Магнитное поле: снова рамки.

[latexpage]

В этой статье собраны задачи с рамками в поле. Ее можно вполне использовать для закрепления этого материала и самостоятельного решения. Статья является одиннадцатой и последней из серии «Магнитное поле». Конспект занятий Пенкина М.А.

Задача 1. По гладкой горизонтальной поверхности стола скользит проволочная рамка массой  $m=50$ г в форме квадрата со стороной  $a=50$ см. На пути её движения находится область вертикального однородного магнитного поля с индукцией  $B=1$ Тл. Рамка влетает в эту область, двигаясь перпендикулярно её границам, и останавливается, въехав наполовину. С какой скоростью $\upsilon_0$ рамка скользила по столу? Ответ выразить в см/с, округлив до целых. Сопротивление рамки составляет  $R=5$ Ом.

Рисунок 1

Так как сторона рамки 50 см, а въехала она наполовину, то тормозной путь составил 25 см. По окончании торможения скорость рамки равна 0. Когда движущаяся сторона рамки попала в поле, она стала подобна источнику.

$$E_i=B\upsilon l$$

Ток в рамке

$$I=\frac{E_i}{R}=\frac{ B\upsilon l }{R}$$

Ток будет падать вместе со скоростью.

Перейдем к механике:

$$F_a=-ma=-m\frac{\Delta \upsilon}{\Delta t}$$

Домножим на $\Delta t$:

$$ B\upsilon l \Delta t =-m\Delta \upsilon$$

Подставим ток

$$Bl\cdot\frac{ B\upsilon l }{R}\Delta t=-m\Delta \upsilon$$

Произведение $\upsilon \Delta t=\Delta S$, поэтому

$$\frac{ B^2l^2 }{R}\Delta S=-m\Delta \upsilon$$

Просуммируем по всему тормозному пути:

$$\frac{ B^2l^2 }{R}\sum \Delta S=-m\sum \Delta \upsilon$$

$$\frac{ B^2l^2 S }{R}=m\upsilon_0$$

Откуда

$$\upsilon_0=\frac{ B^2l^2 S }{Rm}=\frac{ 1^2\cdot0,5^2\cdot0,25 }{5\cdot0,05}=0,25$$

Ответ: 0,25 м/c

Задача 2. В зазоре между полюсами электромагнита вращается с угловой скоростью  $\omega=50$ 1/c проволочная рамка в форме полуокружности радиусом  $r=4$ см, содержащая $N=10$ витков провода. Ось вращения рамки проходит вдоль оси О рамки и находится вблизи края области с постоянным однородным магнитным полем с индукцией $B=0,5$ Тл (см. ри­с.), линии которого перпендикулярны плоскости рамки. Концы обмотки рамки замкнуты через скользящие контакты на резистор с сопротивлением  $R=10$ Ом. Пренебрегая сопротивлением рамки, найти тепловую мощность, выделяющуюся на резисторе. Ответ выразить в мВт, округлив до целых. Указание: площадь сектора круга с радиусом $r$ и с углом при основании $\Delta \alpha$  равна $\Delta S=0,5r^2\cdot \Delta \alpha$.

Рисунок 2

При вращении в магнитном поле в рамке возникает ЭДС индукции, равная

$$E_i=-\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}=\frac{\Delta (BS\cdot N)}{ \Delta t }=BN\frac{\Delta S}{ \Delta t }$$

При малом повороте на небольшой угол $\Delta \alpha$, площадь рамки увеличится на величину

$$\Delta S=\frac{1}{2}r^2 \delta \alpha=\frac{\omega r^2}{2}\Delta t$$

Тогда

$$E_i=\frac{BN\omega r^2}{2}$$

Ток равен

$$I=\frac{E_i}{R}=\frac{BN\omega r^2}{2R}$$

Тепловая мощность в резисторе равна

$$P=I^2R=\frac{B^2N^2\omega^2 r^4}{4R}=\frac{0,5^2\cdot10^2\cdot 50^2 \cdot0,04^4}{40}=0,004$$

Ответ: 4 мВт

Задача 3. Проволочный контур в виде квадрата со стороной, равной  $a=5$ см и общим сопротивлением контура  $R=0,1$ Ом. Часть контура находится в однородном магнитном поле с индукцией  $B_0=1$ Тл, перпендикулярной плоскости контура. Контур неподвижен и входит в область однородного магнитного поля на глубину  $b=2$ см. После выключения магнитного поля контур приобретает некоторый импульс. Определить величину и направление этого импульса, полагая, что за время спадания индукции магнитного поля смещение контура пренебрежимо мало. Самоиндукцией контура пренебречь. Ответ выразить в   г$\cdot$см/c, округлив до целых. Если импульс рамки направлен вверх, ответ записать со знаком “+”, если вниз, то со знаком “−”.

Рисунок 3

При выключении поля в контуре наведется ЭДС

$$E_i=-\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}=-S\frac{dB}{dt}=-ab\frac{dB}{dt}$$

Ток в контуре будет равен

$$I=\frac{E_i}{R}=-\frac{ab}{R}\frac{dB}{dt}$$

Переходим к механике. На контур с током будет действовать сила Ампера

$$F_A=IaB=-\frac{a^2bB}{R}\frac{dB}{dt}$$

Домножим на $dt$:

$$F_Adt= -\frac{a^2bB}{R}{dB}$$

Но $F_Adt =dp$ -изменение импульса рамки.

Просуммируем последнее выражение

$$\sum F_Adt= -\frac{a^2b}{R}\sum BdB$$

Тогда

$$\sum dp =-\frac{a^2b}{2R}\sum \Delta (B^2)$$

$$p =-\frac{a^2b}{2R}(B_0^2-0)$$

$$p =-\frac{a^2b}{2R}B_0^2=-\frac{0,05^2\cdot 0,02}{2\cdot0,1}\cdot 1^2=-25\cdot10^{-5}$$

Ответ: $p =-25$ г$\cdot$см/c.