Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Магнитный поток, ЭДС индукции

Магнитный поток и ЭДС индукции

Продолжаем решать задачи на магнитный поток и ЭДС индукции. Здесь уже будет потяжелее: придется и производную, и первообразную находить. Но задачи интересные, и даже геометрические знания пригодились, а именно, формула площади треугольника.

Задача 1. Плоский замкнутый металлический контур площадью S_0=10 см^2, находится в однородном магнитном поле, индукция которого B=10^{-2} Тл. Площадь контура за время t= 0,5 c равномерно уменьшается до S_k = 2 см^2 (плоскость контура при этом остается перпендикулярной магнитному полю). Определите силу тока (в мкА), протекающего по контуру в течение времени t, если сопротивление контура R=1 Ом.

    \[E=-\frac{\Delta \Phi}{\Delta t }\]

Поток уменьшился с \Phi _1 до \Phi_2, его изменение \Delta \Phi=\Phi_2-\Phi _1=B(S_2-S_1). Следовательно,

    \[E =-\frac{ B(S_2-S_1)}{\Delta t }\]

Ток равен

    \[I=\frac{E}{R}=\frac{ B(S_1-S_2)}{R\Delta t } =\frac{ 10^{-2} (10-2)\cdot10^{-4}}{1\cdot0,5}=16\cdot10^{-6}\]

Ответ: 16 мкА

Задача 2. Медное кольцо радиусом R=15 см из проволоки диаметром d= 1 мм  расположено в однородном магнитном поле, изменяющемся со скоростью \frac{\Delta B}{\Delta t} = 0,2 Тл/с. Плоскость кольца перпендикулярна силовым линиям магнитного поля. Определите силу индукционного тока, возникающего в кольце. Удельное сопротивление меди равно \rho=1,7\cdot 10^{-8} Ом\cdot м.

Сопротивление кольца равно

    \[R=\frac{\rho l}{S}=\frac{\rho \cdot2 \pi R}{\frac{\pi d^2}{4}}=\frac{8\rho R}{d^2}\]

Ток в кольце будет равен

    \[I=\frac{E}{R}=\frac{ \Delta \Phi}{R\Delta t } =\frac{\Delta B}{\Delta t}\cdot\frac{S}{R}=\frac{\Delta B}{\Delta t}\cdot \frac{\pi R^2 d^2}{8\rho}=0,2\cdot\frac{ \pi \cdot(0,15)^2\cdot(10^{-3})^2}{8\cdot1,7\cdot 10^{-8}}=0,693\]

Ответ: 0,693 А
Задача 3. При изменении силы тока в замкнутом контуре индуктивностью L= 0,1 Гн  ЭДС самоиндукции изменялась согласно графику (см. рис.). Чему равна величина изменения тока в интервале времени 1-4 с?

К задаче 3

Так как

    \[E=-L\frac{dI}{dt}\]

То, чтобы найти ток, нужно найти интеграл. То есть – определить площадь под графиком с первой по 4 секунду. Площадь будет равна сумме площадей трапеции и прямоугольника: 3+8.

    \[I=\int\limits_{1}^{4} \frac{E}{L}\, dt=\frac{11\cdot10^{-3}}{0,1}=0,11\]

Ответ: 0,11 А


Задача 4. В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,2 Тл начинает двигаться металлический стержень длиной L = 20 см перпендикулярно вектору магнитной индукции. Координата стержня изменяется по закону x= 5-3t+2t^2. Какая разность потенциалов возникает между концами стержня через 5 с?

Скорость стержня к указанному моменту времени будет равна:

    \[\upsilon=\frac{dx}{dt}=-3+4t=17\]

Следовательно, ЭДС:

    \[E=Bl\upsilon=0,2\cdot0,2\cdot17=0,68\]

Ответ: 0,68 В.

Задача 5. Проводящий квадратный контур со стороной l = 10 см, помещенный в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,5 Тл, вектор которой перпендикулярен плоскости контура, складывают пополам (см. рис.). Какой заряд протечет по контуру, если сопротивление единицы длины контура равно r=0,1  Ом/м?

