Максимальное удаление тела от точки бросания

[latexpage]

Задача из третьего тура олимпиады СУНЦ МГУ по физике для 9 класса.

Решить эту задачу есть несколько способов. Сразу скажу, что искомая точка расположена не на земле (не на уровне точки броска): так было бы, будь угол бросания поменьше. Но бросают довольно круто вверх, поэтому самая удаленная от места бросания точка расположена где-то на траектории почти сразу за вершиной параболы. В этой точке вектор перемещения перпендикулярен вектору скорости, и это наталкивает на один из путей решения этой задачи: найти скалярное произведение этих векторов – так могут решать ребята, не знакомые с понятием производной.  Следующий возможный путь решения – найти длину вектора перемещения и взять производную по времени. Тогда, приравняв к нулю производную, можно узнать, в какой момент достигается максимум длины вектора перемещения.

Тело брошено со скоростью $\upsilon=10$ м/с под углом $\alpha$: $\sin{\alpha}=\frac{35}{36}$. Найдите максимальное удаление тела от точки бросания. Принять $g=10$ м/c$^2$.

Делаем!

Траектория полета

По горизонтали тело движется по закону:

$$x=\upsilon_0\cos{\alpha}t$$

По вертикали координата тела меняется как

$$y=\upsilon_0\sin{\alpha}t-\frac{gt^2}{2}$$

Тогда длина перемещения

$$r^2=x^2+y^2={\upsilon_0}^2 \cos^2{\alpha}t^2+\left(\upsilon_0\sin{\alpha}t-\frac{gt^2}{2}\right)^2$$

$$r^2=\upsilon_0^2\cos^2{\alpha}t^2+\upsilon_0^2\sin^2{\alpha}t^2- \upsilon_0\sin{\alpha}gt^3+\frac{g^2t^4}{4}=\upsilon_0^2 t^2- \upsilon_0\sin{\alpha}gt^3+\frac{g^2t^4}{4}$$

Возьмем производную:

$$R=r^2$$

$$R’=2\upsilon_0^2 t- 3\upsilon_0\sin{\alpha}gt^2+4\frac{g^2t^3}{4}$$

Приравняем к нулю:

$$2\upsilon_0^2 t- 3\upsilon_0\sin{\alpha}gt^2+g^2t^3=0$$

Разделим на $t$:

$$2\upsilon_0^2 – 3\upsilon_0\sin{\alpha}gt+g^2t^2=0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$t_{1,2}=\frac{3\upsilon_0\sin{\alpha}g \pm \sqrt{(3\upsilon_0\sin{\alpha}g)^2-8\upsilon_0^2g^2}}{2g^2}$$

Подставляем известные величины:

$$t_{1,2}=\frac{3\cdot10\cdot\frac{35}{36}\cdot10 \pm \sqrt{(3\cdot10\cdot\frac{35}{36}\cdot10)^2-8\cdot10^2\cdot10^2}}{200}$$

$$t_1=\frac{\frac{3500}{12} – \sqrt{\left(\frac{3500}{12}\right)^2-8\cdot10^4}}{200}=1,1$$

$$t_2=\frac{\frac{3500}{12} +\sqrt{\left(\frac{3500}{12}\right)^2-8\cdot10^4}}{200}=1,81$$

Так как полное время полета 1,94 с – это легко понять, определив время полета тела до наивысшей точки – то очевидно, что второй, больший, корень не подходит. Поэтому возьмем первый корень.

Определяем максимальное удаление тела:

$$r=\sqrt{r^2}=\sqrt{\upsilon_0^2 t^2- \upsilon_0\sin{\alpha}gt^3+\frac{g^2t^4}{4}}=\sqrt{10^2\cdot1,1^2- 10\frac{35}{36}\cdot10\cdot1,1^3+25\cdot{1,1}^4}=5,31$$

Теперь решим задачу «по-детски», то есть без производной. Так решал бы ученик 9 класса.

Вектор перемещения:

$$\vec{r}=\vec{\upsilon_0}+\frac{\vec{g}t^2}{2}$$

Вектор скорости:

$$\vec{\upsilon}=\vec{\upsilon_0}+\vec{g}t$$

Скалярное произведение этих векторов равно 0, так как они перпендикулярны:

$$\left(\vec{r}, \vec{\upsilon}\right)=0$$

$$\left(\vec{\upsilon_0}t+\frac{\vec{g}t^2}{2}, \vec{\upsilon_0}+\vec{g}t \right)= \upsilon_0^2t+\frac{\vec{\upsilon_0}\vec{g}t^2}{2}+\vec{\upsilon_0}\vec{g}t^2+\frac{g^2t^3}{2}=\upsilon_0^2t+\frac{3\vec{\upsilon_0}\vec{g}t^2}{2}+\frac{g^2t^3}{2}=0$$

Остается найти скалярное произведение векторов $\vec{\upsilon_0}\vec{g}$:

$$\vec{\upsilon_0}\vec{g}=\upsilon_0g\cos{\beta}$$

Здесь $\beta$ – угол между векторами $\vec{g}$ и $\vec{\upsilon_0}$. Так как угол этот тупой, то от $\cos{\beta}$ перейдем к $\cos({90^{\circ}+\alpha})=-\sin{\alpha}$:

$$\vec{\upsilon_0}\vec{g}=-\upsilon_0g\sin{\alpha}$$

Тогда:

$$\left(\vec{\upsilon_0}t+\frac{\vec{g}t^2}{2}, \vec{\upsilon_0}+\vec{g}t \right)=\upsilon_0^2t+\frac{3\vec{\upsilon_0}\vec{g}t^2}{2}+\frac{g^2t^3}{2}=\upsilon_0^2t-\frac{3\upsilon_0g\sin{\alpha}t^2}{2}+\frac{g^2t^3}{2}=0$$

Получили абсолютно такое же уравнение, как и в случае с производной:

$$2\upsilon_0^2 – 3\upsilon_0\sin{\alpha}gt+g^2t^2=0$$

Ответ: наибольшее удаление тела от точки бросания – 5,31 м.