Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 11, ОГЭ 22 (ГИА С2)

Метод Пирсона в решении задач на сплавы и смеси

В этой статье я расскажу о методе Пирсона, применяемом для решения задач на растворы, сплавы и смеси.  Метод этот может сильно облегчить жизнь многим школьникам, однако применять его надо не бездумно. Поэтому давайте разберемся, как это работает.

Пусть требуется приготовить раствор определенной концентрации. В нашем распоряжении имеется два раствора: один с более высокой, чем требуемая, другой с  менее высокой концентрацией, чем нужно.

Если обозначить массу первого раствора через ,  а второго – через , то при смешивании общая масса смеси будет складываться из суммы этих масс:

Пусть массовая доля растворённого вещества в первом растворе –   , во втором –  , а в их смеси –  .

При решении задач на сплавы-смеси  мы обычно составляем таблицу и пользуемся ею для получения уравнения или системы уравнений. Сделаем так и в этот раз:

Массы растворовМассовая доля вещества в раствореПроцентное содержание вещества в растворе
1раствор или сплавm1q1q1*100m1*q1
2 раствор или сплав m2q2q2*100m2*q2
Смесьm1+m2qm1*q1+m2*q2

Тогда общая масса растворённого вещества в смеси будет складываться из масс растворённого  вещества в исходных растворах:

   

Или

   

Далее находим отношение масс:

   

Очевидно, что отношение массы первого раствора к массе второго раствора есть отношение разности массовых долей растворённого  вещества в смеси и во втором растворе к разности соответствующих      величин в первом растворе и в смеси.

При решении задач на растворы с разными концентрациями чаще всего применяют диагональную схему правила смешения, или квадрат Пирсона.

При расчётах записывают одну над другой массовые доли растворённого вещества в исходных растворах, справа между ними – его массовую долю в растворе, который нужно приготовить, и вычитают по диагонали из большего меньшее значение.

Эти разности и показывают массовые доли для первого и второго растворов, необходимые для приготовления нужного раствора.

 

Задача 1. В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Делаем такой рисунок: в первой строке концентрация первого раствора, а под ней – второго. Посередине,  между известными концентрациями растворов, расположим неизвестную нам концентрацию смеси, обозначив ее за . Теперь проводим стрелки, как показано на рисунке, и на конце стрелочек записываем разности. При записи разностей правило простое: надо вычитать из большего меньшее. В конце каждой строчки впишем массу растворов 1 и 2.

Рисунок 1

Теперь обратимся к этой части рисунка. Чтобы составить пропорцию, надо провести черточки дробей и поставить знак равно, как показано рыжим цветом.

Рисунок 2

Решаем полученную пропорцию:

   

   

   

   

   

Ответ: концентрация смеси равна %.

 

Задача 2. Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Рисунок 3

Снова записываем концентрации растворов 1 и 2 друг под другом, затем правее посерединке неизвестную нам концентрацию смеси (пусть снова будет ), а дальше проводим стрелки и записываем разности концентраций, только не забываем: надо вычитать из большего меньшее. Концентрация смеси никак не может быть больше 19 %, и не может быть меньше 15 %. То есть и , следовательно, первая разность будет , а вторая  – (вычли из большего меньшее).

Еще правее надо записать массы растворов. Они нам неизвестны, но одинаковы, поэтому просто обозначим их за .  В правой части рисунка проводим дробные черты и ставим знак равно, как показано здесь:

Рисунок 4

Тогда полученная пропорция:

   

   

   

   

   

Ответ: концентрация смеси равна %.

 

Задача 3. Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй  — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Проделываем все те же операции, и снова составляем пропорцию.

Рисунок 5

   

   

   

Известно также, что , поэтому

   

   

   

Тогда и масса первого меньше массы второго на 100 кг.

Ответ: 100 кг.

 

Рисунок 6

Задача 4. Первый сплав содержит 10% меди, второй  — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте

Глядя на рисунок, составляем пропорцию. Причем сразу вместо давайте запишем :

   

   

   

   

   

Масса третьего сплава, очевидно, сумма первых двух: .

Ответ: 9 кг.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *