Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Колебания и волны

Математический маятник: задачи среднего уровня

Рассмотрим задачи среднего уровня, связанные с колебаниями тела на нити – то есть с математическим маятником. Навык решения задач – основной навык, который гарантирует высокие баллы на ЕГЭ.

Математический маятник

Задача 1. Один математический маятник имеет период с. ‚ другой – с. Каков период колебаний математического маятника, длина которого равна сумме длин данных маятников

Запишем периоды колебаний обоих маятников:

   

   

Возведем в квадрат оба уравнения:

   

   

Выразим длины нитей обоих маятников:

   

   

Сложим длины нитей:

   

Определим период маятника с такой длиной нити:

   

Ответ:
Задача 2. Математический маятник подвешен вблизи вертикальной стены и колеблется в плоскости, параллельной стене. В стену вбит гвоздь так, что середина нити маятника наталкивается на него каждый раз, когда маятник проходит положение равновесия справа налево (рис.). Найти длину нити, если период колебаний такого маятника (с помехой в виде гвоздя) с.

К задаче 2

Период колебаний такого маятника состоит из двух частей: одна часть, соответствующая длине нити , и вторая, соответствующая длине нити .

Тогда

   

   

Период равен

   

Чтобы найти длину нити, возведем в квадрат период:

   

«Вытащим» :

   

Немного «причешем»:

   

Домножим на 2 числитель и знаменатель:

   

   

Ответ:
Задача 3. Шарик подвешен на длинной нити. Первый раз его поднимают по вертикали до точки подвеса, второй раз отклоняют на небольшой угол. В каком из этих случаев шарик быстрее возвратится к начальному положению?

Если шарик висел на нити длиной и его подняли на высоту , то, когда он будет отпущен, он упадет за время согласно формулам кинематики:

   

Если шарик отклонить, то для возвращения ему потребуется полпериода:

   

Понятно, что число больше, чем .


Задача 4. Два математических маятника начинают колебаться одновременно. Когда первый маятник совершил полных колебаний, второй совершил только полных колебаний. Какова длина первого маятника, если длина второго м?

Так как второй маятник успевает выполнить вдвое меньше колебаний, то, следовательно, период этих колебаний вдвое больше, чем у первого маятника: . Вычислим отношение периодов:

   

По условию, отношение периодов равно 2:

   

   

Если , то .

Ответ:  м.
Задача 5. Маятниковые часы за сут отстают  на 1 час. Что нужно сделать с маятником, чтобы они шли верно?

Если часы отстают на 1 час, то, следовательно, то количество качаний, которые эти часы должны выполнять за 24 часа, они выполняют за 23 часа. Пусть это количество качаний . Найдем положенный период и фактический:

   

   

Отношение периодов маятников

   

Тогда, возводя в квадрат, получим:

   

   

То есть фактическая длина меньше, чем надо, следовательно, нить маятника нужно удлинить на .

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *