Магнитное поле

[latexpage]

В этой статье предложен разбор несложных задач, связанных с действием магнитного поля на проводник с током. Помните, что при определении направления действия данной силы нужно пользоваться правилом левой руки, и линии магнитной индукции должны “втыкаться” в ладонь.

Задача 1. Горизонтальные рельсы, расположенные на расстоянии $l$ друг от друга, находятся в однородном вертикальном магнитном поле с индукцией $B=10^3$ Тл. Найти расстояние, которое по рельсам должен пройти проводник, чтобы он мог достичь первой космической скорости.  Масса проводника $m=0,2$ кг, сила тока в нем $I=50$ А, первая космическая скорость $\upsilon =7,8$ км/с. Трение в системе не учитывать.

Если начальная скорость проводника равна 0, то можно использовать формулу для равноускоренного движения:

$$\upsilon^2=2aS$$

Тогда, если  ускорение равно:

$$a=\frac{F}{m}$$

То путь:

$$S=\frac{\upsilon^2m}{2F}=\frac{\upsilon^2m }{2BlI}$$

Подставим числа:

$$S=\frac{7800^2\cdot0,2 }{2\cdot10^3\cdot0,2\cdot50}=608,4$$

Ответ: $S=608,4$ м.

Задача 2. На двух легких проводящих нитях горизонтально висит металлический стержень длиной $l=0,25$ м и массой $m=0,015$ кг. Стержень находится в однородном магнитном поле с индукцией $B=0,3$ Тл, направленной вертикально вниз. Определить угол отклонения нитей от вертикали, если сила тока в стержне $I=0,2$ А.

На провод с током в магнитном поле действует сила $F$, равная

$$F=BLI\sin{\alpha}$$

Так как поле перпендикулярно проводу, то $\sin{\alpha}=1$.

Направлена эта сила будет так, как показано на рисунке.

Задача 2

Углы в задаче 3

На провод также действует сила тяжести  $mg$ и сила натяжения нити $T$, поэтому можем записать:

$$mg=T\sin{\beta}$$

$$F=T\cos{\beta}$$

Разделим первое уравнение на второе:

$$\operatorname{tg}{\beta}=\frac{mg}{F}=\frac{mg}{BLI}$$

Обращаю внимание, что угол $\beta$ не является искомым углом, а искомый   равен $\gamma=90^{\circ}-\beta$.

$$\beta=\operatorname {arctg}{\frac{mg}{BLI}}=\operatorname {arctg}{\frac{0,015\cdot10}{0,3\cdot0,2\cdot0,25}}=\operatorname {arctg}{10}=84,3^{\circ}$$

$$\gamma=90^{\circ}-\beta=90^{\circ}-84,3^{\circ}=5,7^{\circ}$$

Ответ: $\gamma=5,7^{\circ}$.

Задача 3. Медный провод, площадь сечения которого $S=2,5$ мм, согнутый, как показано на рисунке, может поворачиваться вокруг горизонтальной оси $OO^{\prime}$.  Провод находится в однородном магнитном поле, направленном вертикально. При прохождении по проводнику тока, провод отклоняется на угол $\alpha=20^{\circ}$ от вертикали. Определить индукцию поля, если сила тока $I=16$ А.

На провод с током в магнитном поле действует сила $F$, равная

$$F=BLI\sin{\gamma}$$

Так как поле перпендикулярно проводу, то $\sin{\gamma}=1$.

Направлена эта сила будет так, как показано на рисунке.

