Магнитный поток и ЭДС индукции

[latexpage]

Продолжаем решать задачи на магнитный поток и ЭДС индукции. Здесь уже будет потяжелее: придется и производную, и первообразную находить. Но задачи интересные, и даже геометрические знания пригодились, а именно, формула площади треугольника.

Задача 1. Плоский замкнутый металлический контур площадью $S_0=10$ см$^2$, находится в однородном магнитном поле, индукция которого $B=10^{-2}$ Тл. Площадь контура за время $t= 0,5$ c равномерно уменьшается до $S_k = 2$ см$^2$ (плоскость контура при этом остается перпендикулярной магнитному полю). Определите силу тока (в мкА), протекающего по контуру в течение времени $t$, если сопротивление контура $R=1$ Ом.

$$E=-\frac{\Delta \Phi}{\Delta t }$$

Поток уменьшился с $\Phi _1$ до $\Phi_2$, его изменение $\Delta \Phi=\Phi_2-\Phi _1=B(S_2-S_1)$. Следовательно,

$$E =-\frac{ B(S_2-S_1)}{\Delta t }$$

Ток равен

$$I=\frac{E}{R}=\frac{ B(S_1-S_2)}{R\Delta t } =\frac{ 10^{-2} (10-2)\cdot10^{-4}}{1\cdot0,5}=16\cdot10^{-6}$$

Ответ: 16 мкА

Задача 2. Медное кольцо радиусом $R=15$ см из проволоки диаметром $d= 1$ мм  расположено в однородном магнитном поле, изменяющемся со скоростью $\frac{\Delta B}{\Delta t} = 0,2$ Тл/с. Плоскость кольца перпендикулярна силовым линиям магнитного поля. Определите силу индукционного тока, возникающего в кольце. Удельное сопротивление меди равно $\rho=1,7\cdot 10^{-8}$ Ом$\cdot$ м.

Сопротивление кольца равно

$$R=\frac{\rho l}{S}=\frac{\rho \cdot2 \pi R}{\frac{\pi d^2}{4}}=\frac{8\rho R}{d^2}$$

Ток в кольце будет равен

$$I=\frac{E}{R}=\frac{ \Delta \Phi}{R\Delta t } =\frac{\Delta B}{\Delta t}\cdot\frac{S}{R}=\frac{\Delta B}{\Delta t}\cdot \frac{\pi R^2 d^2}{8\rho}=0,2\cdot\frac{ \pi \cdot(0,15)^2\cdot(10^{-3})^2}{8\cdot1,7\cdot 10^{-8}}=0,693$$

Ответ: 0,693 А
Задача 3. При изменении силы тока в замкнутом контуре индуктивностью $L= 0,1$ Гн  ЭДС самоиндукции изменялась согласно графику (см. рис.). Чему равна величина изменения тока в интервале времени 1-4 с?

К задаче 3

Так как

$$E=-L\frac{dI}{dt}$$

То, чтобы найти ток, нужно найти интеграл. То есть – определить площадь под графиком с первой по 4 секунду. Площадь будет равна сумме площадей трапеции и прямоугольника: 3+8.

$$I=\int\limits_{1}^{4} \frac{E}{L}\, dt=\frac{11\cdot10^{-3}}{0,1}=0,11$$

Ответ: 0,11 А

Задача 4. В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,2 Тл начинает двигаться металлический стержень длиной $L = 20$ см перпендикулярно вектору магнитной индукции. Координата стержня изменяется по закону $x= 5-3t+2t^2$. Какая разность потенциалов возникает между концами стержня через 5 с?

Скорость стержня к указанному моменту времени будет равна:

$$\upsilon=\frac{dx}{dt}=-3+4t=17$$
Следовательно, ЭДС:

$$E=Bl\upsilon=0,2\cdot0,2\cdot17=0,68$$

Ответ: 0,68 В.

Задача 5. Проводящий квадратный контур со стороной $l = 10$ см, помещенный в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,5 Тл, вектор которой перпендикулярен плоскости контура, складывают пополам (см. рис.). Какой заряд протечет по контуру, если сопротивление единицы длины контура равно $r=0,1$  Ом/м?

К задаче 5

Площадь контура, складывая его, уменьшают до нуля. Поэтому изменение потока равно $\Delta \Phi=\Phi_0-0=\Phi_0$. Следовательно,

$$\frac{dq}{dt}\cdot R=\frac{d \Phi}{dt}$$

Откуда

$$dq=\frac{ d \Phi }{R}=\frac{\Delta \Phi  }{R}=\frac{BS}{R}=\frac{Bl^2}{4lr}=\frac{0,5\cdot0,1}{4\cdot0,1}=0,125$$

Ответ: 0,125 Кл.
Задача 6. Напряжение на зажимах рамки, начинающей вращаться в однородном магнитном поле, изменяется с течением времени согласно графику на рисунке. Чему приблизительно равна величина магнитного потока, пересекающего рамку в момент времени $t=2,5$ с?

К задаче 7

Напряжение на зажимах, или ЭДС, есть производная потока, поэтому поток – первообразная ЭДС. ЭДС, судя по графику, можно записать так:

$$E=U=-U_m \cos(\omega t)$$

Период равен 4 с, тогда $\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{\pi}{2}$. Амплитуда ЭДС равна 40 мВ, следовательно,

$$E=-0,04 \cos(\frac{\pi t}{2})$$

Определяем первообразную, то есть берем интеграл:

$$\Phi=\int\limits_{~}^{~} (-0,04 \cos(\frac{\pi t}{2}))\, dx=-0,04\frac{2}{\pi}\sin (\frac{\pi t}{2})$$

Подставим нужное время:

$$\Phi=-0,04\frac{2}{\pi}\sin (\frac{\pi \cdot2,5}{2}))=-0,04\frac{2}{\pi}\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=17,8\cdot10^{-3}$$

Ответ: 18 мВб.
Задача 7. Плоская проволочная рамка находится в магнитном поле, его плоскость перпендикулярна линиям индукции. При равномерном уменьшении магнитного поля до нуля за время $t_1 = 2$ с в рамке возник постоянный ток $I_1= 0,024$ А. Какой ток $I_2$ потечет по рамке при ее повороте в этом поле с постоянной угловой скоростью на угол $\alpha=60^{\circ}$ за время $t_2=4$ с вокруг оси, перпендикулярной вектору В и лежащей в плоскости рамки?

