Максимальное удаление тела от точки бросания

Задача из третьего тура олимпиады СУНЦ МГУ по физике для 9 класса.

Решить эту задачу есть несколько способов. Сразу скажу, что искомая точка расположена не на земле (не на уровне точки броска): так было бы, будь угол бросания поменьше. Но бросают довольно круто вверх, поэтому самая удаленная от места бросания точка расположена где-то на траектории почти сразу за вершиной параболы. В этой точке вектор перемещения перпендикулярен вектору скорости, и это наталкивает на один из путей решения этой задачи: найти скалярное произведение этих векторов – так могут решать ребята, не знакомые с понятием производной.  Следующий возможный путь решения – найти длину вектора перемещения и взять производную по времени. Тогда, приравняв к нулю производную, можно узнать, в какой момент достигается максимум длины вектора перемещения.

Тело брошено со скоростью м/с под углом : . Найдите максимальное удаление тела от точки бросания. Принять м/c.

Делаем!

Траектория полета

По горизонтали тело движется по закону:

По вертикали координата тела меняется как

Тогда длина перемещения

Возьмем производную:

Приравняем к нулю:

Разделим на :

Решаем квадратное уравнение:

Подставляем известные величины:

Так как полное время полета 1,94 с – это легко понять, определив время полета тела до наивысшей точки – то очевидно, что второй, больший, корень не подходит. Поэтому возьмем первый корень.

Определяем максимальное удаление тела:

Теперь решим задачу «по-детски», то есть без производной. Так решал бы ученик 9 класса.

Вектор перемещения:

Вектор скорости:

Скалярное произведение этих векторов равно 0, так как они перпендикулярны:

Остается найти скалярное произведение векторов :

Здесь - угол между векторами и . Так как угол этот тупой, то от перейдем к :

Тогда:

Получили абсолютно такое же уравнение, как и в случае с производной:

Ответ: наибольшее удаление тела от точки бросания – 5,31 м.