Рассмотрим неравенства, которые можно очень быстро и просто решить путем замены на равносильное. Тогда неравенства с модулями, радикалами, логарифмами, степенями становятся обычными рациональными.
Решим несколько неравенств методом рационализации. Табличку замен можно посмотреть здесь.
1.Решите неравенство:
![\[\log_{(x+2)^2} (7x+2)\leqslant 0\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7f34d83607d7281874dad84c57dae221_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Решение.
Определим сначала ОДЗ:
![\[\begin{Bmatrix}{(x+2)^2>0}\\{ {(x+2)^2\neq 1}\\{7x+2>0}\end{matrix}\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dcb4284f51fbc431b6348c213e7b7bd5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\begin{Bmatrix}{x \neq -2}\\{ x \neq -1}\\{ x \neq -3}\\{x>-\frac{2}{7}}\end{matrix}\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-71a1f3d5b55dcefa5321c5f8242cca26_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Следуя таблице замен, получаем равносильное исходному неравенство:
![\[((x+2)^2-1)(7x+2-1)\leqslant 0\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-29d14492dc452f0ae3af0965f8abafa5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[(x^2+4x+3)(7x+1) \leqslant 0\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cca5e04dad150c67422bd92ff495437d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Раскладываем на множители квадратный трехчлен, корни (-1) и (-3).
![\[(x+1)(x+3)(x+\frac{1}{7})\leqslant 0\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-81d362fedb0e6f59cff95eb99d8c52bb_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Наносим полученные точки на прямую. Расставляем знаки интервалов. Старшая степень 
с положительным знаком, следовательно, на самом правом интервале – знак «+».
К неравенству 1
Решение получим, наложив ОДЗ:
Ответ: ![x \in (-\frac{2}{7}; -\frac{1}{7}]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1826a4e6765378e79ec91f6dcb8937d3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
2.Решите неравенство:
![\[\log_{5} (x^2+6x+5)<1\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e5d79f22aae4aad8775355e5ad7e8eb0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Решение.
Определим сначала ОДЗ:
![\[x^2+6x+5>0\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5bdc9ee9f4a3b38205186a22629d5750_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[(x+1)(x+5) >0\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2e96acd96f0b9a7a0eda821781eb45dc_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Решение этого неравенства – 
.
Перепишем неравенство:
![\[\log_{5} (x^2+6x+5) -1<0\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-672c2c2ad91b65dad09d4443631fd6a4_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Следуя таблице замен, получаем равносильное исходному неравенство:
![\[(5-1)(x^2+6x+5-5)<0\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4b473fca9740a99ea4ad21048667ffa1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[x^2+6x<0\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e6d650a5f8c46eca13d1815f245630f6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Корни 0 и -6, наносим их на прямую:
К неравенству 2
Расставив знаки, получаем решение неравенства: 
.
Накладывая ОДЗ, имеем: 
Ответ:
3.Решите неравенство:
![\[\sqrt{3x^2+24x+50}-\sqrt{2x^2+12x+23}> 0\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-32c3920c617f08fd4e7972ef6bda0524_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Решение:
Определим сначала ОДЗ:
![\[\begin{Bmatrix}{3x^2+24x+50>0}\\{ 2x^2+12x+23>0}\end{matrix}\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b83bd8418c1dee3acd93e65661c560e5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Так как у обоих трехчленов дискриминант отрицательный, то оба неравенства выполняются на всей числовой оси. Поэтому ОДЗ – 
.
Применим метод рационализации:
![\[3x^2+24x+50-(2x^2+12x+23)> 0\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-78132ba13cc57737b3a3e7bba7d61194_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[x^2+12x+27> 0\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7288b794d96523b81534df21b9233f48_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Корни определяем по Виету: 
, 
. Решение: 
.
Ответ: .
4.Решите неравенство:
![\[\frac{\sqrt[3]{x^2+6x+2}-\sqrt[3]{4x+17}}{2^x-8}\geqslant 0\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-139318b6591246da791f35cf110fd7ed_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Решение.
Определим сначала ОДЗ:
![\[2^x-8 \neq 0\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e5e583be6f929400d902a9412e3062d4_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[x \neq 3\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f57a9d5d0dc1719bd2776dd185faa97e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Представим неравенство так:
![\[\frac{(x^2+6x+2)^{\frac{1}{3}}-(4x+17)^{\frac{1}{3}}}{2^x-2^3}\geqslant 0\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-45852be5e4edaf4624af55808d1aed57_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Применяем рационализацию:
![\[\frac{(x^2+6x+2-(4x+17))\frac{1}{3}}{(2-1)(x-3)}\geqslant 0\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-64ab3cb225cc190f771bb30eba7fb6cc_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\frac{(x^2+2x-15)}{x-3}\geqslant 0\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-beff69be4d6d08cd3e52cfa88f03d053_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Раскладываем числитель на множители:
![\[\frac{(x-3)(x+5)}{x-3}\geqslant 0\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-67b628db0aff77abe7c1014f27393048_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Таким образом, точка 3 – корень двойной кратности, и в нем смены знака не произойдет. Наносим точки на прямую, точку 3 сразу выколем, учтя таким образом ОДЗ:
К неравенству 4
Ответ: 
.
5.Решите неравенство:
![\[\log_{x} (3+x)-\log_x \left(\frac{10}{x}\right)>0\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3e992f7da7a14cefc90eb85742a7021f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Решение.
Определим сначала ОДЗ:
![\[\begin{Bmatrix}{x>0}\\{ {x \neq 1}\\{3+x>0}\\{\frac{10}{x}>0}\end{matrix}\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dabe887befc85ea5bca8e926f71798f2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\begin{Bmatrix}{x>0}\\{ {x \neq 1}\end{matrix}\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8f4e99326f5e581e271c39b56040233b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Применим метод рационализации:
![\[(x-1)\left(3+x-\frac{10}{x}\right)> 0\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d41b6d0ce19f8d68bfe36ff10fb6f8e7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[(x-1)\left(3x+x^2-10\right)> 0\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-580e8eb1bd8b6a8789da8357bb31b58a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[(x-1)(x-2)(x+5)>0\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8f0c5495bfc0c038c3b092d33a4af692_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Корней четной кратности нет, поэтому отмечаем точки и расставляем знаки интервалов. Точки все выколотые:
К неравенству 5
Выбираем интервалы с «плюсом»: 
.
Накладываем ОДЗ:
![\[x \in (0; 1) \cup (2; \infty)\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-643a79721d1f1aa0a74cc6876e736d45_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ответ: 
Все материалы сайта бесплатны! Копируя, ставьте пожалуйста ссылку на сайт "Простая физика".
Комментариев - 2
Здравствуйте. У Вас небольшая опечатка в 1 номере. На координатной прямой идет (-1/7), а в ответе – до (1/7). Еще немного непонятно, почему в ОДЗ х!=1, ведь исходя из (х+2)^2 != 1 по идее должно быть х != -3 и -1
Точно, спасибо. Исправила.