Максимальное удаление тела от точки бросания

Задача из третьего тура олимпиады СУНЦ МГУ по физике для 9 класса.

Решить эту задачу есть несколько способов. Сразу скажу, что искомая точка расположена не на земле (не на уровне точки броска): так было бы, будь угол бросания поменьше. Но бросают довольно круто вверх, поэтому самая удаленная от места бросания точка расположена где-то на траектории почти сразу за вершиной параболы. В этой точке вектор перемещения перпендикулярен вектору скорости, и это наталкивает на один из путей решения этой задачи: найти скалярное произведение этих векторов – так могут решать ребята, не знакомые с понятием производной. Следующий возможный путь решения – найти длину вектора перемещения и взять производную по времени. Тогда, приравняв к нулю производную, можно узнать, в какой момент достигается максимум длины вектора перемещения.

Тело брошено со скоростью $\upsilon=10$ м/с под углом $\alpha$ : $\sin{\alpha}=\frac{35}{36}$ . Найдите максимальное удаление тела от точки бросания. Принять $g=10$ м/c $^2$ .

Делаем!

Траектория полета

По горизонтали тело движется по закону:

$x=\upsilon_0\cos{\alpha}t$

По вертикали координата тела меняется как

$y=\upsilon_0\sin{\alpha}t-\frac{gt^2}{2}$

Тогда длина перемещения

$r^2=x^2+y^2={\upsilon_0}^2 \cos^2{\alpha}t^2+\left(\upsilon_0\sin{\alpha}t-\frac{gt^2}{2}\right)^2$

$r^2=\upsilon_0^2\cos^2{\alpha}t^2+\upsilon_0^2\sin^2{\alpha}t^2- \upsilon_0\sin{\alpha}gt^3+\frac{g^2t^4}{4}=\upsilon_0^2 t^2- \upsilon_0\sin{\alpha}gt^3+\frac{g^2t^4}{4}$

Возьмем производную:

$R=r^2$

$R'=2\upsilon_0^2 t- 3\upsilon_0\sin{\alpha}gt^2+4\frac{g^2t^3}{4}$

Приравняем к нулю:

$2\upsilon_0^2 t- 3\upsilon_0\sin{\alpha}gt^2+g^2t^3=0$

Разделим на $t$ :

$2\upsilon_0^2 - 3\upsilon_0\sin{\alpha}gt+g^2t^2=0$

Решаем квадратное уравнение:

$t_{1,2}=\frac{3\upsilon_0\sin{\alpha}g \pm \sqrt{(3\upsilon_0\sin{\alpha}g)^2-8\upsilon_0^2g^2}}{2g^2}$

Подставляем известные величины:

$t_{1,2}=\frac{3\cdot10\frac{35}{36}\cdot10 \pm \sqrt{(3\cdot10\frac{35}{36}\cdot10)^2-8\cdot10^2\cdot10^2}}{200}$

$t_1=\frac{\frac{3500}{12} - \sqrt{\left(\frac{3500}{12}\right)^2-8\cdot10^4}}{200}=1,1$

$t_2=\frac{\frac{3500}{12} +\sqrt{\left(\frac{3500}{12}\right)^2-8\cdot10^4}}{200}=1,81$

Так как полное время полета 1,94 с – это легко понять, определив время полета тела до наивысшей точки – то очевидно, что второй, больший, корень не подходит. Поэтому возьмем первый корень.

Определяем максимальное удаление тела:

$r=\sqrt{r^2}=\sqrt{\upsilon_0^2 t^2- \upsilon_0\sin{\alpha}gt^3+\frac{g^2t^4}{4}}=\sqrt{10^2\cdot1,1^2- 10\frac{35}{36}\cdot10\cdot1,1^3+25\cdot{1,1}^4}=5,31$

Теперь решим задачу «по-детски», то есть без производной. Так решал бы ученик 9 класса.

