Рассмотрим неравенства, которые можно очень быстро и просто решить путем замены на равносильное. Тогда неравенства с модулями, радикалами, логарифмами, степенями становятся обычными рациональными.
Решим несколько неравенств методом рационализации. Табличку замен можно посмотреть здесь.
1.Решите неравенство:
![\[\log_{(x+2)^2} (7x+2)\leqslant 0\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-403f5610082f1f06674a2588bb8d3cd9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Решение.
Определим сначала ОДЗ:
![\[\begin{Bmatrix}{(x+2)^2>0}\\{ {(x+2)^2\neq 1}\\{7x+2>0}\end{matrix}\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cd6eaa35ae7089e96d74821d93005531_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\begin{Bmatrix}{x \neq -2}\\{ x \neq -1}\\{ x \neq -3}\\{x>-\frac{2}{7}}\end{matrix}\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7fe6a24deae94312af4828426354df10_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Следуя таблице замен, получаем равносильное исходному неравенство:
![\[((x+2)^2-1)(7x+2-1)\leqslant 0\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a7e236e82358ce62d7580f7c05ed994f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[(x^2+4x+3)(7x+1) \leqslant 0\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-88dff1b36a5eff4b98f607ac2ebe8238_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Раскладываем на множители квадратный трехчлен, корни (-1) и (-3).
![\[(x+1)(x+3)(x+\frac{1}{7})\leqslant 0\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ae47a0987c57ba9f96b0e2565b8b7032_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Наносим полученные точки на прямую. Расставляем знаки интервалов. Старшая степень 
с положительным знаком, следовательно, на самом правом интервале – знак «+».
К неравенству 1
Решение получим, наложив ОДЗ:
Ответ: ![x \in (-\frac{2}{7}; -\frac{1}{7}]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1766193c4f499c8dd9d5f8c4bafafd07_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
2.Решите неравенство:
![\[\log_{5} (x^2+6x+5)<1\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6227f4931b1fd2464b4455f294229328_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Решение.
Определим сначала ОДЗ:
![\[x^2+6x+5>0\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-069c95eb7b5012c976f25dd42d541f53_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[(x+1)(x+5) >0\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cdd0693350ba3b1a74a9cc746c66f421_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Решение этого неравенства – 
.
Перепишем неравенство:
![\[\log_{5} (x^2+6x+5) -1<0\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-15545e8b991fe36a1f15427a31a88bf3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Следуя таблице замен, получаем равносильное исходному неравенство:
![\[(5-1)(x^2+6x+5-5)<0\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-693718e23ad4136a88c02cd46f4e5a41_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[x^2+6x<0\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7ca9e4718714b957811f7503932c60f6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Корни 0 и -6, наносим их на прямую:
К неравенству 2
Расставив знаки, получаем решение неравенства: 
.
Накладывая ОДЗ, имеем: 
Ответ:
3.Решите неравенство:
![\[\sqrt{3x^2+24x+50}-\sqrt{2x^2+12x+23}> 0\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0a06998c81a20c1c877c4eb6a3568e1b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Решение:
Определим сначала ОДЗ:
![\[\begin{Bmatrix}{3x^2+24x+50>0}\\{ 2x^2+12x+23>0}\end{matrix}\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d8a02b89d5e766e23c2bb1b93d57ea37_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Так как у обоих трехчленов дискриминант отрицательный, то оба неравенства выполняются на всей числовой оси. Поэтому ОДЗ – 
.
Применим метод рационализации:
![\[3x^2+24x+50-(2x^2+12x+23)> 0\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1bc86e3bff50ba87907a50c186baf58e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[x^2+12x+27> 0\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0289aa150dca4f922f1bccdeee5e35ff_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Корни определяем по Виету: 
, 
. Решение: 
.
Ответ: .
4.Решите неравенство:
![\[\frac{\sqrt[3]{x^2+6x+2}-\sqrt[3]{4x+17}}{2^x-8}\geqslant 0\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e2bd8386cc39f668b19f38c57a65f148_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Решение.
Определим сначала ОДЗ:
![\[2^x-8 \neq 0\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-aa97452307e6b8bf68995477b5f2dc59_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[x \neq 3\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-175f6b5848376369e26732f8113bb5be_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Представим неравенство так:
![\[\frac{(x^2+6x+2)^{\frac{1}{3}}-(4x+17)^{\frac{1}{3}}}{2^x-2^3}\geqslant 0\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4282fb40c43a4d873d4f0e59be74ea0b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Применяем рационализацию:
![\[\frac{(x^2+6x+2-(4x+17))\frac{1}{3}}{(2-1)(x-3)}\geqslant 0\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f0b3baa705880dd4fb27fd2cb6fe3ebc_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\frac{(x^2+2x-15)}{x-3}\geqslant 0\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-29a88993236c03528abeb5d8d16a2adc_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Раскладываем числитель на множители:
![\[\frac{(x-3)(x+5)}{x-3}\geqslant 0\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-41ae42f6290e8ceb64b19165a9ac2fd3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Таким образом, точка 3 – корень двойной кратности, и в нем смены знака не произойдет. Наносим точки на прямую, точку 3 сразу выколем, учтя таким образом ОДЗ:
К неравенству 4
Ответ: 
.
5.Решите неравенство:
![\[\log_{x} (3+x)-\log_x \left(\frac{10}{x}\right)>0\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6330a6194e8a91d2c95786498173ea8e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Решение.
Определим сначала ОДЗ:
![\[\begin{Bmatrix}{x>0}\\{ {x \neq 1}\\{3+x>0}\\{\frac{10}{x}>0}\end{matrix}\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-606401dc75d8f6de770c5598a827d361_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\begin{Bmatrix}{x>0}\\{ {x \neq 1}\end{matrix}\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a54ea4feb75a552d9bbb57207e971be5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Применим метод рационализации:
![\[(x-1)\left(3+x-\frac{10}{x}\right)> 0\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8f5e1f6bb9f8a0b39239d46bd1ba965c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[(x-1)\left(3x+x^2-10\right)> 0\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cf07a03b1f5a8e2a0811d8d0dd4c6f45_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[(x-1)(x-2)(x+5)>0\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7a974f79288b2ddd547c83d256eab272_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Корней четной кратности нет, поэтому отмечаем точки и расставляем знаки интервалов. Точки все выколотые:
К неравенству 5
Выбираем интервалы с «плюсом»: 
.
Накладываем ОДЗ:
![\[x \in (0; 1) \cup (2; \infty)\]](http://easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-14b57ceebece81a05cc0c9a5563ea650_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ответ: 
Все материалы сайта бесплатны! Копируя, ставьте пожалуйста ссылку на сайт "Простая физика".
Комментариев - 2
Здравствуйте. У Вас небольшая опечатка в 1 номере. На координатной прямой идет (-1/7), а в ответе – до (1/7). Еще немного непонятно, почему в ОДЗ х!=1, ведь исходя из (х+2)^2 != 1 по идее должно быть х != -3 и -1
Точно, спасибо. Исправила.