Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Движение под углом к горизонту

Максимальное удаление тела от точки бросания

[latexpage]

Задача из третьего тура олимпиады СУНЦ МГУ по физике для 9 класса.

Решить эту задачу есть несколько способов. Сразу скажу, что искомая точка расположена не на земле (не на уровне точки броска): так было бы, будь угол бросания поменьше. Но бросают довольно круто вверх, поэтому самая удаленная от места бросания точка расположена где-то на траектории почти сразу за вершиной параболы. В этой точке вектор перемещения перпендикулярен вектору скорости, и это наталкивает на один из путей решения этой задачи: найти скалярное произведение этих векторов – так могут решать ребята, не знакомые с понятием производной.  Следующий возможный путь решения – найти длину вектора перемещения и взять производную по времени. Тогда, приравняв к нулю производную, можно узнать, в какой момент достигается максимум длины вектора перемещения.

Тело брошено со скоростью $\upsilon=10$ м/с под углом $\alpha$: $\sin{\alpha}=\frac{35}{36}$. Найдите максимальное удаление тела от точки бросания. Принять $g=10$ м/c$^2$.

Делаем!

Траектория полета

По горизонтали тело движется по закону:

$$x=\upsilon_0\cos{\alpha}t$$

По вертикали координата тела меняется как

$$y=\upsilon_0\sin{\alpha}t-\frac{gt^2}{2}$$

Тогда длина перемещения

$$r^2=x^2+y^2={\upsilon_0}^2 \cos^2{\alpha}t^2+\left(\upsilon_0\sin{\alpha}t-\frac{gt^2}{2}\right)^2$$

$$r^2=\upsilon_0^2\cos^2{\alpha}t^2+\upsilon_0^2\sin^2{\alpha}t^2- \upsilon_0\sin{\alpha}gt^3+\frac{g^2t^4}{4}=\upsilon_0^2 t^2- \upsilon_0\sin{\alpha}gt^3+\frac{g^2t^4}{4}$$

Возьмем производную:

$$R=r^2$$

$$R’=2\upsilon_0^2 t- 3\upsilon_0\sin{\alpha}gt^2+4\frac{g^2t^3}{4}$$

Приравняем к нулю:

$$2\upsilon_0^2 t- 3\upsilon_0\sin{\alpha}gt^2+g^2t^3=0$$

Разделим на $t$:

$$2\upsilon_0^2 – 3\upsilon_0\sin{\alpha}gt+g^2t^2=0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$t_{1,2}=\frac{3\upsilon_0\sin{\alpha}g \pm \sqrt{(3\upsilon_0\sin{\alpha}g)^2-8\upsilon_0^2g^2}}{2g^2}$$

Подставляем известные величины:

$$t_{1,2}=\frac{3\cdot10\cdot\frac{35}{36}\cdot10 \pm \sqrt{(3\cdot10\cdot\frac{35}{36}\cdot10)^2-8\cdot10^2\cdot10^2}}{200}$$

$$t_1=\frac{\frac{3500}{12} – \sqrt{\left(\frac{3500}{12}\right)^2-8\cdot10^4}}{200}=1,1$$

$$t_2=\frac{\frac{3500}{12} +\sqrt{\left(\frac{3500}{12}\right)^2-8\cdot10^4}}{200}=1,81$$

Так как полное время полета 1,94 с – это легко понять, определив время полета тела до наивысшей точки – то очевидно, что второй, больший, корень не подходит. Поэтому возьмем первый корень.

Определяем максимальное удаление тела:

$$r=\sqrt{r^2}=\sqrt{\upsilon_0^2 t^2- \upsilon_0\sin{\alpha}gt^3+\frac{g^2t^4}{4}}=\sqrt{10^2\cdot1,1^2- 10\frac{35}{36}\cdot10\cdot1,1^3+25\cdot{1,1}^4}=5,31$$

Теперь решим задачу «по-детски», то есть без производной. Так решал бы ученик 9 класса.

Вектор перемещения:

$$\vec{r}=\vec{\upsilon_0}+\frac{\vec{g}t^2}{2}$$

Вектор скорости:

$$\vec{\upsilon}=\vec{\upsilon_0}+\vec{g}t$$

Скалярное произведение этих векторов равно 0, так как они перпендикулярны:

$$\left(\vec{r}, \vec{\upsilon}\right)=0$$

$$\left(\vec{\upsilon_0}t+\frac{\vec{g}t^2}{2}, \vec{\upsilon_0}+\vec{g}t \right)= \upsilon_0^2t+\frac{\vec{\upsilon_0}\vec{g}t^2}{2}+\vec{\upsilon_0}\vec{g}t^2+\frac{g^2t^3}{2}=\upsilon_0^2t+\frac{3\vec{\upsilon_0}\vec{g}t^2}{2}+\frac{g^2t^3}{2}=0$$

Остается найти скалярное произведение векторов $\vec{\upsilon_0}\vec{g}$:

$$\vec{\upsilon_0}\vec{g}=\upsilon_0g\cos{\beta}$$

Здесь $\beta$ – угол между векторами $\vec{g}$ и $\vec{\upsilon_0}$. Так как угол этот тупой, то от $\cos{\beta}$ перейдем к $\cos({90^{\circ}+\alpha})=-\sin{\alpha}$:

$$\vec{\upsilon_0}\vec{g}=-\upsilon_0g\sin{\alpha}$$

Тогда:

$$\left(\vec{\upsilon_0}t+\frac{\vec{g}t^2}{2}, \vec{\upsilon_0}+\vec{g}t \right)=\upsilon_0^2t+\frac{3\vec{\upsilon_0}\vec{g}t^2}{2}+\frac{g^2t^3}{2}=\upsilon_0^2t-\frac{3\upsilon_0g\sin{\alpha}t^2}{2}+\frac{g^2t^3}{2}=0$$

Получили абсолютно такое же уравнение, как и в случае с производной:

$$2\upsilon_0^2 – 3\upsilon_0\sin{\alpha}gt+g^2t^2=0$$

Ответ: наибольшее удаление тела от точки бросания – 5,31 м.

 

Комментариев - 9

  • |

    Ошибка в определении вектора перемещения. У члена скорости нет множителя времени.

    Ответить
    • Анна
      |

      Ошибки нет, множитель, действительно, пропущен.

      Ответить
  • |

    Кроме того. операция скалярного произведения определена для компонент вектора XYZ. а Вы перемножаете сумму двух векторов.Это надо доказать..

    Ответить
    • Анна
      |

      Сумма двух векторов есть вектор.

      Ответить
      • |

        Я не об этом, понятно, что сумма векторов есть вектор.Следовательно надо найти эту сумму, а затем компоненты вектора по осям и выполнить операцию скалярного произведения как произведение соответствующих координат и просуммировать. A=Bx*Cx+Ay*Cy.
        А иначе отдает подгонкой!

        Ответить
  • Николай
    |

    Здравствуйте, Анна! Никак не могу сообразить, почему в экстремальной точке радиус – вектор перпендикулярен вектору скорости. Разъясните , пожалуйста или дайте ссылку, где это доказывается. Спасибо!

    Ответить
    • Евгения
      |

      Это утверждение вполне очевидно.
      Скорость – приращение радиус-вектора, умноженное на время.
      Если проекция вектора скорости на радиус вектор положительна, то вектор растет, если отрицательна, то укорачивается. Значит, надо чтобы она была равна нулю. Т.е. вектора перпендикулярны должны быть.

      Ответить
    • Николай
      |

      Здравствуйте! Спасибо, разобрался уже сам)

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *