Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Колебания и волны

Математические маятники: задачки посложнее

В задачах этой статьи мы столкнемся с необходимостью вспомнить формулу ускорения свободного падения, наши маятники будут подниматься в лифтах и скатываться по наклонным плоскостям.

Математический маятник

Задача 1. Одно из самых высоких мест на Земле, где постоянно проживают люди, находится на высоте м над уровнем моря. На сколько будут уходить за сутки маятниковые часы, выверенные на этой высоте, если их перенести на уровень моря? Радиус Земли известен.
Можно установить, на сколько будут уходить часы, если сопоставить два периода: период маятника фактический (на фактической высоте в м над уровнем моря) и период, каким бы он был, спусти мы этот маятник с гор на уровень моря.

Период фактический:

   

   

Откуда

   

Тогда на уровне моря у маятника был бы период , и

   

То есть

   

А так как ускорение свободного падения зависит от высоты над уровнем моря, то можно записать, что

   

Тогда

   

Или

   

Когда маятник был на вершине, он совершал колебаний в сутки, и получалось, что часа.

Теперь, на уровне моря, колебаний уже не есть 24 часа, поэтому маятник уйдет на определенное время, равное :

   

Ответ: 70 с
Задача 2. Какую длину должен иметь маятник Фуко, если представить себе, что он установлен на планете, плотность которой равна плотности Земли, а радиус в 2 раза меньше? Маятник совершает три колебания в минуту.

Период маятника равен с. По периоду можно установить длину такого маятника, если известно ускорение свободного падения. Но на планете с радиусом меньшим, чем земной, ускорение будет равно

   

Тогда длина маятника равна

   

   

   

Ответ: м.

 

Задача 3. Вблизи рудного месторождения период колебаний маятника изменился на % . Плотность руды в месторождении г/см. Оценить радиус месторождения , если средняя плотность Земли г/см.

Очевидно, что в районе месторождения средняя плотность породы больше, следовательно, больше и ускорение свободного падения, ведь оно прямо зависит от плотности:

   

Поскольку зависимость периода математического маятника от ускорения свободного падения обратная: , то очевидно, что период с увеличением плотности уменьшается. Тогда можно записать период маятника вдали от месторождения:

   

Период маятника вблизи месторождения:

   

Отношение периодов:

   

   

С другой стороны, так как период уменьшился вблизи месторождения, то

   

То есть

   

   

   

Теперь нужно записать ускорение свободного падения и его изменение в районе месторождения:

   

А в районе месторождения

   

Теперь вычтем из последнего равенство предыдущее:

   

И разделим на :

   

   

   

Подставим отношение ускорений:

   

Выразим радиус месторождения:

   

   

В числителе можно пренебречь величиной , в знаменателе можно можно приближенно заменить на , получим:

   

Подставим числа и рассчитаем радиус месторождения. При этом радиус земли подставим в км, при этом результат тоже получится в км, а плотности можно подставить в любых единицах – эти единицы сократятся при делении:

   

Ответ: радиус месторождения около 30 км.

 

Задача 4. Один конец нити прикреплен к потолку лифта, а на другом укреплен груз пренебрежимо малого размера. Лифт начинает опускаться с ускорением м/с. Каков период малых колебаний груза, если длина нити м?

Так как лифт спускается с ускорением, то в формулу для вычисления периода нужно подставить не ускорение свободного падения, а то результирующее ускорение, которое действует на груз, а именно :

   

Ответ: с

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *