Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Магнитное поле, Сила Ампера

Магнитное поле

В этой статье предложен разбор несложных задач, связанных с действием магнитного поля на проводник с током. Помните, что при определении направления действия данной силы нужно пользоваться правилом левой руки, и линии магнитной индукции должны “втыкаться” в ладонь.

Задача 1. Горизонтальные рельсы, расположенные на расстоянии l друг от друга, находятся в однородном вертикальном магнитном поле с индукцией B=10^3 Тл. Найти расстояние, которое по рельсам должен пройти проводник, чтобы он мог достичь первой космической скорости.  Масса проводника m=0,2 кг, сила тока в нем I=50 А, первая космическая скорость \upsilon =7,8 км/с. Трение в системе не учитывать.

Если начальная скорость проводника равна 0, то можно использовать формулу для равноускоренного движения:

    \[\upsilon^2=2aS\]

Тогда, если  ускорение равно:

    \[a=\frac{F}{m}\]

То путь:

    \[S=\frac{\upsilon^2m}{2F}=\frac{\upsilon^2m }{2BlI}\]

Подставим числа:

    \[S=\frac{7800^2\cdot0,2 }{2\cdot10^3\cdot0,2\cdot50}=608,4\]

Ответ: S=608,4 м.

 

Задача 2. На двух легких проводящих нитях горизонтально висит металлический стержень длиной l=0,25 м и массой m=0,015 кг. Стержень находится в однородном магнитном поле с индукцией B=0,3 Тл, направленной вертикально вниз. Определить угол отклонения нитей от вертикали, если сила тока в стержне I=0,2 А.

На провод с током в магнитном поле действует сила F, равная

    \[F=BLI\sin{\alpha}\]

Так как поле перпендикулярно проводу, то \sin{\alpha}=1.

Направлена эта сила будет так, как показано на рисунке.

Задача 2

Углы в задаче 3

На провод также действует сила тяжести  mg и сила натяжения нити T, поэтому можем записать:

    \[mg=T\sin{\beta}\]

    \[F=T\cos{\beta}\]

Разделим первое уравнение на второе:

    \[\operatorname{tg}{\beta}=\frac{mg}{F}=\frac{mg}{BLI}\]

Обращаю внимание, что угол \beta не является искомым углом, а искомый   равен \gamma=90^{\circ}-\beta.

    \[\beta=\operatorname {arctg}{\frac{mg}{BLI}}=\operatorname {arctg}{\frac{0,015\cdot10}{0,3\cdot0,2\cdot0,25}}=\operatorname {arctg}{10}=84,3^{\circ}\]

    \[\gamma=90^{\circ}-\beta=90^{\circ}-84,3^{\circ}=5,7^{\circ}\]

Ответ: \gamma=5,7^{\circ}.

Задача 3. Медный провод, площадь сечения которого S=2,5 мм, согнутый, как показано на рисунке, может поворачиваться вокруг горизонтальной оси OO^{\prime}.  Провод находится в однородном магнитном поле, направленном вертикально. При прохождении по проводнику тока, провод отклоняется на угол \alpha=20^{\circ} от вертикали. Определить индукцию поля, если сила тока I=16 А.

На провод с током в магнитном поле действует сила F, равная

    \[F=BLI\sin{\gamma}\]

Так как поле перпендикулярно проводу, то \sin{\gamma}=1.

Направлена эта сила будет так, как показано на рисунке.

Задача 3

На горизонтальный участок провода  также действует сила тяжести  mg и сила натяжения провода T. Так как вертикальные отрезки провода подвешены за один конец, то можно считать, что средняя сила тяжести, действующая на них, равна \frac{mg}{2}, поэтому можем записать, что суммарная сила тяжести равна:

    \[Mg=2V \rho g=2Sl \rho g\]

Как и в предыдущей задаче,

    \[mg=T\sin{\beta}\]

    \[F=T\cos{\beta}\]

Разделим первое уравнение на второе:

    \[\operatorname{tg}{\beta}=\frac{Mg}{F}=\frac{Mg}{BlI}=\frac{2Sl \rho g }{BlI}=\frac{2S \rho g}{BI}\]

Опять же, данный угол не является искомым. Искомый угол  равен

    \[\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{BI}{2S \rho g}\]

Отсюда B:

    \[B=\frac{2S \operatorname{tg}{\alpha} \rho g}{I}=\frac{2,5\cdot10^{-6}\cdot \operatorname{tg}{20^{\circ}}\cdot8900\cdot10}{16}=10^{-2}\]

Ответ: 10 мТл.