Задача 3

На горизонтальный участок провода  также действует сила тяжести  $mg$ и сила натяжения провода $T$. Так как вертикальные отрезки провода подвешены за один конец, то можно считать, что средняя сила тяжести, действующая на них, равна $\frac{mg}{2}$, поэтому можем записать, что суммарная сила тяжести равна:

$$Mg=2V \rho g=2Sl \rho g$$

Как и в предыдущей задаче,

$$mg=T\sin{\beta}$$

$$F=T\cos{\beta}$$

Разделим первое уравнение на второе:

$$\operatorname{tg}{\beta}=\frac{Mg}{F}=\frac{Mg}{BlI}=\frac{2Sl \rho g }{BlI}=\frac{2S \rho g}{BI}$$

Опять же, данный угол не является искомым. Искомый угол  равен

$$\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{BI}{2S \rho g}$$

Отсюда $B$:

$$B=\frac{2S \operatorname{tg}{\alpha} \rho g}{I}=\frac{2,5\cdot10^{-6}\cdot \operatorname{tg}{20^{\circ}}\cdot8900\cdot10}{16}=10^{-2}$$

Ответ: 10 мТл.

Задача 4. Металлический стержень длиной $L=0,2$ м и массой $m=10$ г подвешен на двух легких проводах длиной $l=10$ см  в однородном магнитном поле с индукцией $B=1$ Тл, направленной вертикально вниз. К точкам крепления проводов подключен конденсатор емкостью 100 мкФ, заряженный до напряжения $U=100$ В. Определить максимальный угол отклонения стержня от положения равновесия после разрядки конденсатора, если она происходит за очень малое время. Сопротивление стрежня и проводов не учитывать.

В течение короткого промежутка времени на проводник с током будет действовать сила, равная

$$F=B I L \sin{\alpha}$$

Но, так как направление протекания тока и направление линий магнитной индукции перпендикулярны, то $\sin{\alpha}=1$ и

$$F=B I L$$

Ток – это количество заряда, прошедшее за единицу времени через сечение проводника, то есть

$$I=\frac{q}{\Delta t}$$

Так как конденсатор разряжается, то очевидно, что за это короткое время с него стечет весь накопленный заряд:

$$I=\frac{CU}{\Delta t}$$

Тогда сила, действующая на проводник, будет равна:

$$F=\frac{B C U L}{\Delta t}$$

Как известно, импульс силы равен

$$F \Delta t=BCUL =m \upsilon$$

Отсюда найдем скорость, сообщенную проводнику:

$$\upsilon=\frac{BCUL}{m}$$

Так как в момент, когда проводник окажется в верхней точке, его скорость равна 0, то вся его кинетическая энергия, очевидно, перейдет в потенциальную:

$$\frac{m \upsilon^2}{2}=m g h$$

Таким образом, найдем высоту, на которую сможет подняться наш проводник:

$$h=\frac{\upsilon^2}{2g}$$

$$h=\frac{(BCUL)^2}{2m^2g}$$

Тогда косинус искомого угла отклонения от вертикали будет равен:

$$\cos{\alpha}=\frac{l-h}{l}$$

$$\cos{\alpha}=1-\frac{(BCUL)^2}{2m^2gl}$$

Можно теперь определить арккосинус полученного выражения, и дело в шляпе, но можно его еще упростить, используя тригонометрические функции половинного аргумента:

$$\sin^2{\frac{\alpha}{2}}=\frac{1-\cos{\alpha}}{2}$$

Тогда:

$$\frac{(BCUL)^2}{2m^2gl}=1-\cos{\alpha}$$

$$2\sin^2{\frac{\alpha}{2}}=\frac{(BCUL)^2}{2m^2gl}$$

$$\sin^2{\frac{\alpha}{2}}=\frac{(BCUL)^2}{4m^2gl}$$

$$\sin{\frac{\alpha}{2}}=\frac{BCUL}{2m\sqrt{gl}}$$

$$\frac{\alpha}{2}=\arcsin{\frac{BCUL}{2m\sqrt{gl}}}$$

$$\alpha=2\arcsin{\frac{BCUL}{2m\sqrt{gl}}}$$

Подставим числа:

$$\alpha=2\arcsin{\frac{1\cdot10^{-4}\cdot100\cdot0,2}{2\cdot0,1\sqrt{10\cdot0,1}}}=2\arcsin{0,1}=11,5^{\circ}$$

Ответ: $\alpha=11,5^{\circ}$