
$$(5-1)(x^2+6x+5-5)<0$$
$$x^2+6x<0$$
Корни 0 и -6, наносим их на прямую:
К неравенству 2
Расставив знаки, получаем решение неравенства: $x \in (-6; 0)$.
Накладывая ОДЗ, имеем: $x \in (-6; -5) \cup (-1; 0)$
Ответ: $x \in (-6; -5) \cup (-1; 0)$
3.Решите неравенство:
$$\sqrt{3x^2+24x+50}-\sqrt{2x^2+12x+23}> 0$$
Решение:
Показать
Определим сначала ОДЗ:
$$\begin{Bmatrix}{3x^2+24x+50>0}\\{ 2x^2+12x+23>0}\end{matrix}$$
Так как у обоих трехчленов дискриминант отрицательный, то оба неравенства выполняются на всей числовой оси. Поэтому ОДЗ – $x \in R$.
Применим метод рационализации:
$$3x^2+24x+50-(2x^2+12x+23)> 0$$
$$x^2+12x+27> 0$$
Корни определяем по Виету: $x_1=-9$, $x_2=-3$. Решение: $x \in (-\infty; -9) \cup (-3; \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -9) \cup (-3; \infty)$.
4.Решите неравенство:
$$\frac{\sqrt[3]{x^2+6x+2}-\sqrt[3]{4x+17}}{2^x-8}\geqslant 0$$
Решение.
Показать
Определим сначала ОДЗ:
$$2^x-8 \neq 0$$
$$x \neq 3$$
Представим неравенство так:
$$\frac{(x^2+6x+2)^{\frac{1}{3}}-(4x+17)^{\frac{1}{3}}}{2^x-2^3}\geqslant 0$$
Применяем рационализацию:
$$\frac{(x^2+6x+2-(4x+17))\frac{1}{3}}{(2-1)(x-3)}\geqslant 0$$
$$\frac{(x^2+2x-15)}{x-3}\geqslant 0$$
Раскладываем числитель на множители:
$$\frac{(x-3)(x+5)}{x-3}\geqslant 0$$
Таким образом, точка 3 – корень двойной кратности, и в нем смены знака не произойдет. Наносим точки на прямую, точку 3 сразу выколем, учтя таким образом ОДЗ:
К неравенству 4
Ответ: $x \in \left[-5; 3\right) \cup (3; \infty)$.
5.Решите неравенство:
$$\log_{x} (3+x)-\log_x \left(\frac{10}{x}\right)>0$$
Решение.
Показать
Определим сначала ОДЗ:
$$\begin{Bmatrix}{x>0}\\{ {x \neq 1}\\{3+x>0}\\{\frac{10}{x}>0}\end{matrix}$$
$$\begin{Bmatrix}{x>0}\\{ {x \neq 1}\end{matrix}$$
Применим метод рационализации:
$$(x-1)\left(3+x-\frac{10}{x}\right)> 0$$
$$(x-1)\left(3x+x^2-10\right)> 0$$
$$(x-1)(x-2)(x+5)>0$$
Корней четной кратности нет, поэтому отмечаем точки и расставляем знаки интервалов. Точки все выколотые:
К неравенству 5
Выбираем интервалы с «плюсом»: $x \in (-5; 1) \cup (2; \infty)$.
Накладываем ОДЗ:
$$x \in (0; 1) \cup (2; \infty)$$
Ответ: $x \in (0; 1) \cup (2; \infty)$
Комментариев - 2
Здравствуйте. У Вас небольшая опечатка в 1 номере. На координатной прямой идет (-1/7), а в ответе – до (1/7). Еще немного непонятно, почему в ОДЗ х!=1, ведь исходя из (х+2)^2 != 1 по идее должно быть х != -3 и -1
Точно, спасибо. Исправила.