Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Уравнения (13 (С1))

Метод дополнительного угла в тригонометрических уравнениях

Два тригонометрических уравнения, использующих метод введения дополнительного угла.

Задача 1. Решить уравнение:

    \[\sqrt{6}(\sin x+\cos x)+\sqrt{2}(\sin x-\cos x)=2\]

    \[\sqrt{6}\sin x+\sqrt{6}\cos x+\sqrt{2}\sin x-\sqrt{2}\cos x=2\]

    \[(\sqrt{6}+\sqrt{2})\sin x+(\sqrt{6}-\sqrt{2})\cos x=2\]

Вводим дополнительный угол: A\sin x+B\cos x=R\sin (x+\varphi), R=\sqrt{A^2+B^2}, \sin \varphi=\frac{B}{R}, \cos \varphi=\frac{A}{R}. Тогда у нас R=4, \sin \varphi=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}, \cos \varphi=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}.

Делаем вывод, что \varphi=\frac{\pi}{12}, так как

    \[\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}\]

Если \sin \frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}; \cos \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}, то

    \[\sin^2\frac{\pi}{12}=\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{2-\sqrt{3}}{4}\]

    \[\sin\frac{\pi}{12}=\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}}=\sqrt{\frac{8-4\sqrt{3}}{16}}=\sqrt{\frac{6-4\sqrt{3}+2}{16}}=\sqrt{\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})^2}{16}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\]

Тогда

    \[4\sin \left(x+\frac{\pi}{12}\right)=2\]

    \[\sin \left(x+\frac{\pi}{12}\right)=\frac{1}{2}\]

    \[x+\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{6}+2\pi n, n \in Z\]

    \[x+\frac{\pi}{12}=\frac{5\pi}{6}+2\pi n, n \in Z\]

    \[x=\frac{\pi}{12}+2\pi n, n \in Z\]

    \[x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n, n \in Z\]

Ответ: x=\frac{\pi}{12}+2\pi n, n \in Z; x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n, n \in Z

Задача 2. Решить уравнение:

    \[\cos(2\sin x+(1+\sqrt{3})\cos x)=\sin((1-\sqrt{3})\cos x)\]

Решение:

    \[\cos(2\sin x+(1+\sqrt{3})\cos x)=\cos(\frac{\pi}{2}-(1-\sqrt{3})\cos x)\]

Косинусы равны в случае, если сумма углов равна 2\pi, и в случае, если разность углов равна 2\pi.

Тогда

    \[2\sin x+(1+\sqrt{3})\cos x+\frac{\pi}{2}-(1-\sqrt{3})\cos x=2\pi k\]

Или

    \[2\sin x+(1+\sqrt{3})\cos x-\frac{\pi}{2}+(1-\sqrt{3})\cos x=2\pi k\]

В первом случае

    \[\sin x+\sqrt{3}\cos x=-\frac{\pi}{4}+\pi k~~~~~~~~~~(1)\]

Во втором случае

    \[\sin x+\cos x=\frac{\pi}{4}+\pi k~~~~~~~~~~~~~~(2)\]

На этом этапе можно воспользоваться формулой дополнительного угла, тогда получится для (1)

    \[\sin \varphi=\frac{\sqrt{3}}{2}, \cos \varphi=\frac{1}{2}, \varphi=\frac{\pi}{3}, R=2\]

    \[\sin x+\sqrt{3}\cos x=2\sin(x+\frac{\pi}{3})\]

Для (2)

    \[\sin \varphi=\frac{\sqrt{2}}{2}, \cos \varphi=\frac{\sqrt{2}}{2}, \varphi=\frac{\pi}{4}, R=\sqrt{2}\]

    \[\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})\]

Тогда

    \[2\sin(x+\frac{\pi}{3})=-\frac{\pi}{4}+\pi k\]

Или

    \[\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{4}+\pi k\]

Кстати, сразу отметим, что k=0, иначе наши синусы будут принимать значения, большие 1 по модулю.

Для синусов в этом случае может оказаться неудобно записывать решения, поэтому мы этим путем дальше не пойдем, а вернемся к моменту введения дополнительного угла и сделаем иначе: будем пользоваться формулами косинуса разности. Тогда в первом случае

    \[\sin x+\sqrt{3}\cos x=-\frac{\pi}{4}+\pi k~~~~~~~~~~(1)\]

    \[\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2}\]

    \[\cos(x-\frac{\pi}{6})=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2}\]

 

Во втором случае

    \[\sin x+\cos x=\frac{\pi}{4}+\pi k~~~~~~~~~~~~~~(2)\]

    \[\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x=\frac{\sqrt{2}\pi}{8}+\frac{\sqrt{2}\pi k}{2}\]

    \[\cos(x-\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}\pi}{8}+\frac{\sqrt{2}\pi k}{2}\]

Мы уже заключили ранее, что k=0, поэтому

    \[\cos(x-\frac{\pi}{6})=-\frac{\pi}{8}\]

Или

    \[\cos(x-\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}\pi}{8}\]

Окончательно:

    \[x-\frac{\pi}{6}=\pi \pm \arccos(\frac{\pi}{8})+2\pi n, n \in Z\]

Или

    \[x-\frac{\pi}{4}=\pi \pm \arccos(\frac{\sqrt{2}\pi}{8})+2\pi l, l \in Z\]

Тогда

    \[x=\frac{7\pi}{6} \pm \arccos(\frac{\pi}{8})+2\pi n, n \in Z\]

    \[x=\frac{\pi}{4} \pm \arccos(\frac{\sqrt{2}\pi}{8})+2\pi l, l \in Z\]

Ответ: x=\frac{7\pi}{6} \pm \arccos(\frac{\pi}{8})+2\pi n, n \in Z, x=\frac{\pi}{4} \pm \arccos(\frac{\sqrt{2}\pi}{8})+2\pi l, l \in Z

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *