Метод оценки

[latexpage]

Предлагаю сегодня рассмотреть интересный способ решения неравенств: метод оценки. Иногда применение такого метода существенно облегчает решение, и даже по сравнению с методом рационализации оно оказывается проще.

Задача 1. Решим неравенство:

$$\frac{\log_9 (2-x)-\log_{15} (2-x)}{\log_{15} x-\log_{25} x} \leqslant \log_{25} 9$$

Сразу запишем ОДЗ:

$$\begin{Bmatrix}{2-x>0}\\{x>0}\\{\log_{15} x-\log_{25} x  \neq 0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{x<2}\\{x>0}\\{x \neq 1}\end{matrix}$$

ОДЗ: $x \in (0;1) \cup (1;2)$

Теперь решим само неравенство. Для этого оценим числитель:

$$\log_9 (2-x)-\log_{15} (2-x)=\frac{1}{\log_{2-x} 9}-\frac{1}{\log_{2-x} 15}=$$

$$=\frac{\log_{2-x} {\frac{15}{9}}}{\log_{2-x} 9 \cdot \log_{2-x} 15}$$

Если $x \in (0;1)$, то основание логарифма больше 1, и очевидно, что все логарифмы, входящие в это выражение – положительные числа, таким образом, и числитель, и знаменатель – положительны и дробь положительна.

Если $x \in (1;2)$, то основание логарифма меньше 1, и  все логарифмы, входящие в это выражение – отрицательные числа, таким образом числитель выражения отрицателен, а знаменатель – положителен и дробь отрицательна.

Теперь то же самое проделаем со знаменателем:

$$\log_{15} x-\log_{25} x =\frac{1}{\log_x 15}-\frac{1}{\log_x 25}=$$

$$=\frac{\log_x {\frac{25}{15}}}{\log_x 15 \cdot \log_x 25}$$

Если $x \in (0;1)$, то основание логарифма меньше 1, и  все логарифмы, входящие в это выражение – отрицательные числа, таким образом, числитель выражения отрицателен, а знаменатель – положителен и дробь отрицательна.

Если $x \in (1;2)$, то основание логарифма больше 1, и очевидно, что все логарифмы, входящие в это выражение – положительные числа, таким образом, и числитель, и знаменатель – положительны и дробь положительна.

Получаем, что при всех $x$ вся дробь, стоящая в левой части неравенства, всегда отрицательна (потому что при положительном числителе отрицателен знаменатель и наоборот). В правой же части стоит положительная величина: $\log_{25} 9$. То есть это неравенство выполняется всегда на ОДЗ. И решение тогда – ОДЗ.

Ответ: $x \in (0;1) \cup (1;2)$

Задача 2. Решим неравенство:

$$\log_5^2 (3x-3)+\sqrt{3x-4}+ \mid 8x-6x^2 \mid \leqslant 0$$

Сразу запишем ОДЗ:

$$\begin{Bmatrix}{3x-3>0}\\{3x-4\geqslant 0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{x>1}\\{x\geqslant\frac{4}{3}}\end{matrix}$$

ОДЗ: $x \in [\frac{4}{3}; + \infty)$.

Оценим слагаемые: логарифм возведен в квадрат, следовательно, это величина неотрицательная, второе слагаемое – результат извлечения корня – также неотрицательно, третье слагаемое – неотрицательно, потому что присутствует модуль. Таким образом, сумма неотрицательных слагаемых не может быть меньше нуля, в крайнем случае их сумма даст 0 в результате. А это может быть, только если все слагаемые равны нулю одновременно:

$$\begin{Bmatrix}{\log_5 (3x-3)=0}\\{\sqrt{3x-4}= 0}\\{\mid 8x-6x^2 \mid=0}\end{matrix}$$

То есть $x=\frac{4}{3}$ – у этого неравенства решением является единственная точка.

Ответ: $x=\frac{4}{3}$.