[latexpage]
В этой статье собраны задачи с рамками в поле. Ее можно вполне использовать для закрепления этого материала и самостоятельного решения. Статья является одиннадцатой и последней из серии «Магнитное поле». Конспект занятий Пенкина М.А.
Задача 1. По гладкой горизонтальной поверхности стола скользит проволочная рамка массой $m=50$ г в форме квадрата со стороной $a=50$ см. На пути её движения находится область вертикального однородного магнитного поля с индукцией $B=1$ Тл. Рамка влетает в эту область, двигаясь перпендикулярно её границам, и останавливается, въехав наполовину. С какой скоростью $\upsilon_0$ рамка скользила по столу? Ответ выразить в см/с, округлив до целых. Сопротивление рамки составляет $R=5$ Ом.

Рисунок 1
Так как сторона рамки 50 см, а въехала она наполовину, то тормозной путь составил 25 см. По окончании торможения скорость рамки равна 0. Когда движущаяся сторона рамки попала в поле, она стала подобна источнику.
$$E_i=B\upsilon l$$
Ток в рамке
$$I=\frac{E_i}{R}=\frac{ B\upsilon l }{R}$$
Ток будет падать вместе со скоростью.
Перейдем к механике:
$$F_a=-ma=-m\frac{\Delta \upsilon}{\Delta t}$$
Домножим на $\Delta t$:
$$ B\upsilon l \Delta t =-m\Delta \upsilon$$
Подставим ток
$$Bl\cdot\frac{ B\upsilon l }{R}\Delta t=-m\Delta \upsilon$$
Произведение $\upsilon \Delta t=\Delta S$, поэтому
$$\frac{ B^2l^2 }{R}\Delta S=-m\Delta \upsilon$$
Просуммируем по всему тормозному пути:
$$\frac{ B^2l^2 }{R}\sum \Delta S=-m\sum \Delta \upsilon$$
$$\frac{ B^2l^2 S }{R}=m\upsilon_0$$
Откуда
$$\upsilon_0=\frac{ B^2l^2 S }{Rm}=\frac{ 1^2\cdot0,5^2\cdot0,25 }{5\cdot0,05}=0,25$$
Ответ: 0,25 м/c
Задача 2. В зазоре между полюсами электромагнита вращается с угловой скоростью $\omega=50$ 1/c проволочная рамка в форме полуокружности радиусом $r=4$ см, содержащая $N=10$ витков провода. Ось вращения рамки проходит вдоль оси О рамки и находится вблизи края области с постоянным однородным магнитным полем с индукцией $B=0,5$ Тл (см. рис.), линии которого перпендикулярны плоскости рамки. Концы обмотки рамки замкнуты через скользящие контакты на резистор с сопротивлением $R=10$ Ом. Пренебрегая сопротивлением рамки, найти тепловую мощность, выделяющуюся на резисторе. Ответ выразить в мВт, округлив до целых. Указание: площадь сектора круга с радиусом $r$ и с углом при основании $\Delta \alpha$ равна $\Delta S=0,5r^2\cdot \Delta \alpha$.

Рисунок 2
При вращении в магнитном поле в рамке возникает ЭДС индукции, равная
$$E_i=-\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}=\frac{\Delta (BS\cdot N)}{ \Delta t }=BN\frac{\Delta S}{ \Delta t }$$
При малом повороте на небольшой угол $\Delta \alpha$, площадь рамки увеличится на величину
$$\Delta S=\frac{1}{2}r^2 \delta \alpha=\frac{\omega r^2}{2}\Delta t$$
Тогда
$$E_i=\frac{BN\omega r^2}{2}$$
Ток равен
$$I=\frac{E_i}{R}=\frac{BN\omega r^2}{2R}$$
Тепловая мощность в резисторе равна
$$P=I^2R=\frac{B^2N^2\omega^2 r^4}{4R}=\frac{0,5^2\cdot10^2\cdot 50^2 \cdot0,04^4}{40}=0,004$$
Ответ: 4 мВт
Задача 3. Проволочный контур в виде квадрата со стороной, равной $a=5$ см и общим сопротивлением контура $R=0,1$ Ом. Часть контура находится в однородном магнитном поле с индукцией $B_0=1$ Тл, перпендикулярной плоскости контура. Контур неподвижен и входит в область однородного магнитного поля на глубину $b=2$ см. После выключения магнитного поля контур приобретает некоторый импульс. Определить величину и направление этого импульса, полагая, что за время спадания индукции магнитного поля смещение контура пренебрежимо мало. Самоиндукцией контура пренебречь. Ответ выразить в г$\cdot$см/c, округлив до целых. Если импульс рамки направлен вверх, ответ записать со знаком “+”, если вниз, то со знаком “−”.

Рисунок 3
При выключении поля в контуре наведется ЭДС
$$E_i=-\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}=-S\frac{dB}{dt}=-ab\frac{dB}{dt}$$
Ток в контуре будет равен
$$I=\frac{E_i}{R}=-\frac{ab}{R}\frac{dB}{dt}$$
Переходим к механике. На контур с током будет действовать сила Ампера
$$F_A=IaB=-\frac{a^2bB}{R}\frac{dB}{dt}$$
Домножим на $dt$:
$$F_Adt= -\frac{a^2bB}{R}{dB}$$
Но $F_Adt =dp$ -изменение импульса рамки.
Просуммируем последнее выражение
$$\sum F_Adt= -\frac{a^2b}{R}\sum BdB$$
Тогда
$$\sum dp =-\frac{a^2b}{2R}\sum \Delta (B^2)$$
$$p =-\frac{a^2b}{2R}(B_0^2-0)$$
$$p =-\frac{a^2b}{2R}B_0^2=-\frac{0,05^2\cdot 0,02}{2\cdot0,1}\cdot 1^2=-25\cdot10^{-5}$$
Ответ: $p =-25$ г$\cdot$см/c.
Пример 2. При х=2.5,...
В 14-ой нашел отношение q1\q2 + q2\q1 = 7 а дальше никак не...
Почему в 13 задании объем воды уменьшается? У нас же плавится...
А как решается 6-й...
Понял,...