Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Колебания и волны

Маятники: задачи посложнее

В статье предложены задачи немного сложнее, чем вводные задачи на определение периодов математического и пружинного маятников. Также придется вспомнить, как раскладывать вектора на проекции и кинематические формулы.

Задача 1. В ракете помещены математический и пружинный маятники с одинаковым периодом колебаний Т= 1 с. Ракета начинает движение вертикально вверх с ускорением a=10g. На выcоте H= 50 км двигатель выключается и ракета продолжает подниматься по инерции. Сколько колебаний сделает каждый маятник за время работы двигателя ракеты и за все время подъема? Сопротивлением воздуха и уменьшением силы земного тяготения с высотой пренебречь.

Сначала разберемся с ракетой. Сколько времени ей потребовалось на подъем до 50 км? Как высоко она вообще забралась? Сколько времени длился подъем? Давайте выясним.

Ракета движется равноускоренно в течение времени t, с нулевой начальной скоростью, и преодолевает 50 км:

    \[H=\frac{at^2}{2}\]

    \[t^2=\frac{2H}{a}\]

    \[t=\sqrt{\frac{2H}{a}}\]

За это время скорость ракеты все время растет и к моменту выключения двигателя она равна

    \[\upsilon=at\]

Теперь полет равнозамедленный, ускорение g тянет ракету к земле, поэтому скорость ее будет постепенно уменьшаться, пока не станет равной нулю в наивысшей точке полета через время t_1:

    \[\upsilon-gt_1=0\]

    \[t_1=\frac{\upsilon }{g}=\frac{at}{g}=10t\]

То есть общее время полета – 11t. Теперь давайте с маятниками разбираться. Сначала пружинный, так как ему все равно, с каким ускорением двигалась ракета – его период от этого не зависит:

    \[T_{pr}=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\]

Поэтому за время работы двигателя он сделает N_{1pr} колебаний, а когда двигатель отключится – N_{2pr} колебаний:

    \[N_{1pr}=\frac{t}{T}=\sqrt{\frac{2H}{aT^2}}\]

    \[N_{2pr}=\frac{10t}{T}=\sqrt{\frac{200H}{aT^2}}\]

Всего за время подъема

    \[N_{1pr}+ N_{2pr}=\frac{t}{T}+\frac{10t}{T}=\frac{11t}{T}=\sqrt{\frac{242H}{aT^2}}=\sqrt{\frac{242H}{10gT^2}}\]

Подставим числа:

    \[N_{1pr}=\sqrt{\frac{2\cdot50000}{10 \cdot 9,8}}=10\sqrt{10}=31,9\]

    \[N_{1pr}+ N_{2pr}=\sqrt{\frac{242\cdot50000}{98,1}}=11\sqrt{1020}=351,4\]

Теперь посмотрим, как колебался математический маятник.

Его период зависит от ускорения, которое воздействует на маятник:

    \[T_{mat}=2\pi \sqrt{\frac{l}{a}}\]

На участке подъема, где двигатель работал, на маятник действовало ускорение 10g+g, следовательно, его период колебаний уменьшился в \sqrt{11} раз, тогда

    \[N_{1mat}=\frac{t}{T_1}=\sqrt{\frac{2H}{aT_1^2}}=\sqrt{\frac{22H}{aT^2}}\]

Потом, когда двигатель отключился, на маятник  ускорение  не действовало, так как ракета просто падает, неважно, что у нее есть определенная скорость, пусть даже и большая. Тогда период маятника станет равным бесконечности, следовательно,

    \[N_{2mat}=0\]

    \[N_{1mat}=\sqrt{\frac{22\cdot50000}{98,1}}=106\]

Получается, что

    \[N_{1mat}+ N_{2mat}=106\]

Ответ: N_{1pr}=32, N_{1pr}+ N_{2pr}=351, N_{1mat}=106, N_{1mat}+ N_{2mat}=106.
Задача 2. Математический маятник длиной l= 1 м подвешен в вагоне, движущемся горизонтально с ускорением a = 6 м/с^2. Найти период колебаний этого маятника. Какой угол составляет линия отвеса маятника с вертикалью в движущемся вагоне при отсутствии колебаний?

На маятник будет воздействовать ускорение, являющееся суммой \vec{a} и \vec{g}:

    \[a_1=\sqrt{a^2+g^2}\]

Период колебаний такого маятника равен

    \[T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{a_1}}=2 \pi \sqrt{\frac{l}{\sqrt{a^2+g^2}}}\]

    \[T=2 \cdot (3,14) \sqrt{\frac{1}{\sqrt{6^2+10^2}}}=1,84\]

Линия отвеса тоже поменяет положение, отклонившись от вертикали на угол:

    \[\alpha=\operatorname{arctg}\frac{a}{g}=\operatorname{arctg}0,6=31^{\circ}\]

Ответ: T=1,84 с, \alpha=31^{\circ}.
Задача 3. Математический маятник укреплен на тележке. Его период колебаний Т = 1 с. Тележка скатывается (без трения) с наклонной плоскости, образующей угол \alpha =30^{\circ} с горизонтом. Найти период колебаний маятника во время скатывания тележки.

Так как тележка скатывается вниз с ускорением, то на маятник будет воздействовать уже не полное ускорение g, а только его проекция – g \cos{\alpha}.

Когда тележка была неподвижна, период маятника был равен

    \[T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}\]

Но, когда тележка покатилась вниз, период стал равен

    \[T_1=2 \pi \sqrt{\frac{l}{ g \cos{\alpha}}}\]

Поэтому, разделив одно выражение на другое, получим:

    \[\frac{T_1}{T}=\sqrt{\frac{1}{\cos{\alpha}}}\]

    \[T_1= \frac{T}{\sqrt {\cos{\alpha}}}\]

Ответ: T_1= \frac{T}{\sqrt {\cos{\alpha}}}

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *