Максимальная напряженность поля в зависимости от расстояния

Решим несколько задач, связанных с определением напряженности поля на различных расстояниях от объекта, который является источником поля. Здесь потребуется вспомнить правила взятия производной сложной функции, а также и предел функции.

Задача 1.

При напряженности электрического поля В/м воздух перестает быть надежным изолятором и в нем происходит искровой разряд. Каким должен быть радиус металлического шара, чтобы на нем мог удержаться заряд в 1 Кл?

Напряженность поля  заряженного шара выражается формулой

Отсюда найдем радиус:

Ответ: 94,9 м.

Задача 2.

В вершинах квадрата со стороной расположены четыре  одинаковых заряда . Определить максимальную напряженность поля на оси, проходящей через середину квадрата перпендикулярно его плоскости.  На каком расстоянии от квадрата напряженность максимальна?

Задача 2

Каждый из зарядов будет делать вклад в суммарную напряженность поля в данной точке. Вектора напряженностей от пары зарядов, находящихся в противоположных углах, частично компенсируют друг друга: горизонтальные их составляющие (проекции на плоскость квадрата) в сумме дадут ноль. Поэтому складываться будут вертикальные составляющие – проекции напряженностей на вертикальную ось. Проекция напряженности поля на вертикальную ось от одного заряда равна:

От четырех зарядов:

Расстояние до заряда , определим его. Если сторона квадрата , то диагональ равна , а половина диагонали - . Пусть от плоскости квадрата до точки расстояние : . Тогда

А косинус угла

Подставим:

В этой формуле переменная величина – расстояние . Чтобы найти максимум функции , возьмем производную:

Приравняем производную к нулю, чтобы найти экстремум:

Мы определили  расстояние, на котором напряженность будет максимальной – можно убедиться в том, что это именно точка максимума, определив знак производной слева и справа от данной точки. Теперь можно подставить это расстояние в формулу напряженности поля и определить максимальную напряженность:

Ответ: максимальная напряженность достигается на расстоянии от плоскости квадрата.

Задача 3.

Тонкое проволочное кольцо радиусом имеет заряд .  Найти напряженность поля на оси кольца на расстоянии от его центра. Построить график зависимости .

Задача похожа на предыдущую. Только теперь элементарные заряды распределены по кольцу, и каждый заряд создает вектор напряженности. Таким образом, получим поверхность в виде конуса, составленную из векторов напряженностей отдельных элементарных зарядов.

Если встать в центр кольца, то вектора полностью скомпенсируют друг друга, и суммарная напряженность будет нулевой. Однако, как только мы сдвинемся чуть вправо или влево из этой точки, то напряженность уже не будет нулевой, так как у векторов появится продольная составляющая, и именно сумма всех этих составляющих  и даст напряженность поля в любой точке на оси кольца, удаленной от него на расстояние . Элементарный заряд можно найти как . Напряженность, создаваемая им,

Где , а косинус угла

Напряженность поля ото всех зарядов:

Чтобы найти максимум функции , возьмем производную:

Приравняем производную к нулю, чтобы найти экстремум:

Определим максимальную напряженность поля в этой точке, подставив это расстояние в выражение для напряженности:

Мы выяснили, что в центре кольца напряженность поля нулевая и растет с расстоянием , пока не достигнет максимума на расстоянии . Теперь посмотрим, чему будет равна напряженность на бесконечно большом расстоянии: устремим к бесконечности.

Так как в этой функции и в числителе, и в знаменателе, и мы имеем неопределенность типа бесконечность на бесконечность, то определим предел по правилу Лопиталя:

Итак, можно строить график:

Задача 3, график