 

Задача 4. Металлический стержень длиной L=0,2 м и массой m=10 г подвешен на двух легких проводах длиной l=10 см  в однородном магнитном поле с индукцией B=1 Тл, направленной вертикально вниз. К точкам крепления проводов подключен конденсатор емкостью 100 мкФ, заряженный до напряжения U=100 В. Определить максимальный угол отклонения стержня от положения равновесия после разрядки конденсатора, если она происходит за очень малое время. Сопротивление стрежня и проводов не учитывать.

В течение короткого промежутка времени на проводник с током будет действовать сила, равная

    \[F=B I L \sin{\alpha}\]

Но, так как направление протекания тока и направление линий магнитной индукции перпендикулярны, то \sin{\alpha}=1 и

    \[F=B I L\]

Ток – это количество заряда, прошедшее за единицу времени через сечение проводника, то есть

    \[I=\frac{q}{\Delta t}\]

Так как конденсатор разряжается, то очевидно, что за это короткое время с него стечет весь накопленный заряд:

    \[I=\frac{CU}{\Delta t}\]

Тогда сила, действующая на проводник, будет равна:

    \[F=\frac{B C U L}{\Delta t}\]

Как известно, импульс силы равен

    \[F \Delta t=BCUL =m \upsilon\]

Отсюда найдем скорость, сообщенную проводнику:

    \[\upsilon=\frac{BCUL}{m}\]

Так как в момент, когда проводник окажется в верхней точке, его скорость равна 0, то вся его кинетическая энергия, очевидно, перейдет в потенциальную:

    \[\frac{m \upsilon^2}{2}=m g h\]

Таким образом, найдем высоту, на которую сможет подняться наш проводник:

    \[h=\frac{\upsilon^2}{2g}\]

    \[h=\frac{(BCUL)^2}{2m^2g}\]

Тогда косинус искомого угла отклонения от вертикали будет равен:

    \[\cos{\alpha}=\frac{l-h}{l}\]

    \[\cos{\alpha}=1-\frac{(BCUL)^2}{2m^2gl}\]

Можно теперь определить арккосинус полученного выражения, и дело в шляпе, но можно его еще упростить, используя тригонометрические функции половинного аргумента:

    \[\sin^2{\frac{\alpha}{2}}=\frac{1-\cos{\alpha}}{2}\]

Тогда:

    \[\frac{(BCUL)^2}{2m^2gl}=1-\cos{\alpha}\]

    \[2\sin^2{\frac{\alpha}{2}}=\frac{(BCUL)^2}{2m^2gl}\]

    \[\sin^2{\frac{\alpha}{2}}=\frac{(BCUL)^2}{4m^2gl}\]

    \[\sin{\frac{\alpha}{2}}=\frac{BCUL}{2m\sqrt{gl}}\]

    \[\frac{\alpha}{2}=\arcsin{\frac{BCUL}{2m\sqrt{gl}}}\]

    \[\alpha=2\arcsin{\frac{BCUL}{2m\sqrt{gl}}}\]

Подставим числа:

    \[\alpha=2\arcsin{\frac{1\cdot10^{-4}\cdot100\cdot0,2}{2\cdot0,1\sqrt{10\cdot0,1}}}=2\arcsin{0,1}=11,5^{\circ}\]

Ответ: \alpha=11,5^{\circ}

Комментариев - 8

  • Бонифаций
    |

    Очень интересно как в 4-ой задаче из формулы для высоты подъёма проводника вытекает первое соотношение для косинуса угла отклонения от вертикали? Хоть убейся, но одно из другого никак не следует. А нарисовать рисунок, всё обозначить и вывести оттуда выражение для косинуса автор сайта не посчитала нужным! Какая же тут простая физика? Бедный школьник быстро заблудится в таких дебрях и будет искать другой ресурс в сети!

    Ответить
    • Анна
      |

      О, Андрей! А мы и соскучиться не успели еще!

      Ответить
  • Бонифаций
    |

    У вас, уважаемая, в каждой статье полно ошибок и опечаток, так просто у нормальных людей душа не выносит такое отношение к физике!

    Ответить
    • Анна
      |

      Когда нервы шалят, хорошо помогает колка дров. И маме помощь.

      Ответить
      • Бонифаций
        |

        Может у вас это лучше получится, чем выдавать на гора статьи, полные ошибок, опечаток и иносказаний?

        Ответить
        • Анна
          |

          А вы, Андрей, может уже докажете, что можете что-то решить и сделать самостоятельно, а не сдирать с меня?

          Ответить
  • Бонифаций
    |

    Никто ни с кого не сдирает – слишком много чести! Просто все ваши ошибки специалисту видны даже при беглом просмотре любой вашей статьи на сайте! Может стоит поубавить пыл – лучше меньше, да лучше?

    Ответить
    • Анна
      |

      Ошибки – нормальная составляющая любого человеческого труда. По этому поводу голову пеплом посыпать я не буду. Исправлять – да, надо, и исправляю. Спасибо за помощь в этом.

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *