Метод домножения на сопряженное выражение при решении неравенств

Когда мы решаем неравенства, то помним, что можно разделить неравенство на заведомо положительное выражение без смены знака, и на заведомо отрицательное – со сменой. Также известно, что можно умножить неравенство на положительное выражение. Именно это мы и будем использовать при решении приведенных ниже неравенств.

Задача. Решите неравенство:

С чего же начать решать такое неравенство? Здесь мы применим идею домножения на сопряженное выражение. Если бы в состав неравенства ( в числитель или знаменатель) входила бы скобка, знак которой мы бы точно знали, то с учетом этого знака мы могли бы на нее разделить (или умножить) наше неравенство. Когда знак скобки или множителя неизвестен, то такую скобку необходимо преобразовывать. Прием домножения на сопряженное выражение применяется,  когда в качестве такого множителя имеется разность двух положительных функций (как раз наш случай).

В числителе имеется разность модулей, а также разность корня и выражения , которые мы можем домножить на сопряженные выражения (точно положительные), в знаменателе можно разложить на множители скобочку и  заменить выражение  на – так как степень нечетная:

Теперь анализируем: если , то  , , – следовательно, знаменатель положителен. Тогда имеем систему:

Решение этой системы – .

Если , то  , , – следовательно, числитель положителен. Тогда домножаем на сопряженное выражение знаменатель:

Решением этого неравенства будет

Таким образом, полный ответ: .

Решим еще одно неравенство с использованием приема домножения на сопряженное.

К показательной и логарифмической функциям сразу применим метод рационализации, а разность модуля  и двойки домножаем на сопряженное:

Решение неравенства: