Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Магнитное поле, Сила Ампера

Магнитное поле: взаимодействие проводников и магнитный момент

На сайте есть уже записи на тему “Магнитное поле”. В этой статье предложены задачи на силу взаимодействия двух проводников с током, или рамки и прямолинейного проводника, а также задачи на определение магнитного момента катушки.

Задача 1. По кольцевому проводу течет  ток I_1, а по прямолинейному проводнику, расположенному на оси кольца, течет ток I_2. Определить силу взаимодействия этих токов.

Линии индукции линейного провода представляют собой окружности, поэтому они сонаправлены току I_1. Аналогично, линии индукции тока I_1 представляют собой окружности, лежащие в плоскостях, перпендикулярных линейному проводу, следовательно, параллельны току I_2. Так как угол между током и линиями индукции в обоих случаях равен нулю, то сила взаимодействия равна нулю.

К задаче 1

Задача 2.  Проводник в виде тонкого полукольца радиусом R= 10 см находится в однородном  магнитном поле с индукцией В = 5\cdot 10^{-2}Тл. Сила тока в проводнике I= 10 А. Найти силу, действующую на проводник, если плоскость полукольца перпендикулярна линиям индукции, а подводящие провода находятся вне поля.

Разделим наш проводник на малые кусочки dl. Тогда длина проводника

    \[L=n\cdot dl=\pi R\]

Сила, действующая на проводник, равна

    \[F=IBL=IB\pi R=10\cdot 5\cdot 10^{-2}\cdot \pi \cdot 0,1=0,157\]

Ответ: F=0,157 Н.

Задача 3. Какую минимальную работу совершает однородное магнитное поле с индукцией B = 1,5 Тл при перемещении проводника длиной l= 0,2 м на расстояние d = 0,25 м? Сила тока в проводнике I = 10 А. Направление перемещения перпендикулярно вектору  магнитной индукции и направлению тока. Проводник расположен под углом \alpha= 30^{\circ} к вектору магнитной  индукции.

Работа равна произведению силы на перемещение:

    \[A=Fd\]

Сила

    \[F=IBl \sin{\alpha}\]

    \[A= IBl \sin{\alpha}\cdot d=10 \cdot 1,5\cdot 0,2\sin{30^{\circ}}\cdot0,25=0,375\]

Ответ: A=0,375 Дж.

Задача 4.  По двум прямолинейным проводникам, находящимся на расстоянии r_1 = 5 см друг от друга, текут токи в одном направлении. Сила тока в первом проводнике I_1 = 10 А, во втором проводнике  I_2 = 20 А. Определить работу на единицу длины проводника, необходимую для того, чтобы развести проводники на расстояние r_2 = 10 см.

К задаче 4 – рисунок 1

Работа равна произведению силы на перемещение:

    \[A=Fr_2\]

Сила взаимодействия двух проводников определяется формулой

    \[F=\frac{\mu_0\cdot I_1I_2 l}{2 \pi r_1}\]

Но в данном случае сила переменна! Работа будет определяться площадью под кривой:

К задаче 4

Площадь под кривой можно определить с помощью интеграла, тогда

    \[A=\int_{r_1}^{r_2} F dr=\int_{r_1}^{r_2}\frac{\mu_0\cdot I_1I_2 l}{2 \pi r}dr=\frac{\mu_0\cdot I_1I_2 l}{2 \pi}\int_{r_1}^{r_2} \frac{dr}{r}=\frac{\mu_0\cdot I_1I_2 l}{2 \pi} \Bigl. \ln r \Bigr|_{r_1}^{r_2}=\frac{\mu_0\cdot I_1I_2 l}{2 \pi}(\ln r_2-\ln r_1)= \frac{\mu_0\cdot I_1I_2 l}{2 \pi}\ln{\frac{r_2}{r_1}}\]

    \[\frac{A}{l}=\frac{\mu_0\cdot I_1I_2}{2 \pi}\ln{\frac{r_2}{r_1}}=\frac{1,26\cdot10^{-6}\cdot 10\cdot20}{2 \pi }\ln{\frac{0,1}{0,05}}=27,6\cdot10^{-6}\]

Ответ: \frac{A}{l}=27,6 мкДж/м.

Задача 5. Укрепленную на конце коромысла весов небольшую катушку  с числом витков N = 200 поместили в зазор между полюсами магнита. Площадь поперечного сечения катушки S= 1 см^2, длина плеча ОА коромысла l = 30 см. В отсутствии тока весы уравновешены. Если через катушку пропустить ток, то для восстановления равновесия придется изменить груз на чаше весов на \Delta m= 60 мг. Найти индукцию магнитного поля при силе тока в катушке I= 22 мА.

К задаче 5

Магнитный момент, создаваемый катушкой, равен (\sin{\alpha}=0)

    \[M=BISN\]

Этот момент уравновешен моментом механическим, который равен произведению силы на плечо:

    \[M=\Delta m g l\]

Тогда

    \[BISN=\Delta m g l\]

    \[B=\frac{\Delta m g l }{ISN}=\frac{60\cdot10^{-6}\cdot10\cdot0,3}{22\cdot10^{-3}\cdot10^{-4}\cdot200}=\frac{9}{22}=0,4\]

Ответ: B=0,4 Тл.

Задача 6. В центре длинного соленоида, на каждый метр длины которого приходится n витков, находится катушка, состоящая из N витков поперечного сечения S  (рис. 13.43). Катушка укреплена на одном конце коромысла весов, которые, в отсутствии тока, находятся в равновесии. Когда через систему пропускают ток, то для уравновешивания весов на правое плечо коромысла добавляют груз массой m. Длина правого плеча коромысла l. Определить силу тока в системе, если катушка и соленоид соединены последовательно.

К задаче 6

Индукцию поля можно записать через напряженность поля:

    \[B=\mu_0 H\]

По закону полного тока

    \[Iw=Hl\]

    \[B=\mu_0 \frac{Iw}{l}\]

Общее число витков w, деленное на длину l, как раз и будет  величиной n:

    \[B=\mu_0 In\]

Далее, как и в предыдущей задаче, составляем уравнение равенства моментов:

    \[BISN= m g l\]

    \[\mu_0 I^2 SNn= m g l\]

    \[I^2=\frac{ m g l }{\mu_0  S N n }\]

    \[I=\sqrt{\frac{ m g l }{\mu_0  S N n }}\]

Ответ: I=\sqrt{\frac{m g l }{\mu_0  S N n }}

Задача 7. Квадратная проволочная рамка расположена в одной плоскости с длинным прямым проводом так, что две ее стороны параллельны проводу. Сила тока в рамке и проводе одинакова и I = 1 кА. Определить силу, действующую на рамку, если ближайшая к проводу сторона рамки находится на расстоянии, равном ее длине.

К задаче 7

С проводом будут взаимодействовать две стороны рамки, параллельные ему. Ближайшая расположена на расстоянии l, дальняя – на расстоянии 2l. Причем, если ток в ближней стороне рамки сонаправлен с током в проводе, то в дальней – противонаправлен. Тогда

    \[F=F_1-F_2=\frac{\mu_0I_1I_2l}{2\pi l}-\frac{\mu_0I_1I_2l}{4\pi l}=\frac{\mu_0I^2}{4\pi }=\frac{1,26\cdot10^{-6}\cdot10^6}{4\pi }=0,1\]

Ответ: F=0,1 Н.

Один комментарий

  • Надежда
    |

    Спасибо!

    Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *