Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Неравенства (15 (С3))

Метод мажорант

В этой статье приведен метод решения неравенств, называемый методом мажорант. Некоторые называют задачи на этот метод задачами на минимакс. Названия могут меняться, но суть – в оценке обеих частей неравенства.


Задача 1. Решить неравенство:

    \[\log_5 x\leqslant \sqrt{1-x^4}\]

Ограничения:

    \[\begin{Bmatrix}{ x>0}\\{ 1-x^4\geqslant 0}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{ x>0}\\{ x\leqslant 1}\end{matrix}\]

Оцениваем логарифм при данных x: он оказывается всегда меньше нуля. А \sqrt{1-x^4} при данных x – больше нуля. Таким образом, на ОДЗ неравенство всегда выполняется.

Ответ: x \in (0; 1]

 

Задача 2. Решить неравенство:

    \[\sqrt{16-(5x+2)^2}\geqslant 4+\cos^2 \frac{15 \pi x}{4}\]

Оцениваем правую часть:

    \[4\leqslant 4+\cos^2 \frac{15 \pi x}{4}\leqslant 5\]

Оцениваем левую часть. (5x+2)^2 – величина неотрицательная, поэтому

    \[16-(5x+2)^2\leqslant 16\]

 

    \[\sqrt{16-(5x+2)^2}\leqslant 4\]

То есть возможно только равенство левой части четырем.

Тогда

    \[\begin{Bmatrix}{ \sqrt{16-(5x+2)^2}= 4}\\{ 4+\cos^2 \frac{15 \pi x}{4}=4}\end{matrix}\]

    \[5x+2=0\]

    \[x=-0,4\]

Проверим выполнение второго уравнения системы:

    \[\frac{15 \pi x}{4}=\frac{15 \pi \cdot(-0,4)}{4}=-1,5\pi\]

    \[\cos(-1,5\pi})=0\]

Выполнено.

Ответ: x=-0,4.

Задача 3. Решить неравенство:

    \[\sqrt{x+7}+\sqrt{11-x}\geqslant 3\sqrt[4]{x^2-4x+20}\]

Ограничения:

    \[\begin{Bmatrix}{ x+7\geqslant 0}\\{ 11-x\geqslant 0}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{ x\geqslant -7}\\{ x\leqslant 11}\end{matrix}\]

Чтобы оценить левую часть, введем функцию

    \[f(x)=(x+7)^{\frac{1}{2}}+(11-x)^{\frac{1}{2}}\]

Исследуем ее, взяв производную:

    \[f'(x)= \frac{1}{2} \cdot(x+7)^{-\frac{1}{2}}-\frac{1}{2} \cdot(11-x)^{-\frac{1}{2}}=0\]

    \[\frac{\sqrt{11-x}-\sqrt{x+7}}{\sqrt{(x+7)(11-x)}}=0\]

    \[\sqrt{11-x}=\sqrt{x+7}\]

    \[11-x=x+7\]

    \[x=2\]

В точке 2 производная меняет знак с положительного на отрицательный – это точка максимума функции. Определим значение функции в этой точке:

    \[f(2)=(2+7)^{\frac{1}{2}}+(11-2)^{\frac{1}{2}}=6\]

То есть

    \[\sqrt{x+7}+\sqrt{11-x}\leqslant 6\]

Оценим правую часть:

    \[3\sqrt[4]{x^2-4x+20}=3\sqrt[4]{x^2-4x+16+4}=3\sqrt[4]{(x-2)^2+16}\]

При x=2 значение этого выражения минимально и равно 6.

Таким образом, возможно равенство обеих частей при x=2

Ответ: x=2.

Задача 4. Решить неравенство:

    \[\sqrt{x^3+8x^2-7x-26}+\sqrt{x^2+3x-10}\leqslant 0\]

Слева – сумма двух неотрицательных слагаемых. Она может быть равна нулю при условии равенства нулю обоих слагаемых:

    \[\begin{Bmatrix}{ x^3+8x^2-7x-26=0}\\{ x^2+3x-10=0}\end{matrix}\]

Второе уравнение имеет корни 2 и (-5), и первому уравнению удовлетворяет первый из них.

Ответ: x=2.

 

Задача 5. Решить неравенство:

    \[\sqrt{x^2-5x-14}+\lg(x^2-6x+10)>0\]

Ограничения:

    \[\begin{Bmatrix}{ x^2-5x-14\geqslant 0}\\{ x^2-6x+10>0}\end{matrix}\]

Решая первое неравенство, имеем x \in (-\infty; -2]\cup [7; +\infty). Второй трехчлен всегда положителен вследствие отрицательности его дискриминанта.

Левая часть неравенства неотрицательна. Уравнение

    \[\sqrt{x^2-5x-14}+\lg(x^2-6x+10)=0\]

Может иметь корни при равенстве нулю обоих слагаемых.

Но система

    \[\begin{Bmatrix}{ \sqrt{x^2-5x-14}=0}\\{ \lg(x^2-6x+10)=0}\end{matrix}\]

Не имеет решений. Поэтому решение неравенства – его ОДЗ.

Ответ: x \in (-\infty; -2]\cup [7; +\infty).
Еще два неравенства, решаемых этим методом, здесь.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *