Метод оценки

Предлагаю сегодня рассмотреть интересный способ решения неравенств: метод оценки. Иногда применение такого метода существенно облегчает решение, и даже по сравнению с методом рационализации оно оказывается проще.

Задача 1. Решим неравенство:

Сразу запишем ОДЗ:

ОДЗ:

Теперь решим само неравенство. Для этого оценим числитель:

Если , то основание логарифма больше 1, и очевидно, что все логарифмы, входящие в это выражение – положительные числа, таким образом, и числитель, и знаменатель – положительны и дробь положительна.

Если , то основание логарифма меньше 1, и  все логарифмы, входящие в это выражение – отрицательные числа, таким образом числитель выражения отрицателен, а знаменатель – положителен и дробь отрицательна.

Теперь то же самое проделаем со знаменателем:

Если , то основание логарифма меньше 1, и  все логарифмы, входящие в это выражение – отрицательные числа, таким образом, числитель выражения отрицателен, а знаменатель – положителен и дробь отрицательна.

Если , то основание логарифма больше 1, и очевидно, что все логарифмы, входящие в это выражение – положительные числа, таким образом, и числитель, и знаменатель – положительны и дробь положительна.

Получаем, что при всех вся дробь, стоящая в левой части неравенства, всегда отрицательна (потому что при положительном числителе отрицателен знаменатель и наоборот). В правой же части стоит положительная величина: . То есть это неравенство выполняется всегда на ОДЗ. И решение тогда – ОДЗ.

Ответ:

Задача 2. Решим неравенство:

Сразу запишем ОДЗ:

ОДЗ: .

Оценим слагаемые: логарифм возведен в квадрат, следовательно, это величина неотрицательная, второе слагаемое – результат извлечения корня – также неотрицательно, третье слагаемое – неотрицательно, потому что присутствует модуль. Таким образом, сумма неотрицательных слагаемых не может быть меньше нуля, в крайнем случае их сумма даст 0 в результате. А это может быть, только если все слагаемые равны нулю одновременно:

То есть – у этого неравенства решением является единственная точка.

Ответ: .