Масса, импульс, длина волны фотона

[latexpage]

В этой статье будем находить массы и импульсы фотонов, а заодно вспомним молекулярно-кинетическую теорию, а также и волновую оптику…

Задача 1. Импульсы фотонов $р_1 = 4\cdot 10^{-22}$ кг$\cdot$м/с и $p_2= 10^{-21}$ кг$\cdot$м/с. Во сколько раз отличаются соответствующие им длины волн?

$$p_f=\frac{h}{\lambda}$$

$$\frac{p_{f1}}{p_{f2}}=\frac{\lambda_2}{\lambda_1}=\frac{\lambda_1}{\lambda_2}=\frac{p_{f2}}{p_{f1}}=\frac{10^{-21} }{4\cdot 10^{-22}}=2,5$$

Ответ: в 2,5 раза.

Задача 2. Найти импульс фотона, энергия которого равна энергии покоя электрона.

$$p=m_0 c=9,1\cdot10^{-31}\cdot 3\cdot10^8=2,73\cdot10^{-22}$$

Ответ: $p=2,73\cdot10^{-22}$ кг$\cdot$м/с.

Задача 3. Определить ускоряющую разность потенциалов, которую должен пройти электрон, чтобы его энергия была равна энергии фотона, которому соответствует длина волны $\lambda = 1,24$ пм.

$$U=\frac{hc}{e \lambda}=\frac{6,62\cdot10^{-34}\cdot 3\cdot10^8}{1,6\cdot10^{-19}\cdot1,24\cdot10^{-12}}=10^6$$

Ответ: $U=10^6$ В

Задача 4. С какой скоростью должен двигаться электрон, чтобы его импульс был равен импульсу фотона, которому соответствует длина волны $\lambda = 600$ нм?

$$p_f=\frac{h}{\lambda}=m_e \upsilon$$

Отсюда

$$\upsilon=\frac{ h }{\lambda m_e }=\frac{6,62\cdot10^{-34}}{600\cdot10^{-9}\cdot 9,1\cdot10^{-31}}=1,21\cdot10^3$$

Ответ: $\upsilon=1,21\cdot10^3$ м/с.

Задача 5. Найти массу фотона, импульс которого равен импульсу молекулы водорода при температуре $t=20^{\circ}$. Скорость молекулы равна среднеквадратичной скорости.

$$p=m_0 \upsilon=m_0\cdot\sqrt{\frac{3kT}{m_0}}=\sqrt{3kTm_0}=\sqrt{\frac{3kT M }{N_A }}=\sqrt{\frac{3\cdot1,38\cdot10^{-23}\cdot 293\cdot 2\cdot 10^{-3}}{6\cdot10^{23}}=0,64\cdot 10^{-23}$$

$$m=\frac{p}{c}=\frac{0,64\cdot 10^{-23}}{3\cdot 10^8}=0,21\cdot 10^{-31}$$

Ответ: $0,21\cdot 10^{-31}$ кг

Задача 6. Какова длина волны фотона, энергия которого равна средней кинетической энергии молекулы идеального одноатомного газа при температуре $T=3000$ К?

$$E=\frac{hc}{\lambda}$$

$$\lambda=\frac{hc}{E}=\frac{2hc}{3kT}=\frac{2\cdot6,62\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^8}{3\cdot1,38\cdot10^{-23}\cdot3000}=9,6\cdot10^{-6}$$

Ответ: 9,6 мкм.

Задача 7. Найти абсолютный показатель преломления среды, в которой свет с энергией фотона $E=4,4\cdot 10^{-19}$ Дж имеет длину волны $\lambda = 3 \cdot 10^{-5}$ см.

Показатель преломления равен

$$n=\frac{\nu_1 }{\nu_2}=\frac{\lambda_2}{\lambda_1}$$

Здесь $\lambda_1=\lambda$ – длина волны в материале,  а $\lambda_2=\frac{hc}{E}$.

Тогда

$$n=\frac{hc}{\lambda E}=\frac{6,62\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^8}{3 \cdot 10^{-7}\cdot 4,4\cdot 10^{-19}}=1,5\cdot10^2=1,5$$

Ответ: $n=1,5$.