К задаче 5

Площадь контура, складывая его, уменьшают до нуля. Поэтому изменение потока равно \Delta \Phi=\Phi_0-0=\Phi_0. Следовательно,

    \[\frac{dq}{dt}\cdot R=\frac{d \Phi}{dt}\]

Откуда

    \[dq=\frac{ d \Phi }{R}=\frac{\Delta \Phi  }{R}=\frac{BS}{R}=\frac{Bl^2}{4lr}=\frac{0,5\cdot0,1}{4\cdot0,1}=0,125\]

Ответ: 0,125 Кл.
Задача 6. Напряжение на зажимах рамки, начинающей вращаться в однородном магнитном поле, изменяется с течением времени согласно графику на рисунке. Чему приблизительно равна величина магнитного потока, пересекающего рамку в момент времени t=2,5 с?

К задаче 7

Напряжение на зажимах, или ЭДС, есть производная потока, поэтому поток – первообразная ЭДС. ЭДС, судя по графику, можно записать так:

    \[E=U=-U_m \cos(\omega t)\]

Период равен 4 с, тогда \omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{\pi}{2}. Амплитуда ЭДС равна 40мВ, следовательно,

    \[E=-0,04 \cos(\frac{\pi t}{2})\]

Определяем первообразную, то есть берем интеграл:

    \[\Phi=\int\limits_{~}^{~} (-0,04 \cos(\frac{\pi t}{2}))\, dx=-0,04\sin (\frac{\pi t}{2})\]

Подставим нужное время:

    \[\Phi=-0,04\sin (\frac{\pi \cdot2,5}{2}))=-0,04\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=28\cdot10^{-3}\]

Ответ: 28 мВб.
Задача 7. Плоская проволочная рамка находится в магнитном поле, его плоскость перпендикулярна линиям индукции. При равномерном уменьшении магнитного поля до нуля за время t_1 = 2 с в рамке возник постоянный ток I_1= 0,024 А. Какой ток I_2 потечет по рамке при ее повороте в этом поле с постоянной угловой скоростью на угол \alpha=60^{\circ} за время t_2=4 с вокруг оси, перпендикулярной вектору В и лежащей в плоскости рамки?

И в том, и в другом случае меняется поток через рамку. Но индукция поля остается неизменной, ее–то и надо найти:

    \[I_1=\frac{\Delta \Phi_1}{Rt_1}=\frac{\Delta B S}{Rt_1}=\frac{B S}{Rt_1}\]

Откуда

    \[B=\frac{ I_1Rt_1 }{S}\]

Если рамку повернуть, то изменится площадь, пронизываемая потоком:

    \[S_2=S\cos{\alpha}\]

Тогда

    \[I_2=\frac{\Delta \Phi_2}{Rt_2}=\frac{\Delta S B }{Rt_2}=\frac{B S\cos{\alpha}}{Rt_2}\]

Подставим индукцию, найденную ранее:

    \[I_2=\frac{ S\cos{\alpha}}{Rt_2}\cdot \frac{ I_1Rt_1 }{S}=\frac{I_1t_1\cos{\alpha}}{t_2}=\frac{0,024\cdot2\cdot0,5}{4}=0,006\]

Ответ: 6 мА.
Задача 8. Квадратная рамка со стороной a = 2 см помещена в однородное магнитное поле с индукцией B=100 мТл так, что линии индукции перпендикулярны плоскости рамки (см. рис.). Сопротивление рамки 1 Ом. Какое количество тепла выделится в рамке за 10 с, если ее выдвигать из области, в которой создано поле со скоростью 1 см/с, перпендикулярной линиям индукции? Поле сосредоточено в некоторой четко ограниченной области.