И в том, и в другом случае меняется поток через рамку. Но индукция поля остается неизменной, ее–то и надо найти:
$$I_1=\frac{\Delta \Phi_1}{Rt_1}=\frac{\Delta B S}{Rt_1}=\frac{B S}{Rt_1}$$

Откуда

$$B=\frac{ I_1Rt_1 }{S}$$

Если рамку повернуть, то изменится площадь, пронизываемая потоком:

$$S_2=S\cos{\alpha}$$

Тогда

$$I_2=\frac{\Delta \Phi_2}{Rt_2}=\frac{\Delta S B }{Rt_2}=\frac{B S\cos{\alpha}}{Rt_2}$$

Подставим индукцию, найденную ранее:

$$I_2=\frac{ S\cos{\alpha}}{Rt_2}\cdot \frac{ I_1Rt_1 }{S}=\frac{I_1t_1\cos{\alpha}}{t_2}=\frac{0,024\cdot2\cdot0,5}{4}=0,006$$

Ответ: 6 мА.
Задача 8. Квадратная рамка со стороной $a = 2$ см помещена в однородное магнитное поле с индукцией $B=100$ мТл так, что линии индукции перпендикулярны плоскости рамки (см. рис.). Сопротивление рамки 1 Ом. Какое количество тепла выделится в рамке за 10 с, если ее выдвигать из области, в которой создано поле со скоростью 1 см/с, перпендикулярной линиям индукции? Поле сосредоточено в некоторой четко ограниченной области.

К задаче 8

Площадь рамки, помещенная в поле, будет изменяться. Поэтому поток меняется и в рамке наводится ЭДС.

$$E=Bl\upsilon$$

Ток будет равен:

$$I=\frac{E}{R}=\frac{ Bl\upsilon }{R}=\frac{0,1\cdot0,02\cdot 0,01}{1}=2\cdot10^{-5}$$

При протекании такого тока выделится количество теплоты

$$Q=I^2Rt=(2\cdot10^{-5})^2\cdot 1\cdot 10=8\cdot10^{-10}$$

Ответ: 0,8 нДж

Задача 9. Квадратная рамка помещена в однородное магнитное поле. Нормаль к плоскости рамки составляет с направлением магнитного поля угол $\alpha=60^{\circ}$. Сторона рамки $L=10$ см. Известно, что среднее значение ЭДС индукции, возникающей в рамке при выключении поля в течение времени $t=0,01$ с, равно 50 мВ. С какой силой подействовало бы это магнитное поле на протон, влетевший в него со скоростью $\upsilon=10^4$ м/с перпендикулярно вектору $\vec{B}$?

$\Delta \Phi=\Phi_0-0=\Phi_0$. Следовательно,

$$E=\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}=\frac{BS_r}{\Delta t }$$

Пронизываемая потоком площадь рамки равна

$$S_r=S\cos{\alpha}=L^2\cos{\alpha}$$

Тогда

$$E=\frac{BL^2\cos{\alpha}}{\Delta t }$$

Найдем из этого выражения индукцию поля:

$$B=\frac{E\Delta t }{ L^2\cos{\alpha}}$$

Сила Лоренца равна

$$F=B q \upsilon=\frac{E\Delta t q \upsilon }{ L^2\cos{\alpha}}=\frac{50\cdot10^{-3}\cdot0,01\cdot1,6\cdot10^{-19}\cdot10^4}{ (0,1)^2\cdot0,5}=1,6\cdot10^{-16}$$

Ответ: $F=1,6\cdot10^{-16}$ Н.
Задача 10. Рамка сопротивлением 15 Ом, имеющая форму равностороннего треугольника, помещена  в однородное магнитное поле с индукцией $B = 0,04$ Тл. Плоскость рамки составляет с направлением вектора $B$ угол $\alpha=60^{\circ}$. Определите длину стороны рамки $a$, если при равномерном уменьшении индукции В до нуля в течение $\Delta t = 0,03$ с в проводнике рамки выделяется количество тепла 0,5 мДж.

По закону Джоуля-Ленца

$$Q=I^2Rt$$

Откуда

$$I=\sqrt{\frac{Q}{Rt}}$$

По закону Ома $IR=E$,

$$E=\sqrt{\frac{QR}{t}}$$

Площадь рамки равна $S=\frac{1}{2}a^2 \sin{\alpha}$, площадь, пронизываемая потоком, равна

$$ S_B=\frac{1}{2}a^2 \sin^2{\alpha}$$

Тогда

$$E=\frac{BS}{t}=\frac{B}{2t}a^2 \sin^2{\alpha}$$

Откуда

$$a^2=\frac{2Et}{B\sin^2{\alpha}}=\frac{2\sqrt{QRt}}{B\sin^2{\alpha}}$$

$$a=\frac{1}{\sin{\alpha}}\sqrt{\frac{2\sqrt{QRt}}{B}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{\frac{2\cdot\sqrt{0,5\cdot10^{-3}\cdot15\cdot0,03}}{0,04}}=1$$

Ответ:  $a=1$ м.