[latexpage]
Предлагаю сегодня рассмотреть интересный способ решения неравенств: метод оценки. Иногда применение такого метода существенно облегчает решение, и даже по сравнению с методом рационализации оно оказывается проще.
Задача 1. Решим неравенство:
$$\frac{\log_9 (2-x)-\log_{15} (2-x)}{\log_{15} x-\log_{25} x} \leqslant \log_{25} 9$$
Сразу запишем ОДЗ:
$$\begin{Bmatrix}{2-x>0}\\{x>0}\\{\log_{15} x-\log_{25} x \neq 0}\end{matrix}$$
$$\begin{Bmatrix}{x<2}\\{x>0}\\{x \neq 1}\end{matrix}$$
ОДЗ: $x \in (0;1) \cup (1;2)$
Теперь решим само неравенство. Для этого оценим числитель:
$$\log_9 (2-x)-\log_{15} (2-x)=\frac{1}{\log_{2-x} 9}-\frac{1}{\log_{2-x} 15}=$$
$$=\frac{\log_{2-x} {\frac{15}{9}}}{\log_{2-x} 9 \cdot \log_{2-x} 15}$$
Если $x \in (0;1)$, то основание логарифма больше 1, и очевидно, что все логарифмы, входящие в это выражение – положительные числа, таким образом, и числитель, и знаменатель – положительны и дробь положительна.
Если $x \in (1;2)$, то основание логарифма меньше 1, и все логарифмы, входящие в это выражение – отрицательные числа, таким образом числитель выражения отрицателен, а знаменатель – положителен и дробь отрицательна.
Теперь то же самое проделаем со знаменателем:
$$\log_{15} x-\log_{25} x =\frac{1}{\log_x 15}-\frac{1}{\log_x 25}=$$
$$=\frac{\log_x {\frac{25}{15}}}{\log_x 15 \cdot \log_x 25}$$
Если $x \in (0;1)$, то основание логарифма меньше 1, и все логарифмы, входящие в это выражение – отрицательные числа, таким образом, числитель выражения отрицателен, а знаменатель – положителен и дробь отрицательна.
Если $x \in (1;2)$, то основание логарифма больше 1, и очевидно, что все логарифмы, входящие в это выражение – положительные числа, таким образом, и числитель, и знаменатель – положительны и дробь положительна.
Получаем, что при всех $x$ вся дробь, стоящая в левой части неравенства, всегда отрицательна (потому что при положительном числителе отрицателен знаменатель и наоборот). В правой же части стоит положительная величина: $\log_{25} 9$. То есть это неравенство выполняется всегда на ОДЗ. И решение тогда – ОДЗ.
Ответ: $x \in (0;1) \cup (1;2)$
Задача 2. Решим неравенство:
$$\log_5^2 (3x-3)+\sqrt{3x-4}+ \mid 8x-6x^2 \mid \leqslant 0$$
Сразу запишем ОДЗ:
$$\begin{Bmatrix}{3x-3>0}\\{3x-4\geqslant 0}\end{matrix}$$
$$\begin{Bmatrix}{x>1}\\{x\geqslant\frac{4}{3}}\end{matrix}$$
ОДЗ: $x \in [\frac{4}{3}; + \infty)$.
Оценим слагаемые: логарифм возведен в квадрат, следовательно, это величина неотрицательная, второе слагаемое – результат извлечения корня – также неотрицательно, третье слагаемое – неотрицательно, потому что присутствует модуль. Таким образом, сумма неотрицательных слагаемых не может быть меньше нуля, в крайнем случае их сумма даст 0 в результате. А это может быть, только если все слагаемые равны нулю одновременно:
$$\begin{Bmatrix}{\log_5 (3x-3)=0}\\{\sqrt{3x-4}= 0}\\{\mid 8x-6x^2 \mid=0}\end{matrix}$$
То есть $x=\frac{4}{3}$ – у этого неравенства решением является единственная точка.
Ответ: $x=\frac{4}{3}$.
В 14-ой нашел отношение q1\q2 + q2\q1 = 7 а дальше никак не...
Почему в 13 задании объем воды уменьшается? У нас же плавится...
А как решается 6-й...
Понял,...
Потому что дана не удельная, а просто теплоемкость - она уже внутри себя несет...