К задаче 8

Площадь рамки, помещенная в поле, будет изменяться. Поэтому поток меняется и в рамке наводится ЭДС.

    \[E=Bl\upsilon\]

Ток будет равен:

    \[I=\frac{E}{R}=\frac{ Bl\upsilon }{R}=\frac{0,1\cdot0,02\cdot 0,01}{1}=2\cdot10^{-5}\]

При протекании такого тока выделится количество теплоты

    \[Q=I^2Rt=(2\cdot10^{-5})^2\cdot 1\cdot 10=8\cdot10^{-10}\]

Ответ: 0,8 нДж


Задача 9. Квадратная рамка помещена в однородное магнитное поле. Нормаль к плоскости рамки составляет с направлением магнитного поля угол \alpha=60^{\circ}. Сторона рамки L=10 см. Известно, что среднее значение ЭДС индукции, возникающей в рамке при выключении поля в течение времени t=0,01 с, равно 50 мВ. С какой силой подействовало бы это магнитное поле на протон, влетевший в него со скоростью \upsilon=10^4 м/с перпендикулярно вектору \vec{B}?

\Delta \Phi=\Phi_0-0=\Phi_0. Следовательно,

    \[E=\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}=\frac{BS_r}{\Delta t }\]

Пронизываемая потоком площадь рамки равна

    \[S_r=S\cos{\alpha}=L^2\cos{\alpha}\]

Тогда

    \[E=\frac{BL^2\cos{\alpha}}{\Delta t }\]

Найдем из этого выражения индукцию поля:

    \[B=\frac{E\Delta t }{ L^2\cos{\alpha}}\]

Сила Лоренца равна

    \[F=B q \upsilon=\frac{E\Delta t q \upsilon }{ L^2\cos{\alpha}}=\frac{50\cdot10^{-3}\cdot0,01\cdot1,6\cdot10^{-19}\cdot10^4}{ (0,1)^2\cdot0,5}=1,6\cdot10^{-16}\]

Ответ: F=1,6\cdot10^{-16} Н.
Задача 10. Рамка сопротивлением 15 Ом, имеющая форму равностороннего треугольника, помещена  в однородное магнитное поле с индукцией B = 0,04 Тл. Плоскость рамки составляет с направлением вектора B угол \alpha=60^{\circ}. Определите длину стороны рамки a, если при равномерном уменьшении индукции В до нуля в течение \Delta t = 0,03 с в проводнике рамки выделяется количество тепла 0,5 мДж.

По закону Джоуля-Ленца

    \[Q=I^2Rt\]

Откуда

    \[I=\sqrt{\frac{Q}{Rt}}\]

По закону Ома IR=E,

    \[E=\sqrt{\frac{QR}{t}}\]

Площадь рамки равна S=\frac{1}{2}a^2 \sin{\alpha}, площадь, пронизываема потоком, равна

    \[S_B=\frac{1}{2}a^2 \sin^2{\alpha}\]

Тогда

    \[E=\frac{BS}{t}=\frac{B}{2t}a^2 \sin^2{\alpha}\]

Откуда

    \[a^2=\frac{2Et}{B\sin^2{\alpha}}=\frac{2\sqrt{QRt}}{B\sin^2{\alpha}}\]

    \[a=\frac{1}{\sin{\alpha}}\sqrt{\frac{2\sqrt{QRt}}{B}}=\frac{1}{\sin{\alpha}}\sqrt[4]{\frac{4QRt}{B^2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt[4]{\frac{4\cdot0,5\cdot10^{-3}\cdot15\cdot0,03}{0,04^2}}=0,76\]

Ответ :a=0,76 м.

Комментариев - 4

  • Галина Владимировна
    |

    Давно ли диаметр стал измеряться в квадратных единицах (вторая задача)?

    Ответить
    • Анна
      |

      Ну что вы, мой добрый гений, стоит ли нервов?

      Ответить
  • Галина Владимировна
    |

    То дельта, то знак дифференциала, не изучаемый в школе! Полный сумбур!

    Ответить
    • Анна
      |

      Ничего, пусть привыкают.

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *