Маятники: задачи посложнее

В статье предложены задачи немного сложнее, чем вводные задачи на определение периодов математического и пружинного маятников. Также придется вспомнить, как раскладывать вектора на проекции и кинематические формулы.

Задача 1. В ракете помещены математический и пружинный маятники с одинаковым периодом колебаний $Т= 1$ с. Ракета начинает движение вертикально вверх с ускорением $a=10g$ . На выcоте $H= 50$ км двигатель выключается и ракета продолжает подниматься по инерции. Сколько колебаний сделает каждый маятник за время работы двигателя ракеты и за все время подъема? Сопротивлением воздуха и уменьшением силы земного тяготения с высотой пренебречь.

Сначала разберемся с ракетой. Сколько времени ей потребовалось на подъем до 50 км? Как высоко она вообще забралась? Сколько времени длился подъем? Давайте выясним.

Ракета движется равноускоренно в течение времени $t$ , с нулевой начальной скоростью, и преодолевает 50 км:

$H=\frac{at^2}{2}$

$t^2=\frac{2H}{a}$

$t=\sqrt{\frac{2H}{a}}$

За это время скорость ракеты все время растет и к моменту выключения двигателя она равна

$\upsilon=at$

Теперь полет равнозамедленный, ускорение $g$ тянет ракету к земле, поэтому скорость ее будет постепенно уменьшаться, пока не станет равной нулю в наивысшей точке полета через время $t_1$ :

$\upsilon-gt_1=0$

$t_1=\frac{\upsilon }{g}=\frac{at}{g}=10t$

То есть общее время полета – $11t$ . Теперь давайте с маятниками разбираться. Сначала пружинный, так как ему все равно, с каким ускорением двигалась ракета – его период от этого не зависит:

$T_{pr}=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

Поэтому за время работы двигателя он сделает $N_{1pr}$ колебаний, а когда двигатель отключится – $N_{2pr}$ колебаний:

$N_{1pr}=\frac{t}{T}=\sqrt{\frac{2H}{aT^2}}$

$N_{2pr}=\frac{10t}{T}=\sqrt{\frac{200H}{aT^2}}$

Всего за время подъема

$N_{1pr}+ N_{2pr}=\frac{t}{T}+\frac{10t}{T}=\frac{11t}{T}=\sqrt{\frac{242H}{aT^2}}=\sqrt{\frac{242H}{10gT^2}}$

Подставим числа:

$N_{1pr}=\sqrt{\frac{2\cdot50000}{10 \cdot 9,8}}=10\sqrt{10}=31,9$

$N_{1pr}+ N_{2pr}=\sqrt{\frac{242\cdot50000}{98,1}}=11\sqrt{1020}=351,4$

Теперь посмотрим, как колебался математический маятник.

Его период зависит от ускорения, которое воздействует на маятник:

$T_{mat}=2\pi \sqrt{\frac{l}{a}}$

На участке подъема, где двигатель работал, на маятник действовало ускорение $10g+g$ , следовательно, его период колебаний уменьшился в $\sqrt{11}$ раз, тогда

$N_{1mat}=\frac{t}{T_1}=\sqrt{\frac{2H}{aT_1^2}}=\sqrt{\frac{22H}{aT^2}}$

Потом, когда двигатель отключился, на маятник ускорение не действовало, так как ракета просто падает, неважно, что у нее есть определенная скорость, пусть даже и большая. Тогда период маятника станет равным бесконечности, следовательно,

$N_{2mat}=0$

$N_{1mat}=\sqrt{\frac{22\cdot50000}{98,1}}=106$

Получается, что

$N_{1mat}+ N_{2mat}=106$

Ответ: $N_{1pr}=32$ , $N_{1pr}+ N_{2pr}=351$ , $N_{1mat}=106$ , $N_{1mat}+ N_{2mat}=106$ .
Задача 2. Математический маятник длиной $l= 1$ м подвешен в вагоне, движущемся горизонтально с ускорением $a = 6$ м/с $^2$ . Найти период колебаний этого маятника. Какой угол составляет линия отвеса маятника с вертикалью в движущемся вагоне при отсутствии колебаний?

На маятник будет воздействовать ускорение, являющееся суммой $\vec{a}$ и $\vec{g}$ :

$a_1=\sqrt{a^2+g^2}$

Период колебаний такого маятника равен

$T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{a_1}}=2 \pi \sqrt{\frac{l}{\sqrt{a^2+g^2}}}$

$T=2 \cdot (3,14) \sqrt{\frac{1}{\sqrt{6^2+10^2}}}=1,84$

Линия отвеса тоже поменяет положение, отклонившись от вертикали на угол:

$\alpha=\operatorname{arctg}\frac{a}{g}=\operatorname{arctg}0,6=31^{\circ}$

Ответ: $T=1,84$ с, $\alpha=31^{\circ}$ .
Задача 3. Математический маятник укреплен на тележке. Его период колебаний $Т = 1$ с. Тележка скатывается (без трения) с наклонной плоскости, образующей угол $\alpha =30^{\circ}$ с горизонтом. Найти период колебаний маятника во время скатывания тележки.

Так как тележка скатывается вниз с ускорением, то на маятник будет воздействовать уже не полное ускорение $g$ , а только его проекция – $g \cos{\alpha}$ .

Когда тележка была неподвижна, период маятника был равен

$T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$

Но, когда тележка покатилась вниз, период стал равен

$T_1=2 \pi \sqrt{\frac{l}{ g \cos{\alpha}}}$

Поэтому, разделив одно выражение на другое, получим:

$\frac{T_1}{T}=\sqrt{\frac{1}{\cos{\alpha}}}$

$T_1= \frac{T}{\sqrt {\cos{\alpha}}}$

Ответ: $T_1= \frac{T}{\sqrt {\cos{\alpha}}}$

Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Вс
« Авг
	1	2	3	4	5	6
7	8	9	10	11	12	13
14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27
28	29	30

Маятники: задачи посложнее

Для вас другие записи этой рубрики:

Добавить комментарий Отменить ответ

Поиск

ПОСЛЕДНИЕ КОММЕНТАРИИ

Рекомендую

Рубрики

Профи.ру

Лучший хостинг в мире!

Последние записи

Облако меток

Подписка

Введите Ваши данные:

Архивы