Вектор перемещения:

$\vec{r}=\vec{\upsilon_0}+\frac{\vec{g}t^2}{2}$

Вектор скорости:

$\vec{\upsilon}=\vec{\upsilon_0}+\vec{g}t$

Скалярное произведение этих векторов равно 0, так как они перпендикулярны:

$\left(\vec{r}, \vec{\upsilon}\right)=0$

$\left(\vec{\upsilon_0}t+\frac{\vec{g}t^2}{2}, \vec{\upsilon_0}+\vec{g}t \right)= \upsilon_0^2t+\frac{\vec{\upsilon_0}\vec{g}t^2}{2}+\vec{\upsilon_0}\vec{g}t^2+\frac{g^2t^3}{2}=\upsilon_0^2t+\frac{3\vec{\upsilon_0}\vec{g}t^2}{2}+\frac{g^2t^3}{2}=0$

Остается найти скалярное произведение векторов $\vec{\upsilon_0}\vec{g}$ :

$\vec{\upsilon_0}\vec{g}=\upsilon_0g\cos{\beta}$

Здесь $\beta$ – угол между векторами $\vec{g}$ и $\vec{\upsilon_0}$ . Так как угол этот тупой, то от $\cos{\beta}$ перейдем к $\cos({90^{\circ}+\alpha})=-\sin{\alpha}$ :

$\vec{\upsilon_0}\vec{g}=-\upsilon_0g\sin{\alpha}$

Тогда:

$\left(\vec{\upsilon_0}t+\frac{\vec{g}t^2}{2}, \vec{\upsilon_0}+\vec{g}t \right)=\upsilon_0^2t+\frac{3\vec{\upsilon_0}\vec{g}t^2}{2}+\frac{g^2t^3}{2}=\upsilon_0^2t-\frac{3\upsilon_0g\sin{\alpha}t^2}{2}+\frac{g^2t^3}{2}=0$

Получили абсолютно такое же уравнение, как и в случае с производной:

$2\upsilon_0^2 - 3\upsilon_0\sin{\alpha}gt+g^2t^2=0$

Ответ: наибольшее удаление тела от точки бросания – 5,31 м.

Комментариев - 6

Орлов Александр

2019-12-14

Ошибка в определении вектора перемещения. У члена скорости нет множителя времени.

Ответить

Анна
|

2019-12-14

Ошибки нет, множитель, действительно, пропущен.

Ответить

Кроме того. операция скалярного произведения определена для компонент вектора XYZ. а Вы перемножаете сумму двух векторов.Это надо доказать..

Анна
|

2019-12-14

Сумма двух векторов есть вектор.

Ответить
- Орлов Александр
  |
  
  2019-12-15
  
  Я не об этом, понятно, что сумма векторов есть вектор.Следовательно надо найти эту сумму, а затем компоненты вектора по осям и выполнить операцию скалярного произведения как произведение соответствующих координат и просуммировать. A=Bx*Cx+Ay*Cy.
  А иначе отдает подгонкой!
  
  Ответить
  - Анна
    |
    
    2019-12-15
    
    Вам знаком распределительный или дистрибутивный закон скалярного произведения? Вот здесь хорошо написано: http://www.mathprofi.ru/skaljarnoe_proizvedenie_vektorov.html
    
    Ответить

Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Вс
« Мар
		1	2	3	4	5
6	7	8	9	10	11	12
13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26
27	28	29	30

Максимальное удаление тела от точки бросания

Для вас другие записи этой рубрики:

Комментариев - 6

Добавить комментарий Отменить ответ

Поиск

ПОСЛЕДНИЕ КОММЕНТАРИИ

Рекомендую

Рубрики

Профи.ру

Последние записи

Облако меток

Подписка

Введите Ваши данные:

Архивы

Профи.ру

Последние записи

Облако меток

Подписка

Введите Ваши данные:

Архивы

Автор сайта

Авторские права

Календарь