Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика, Сила Ампера, Сила Лоренца, ЭДС индукции

Магнитное поле: снова рамки.

В этой статье собраны задачи с рамками в поле. Ее можно вполне использовать для закрепления этого материала и самостоятельного решения. Статья является одиннадцатой и последней из серии «Магнитное поле»

Задача 1. По гладкой горизонтальной поверхности стола скользит проволочная рамка массой  m=50 г в форме квадрата со стороной  a=50 см. На пути её движения находится область вертикального однородного магнитного поля с индукцией  B=1 Тл. Рамка влетает в эту область, двигаясь перпендикулярно её границам, и останавливается, въехав наполовину. С какой скоростью \upsilon_0 рамка скользила по столу? Ответ выразить в см/с, округлив до целых. Сопротивление рамки составляет  R=5 Ом.

Рисунок 1

Так как сторона рамки 50 см, а въехала она наполовину, то тормозной путь составил 25 см. По окончании торможения скорость рамки равна 0. Когда движущаяся сторона рамки попала в поле, она стала подобна источнику.

    \[E_i=B\upsilon l\]

Ток в рамке

    \[I=\frac{E_i}{R}=\frac{ B\upsilon l }{R}\]

Ток будет падать вместе со скоростью.

Перейдем к механике:

    \[F_a=-ma=-m\frac{\Delta \upsilon}{\Delta t}\]

Домножим на \Delta t:

    \[B\upsilon l \Delta t =-m\Delta \upsilon\]

Подставим ток

    \[Bl\cdot\frac{ B\upsilon l }{R}\Delta t=-m\Delta \upsilon\]

Произведение \upsilon \Delta t=\Delta S, поэтому

    \[\frac{ B^2l^2 }{R}\Delta S=-m\Delta \upsilon\]

Просуммируем по всему тормозному пути:

    \[\frac{ B^2l^2 }{R}\sum \Delta S=-m\sum \Delta \upsilon\]

    \[\frac{ B^2l^2 S }{R}=m\upsilon_0\]

Откуда

    \[\upsilon_0=\frac{ B^2l^2 S }{Rm}=\frac{ 1^2\cdot0,5^2\cdot0,25 }{5\cdot0,05}=0,25\]

Ответ: 0,25 м/c

Задача 2. В зазоре между полюсами электромагнита вращается с угловой скоростью  \omega=50 1/c проволочная рамка в форме полуокружности радиусом  r=4 см, содержащая N=10 витков провода. Ось вращения рамки проходит вдоль оси О рамки и находится вблизи края области с постоянным однородным магнитным полем с индукцией B=0,5 Тл (см. ри­с.), линии которого перпендикулярны плоскости рамки. Концы обмотки рамки замкнуты через скользящие контакты на резистор с сопротивлением  R=10 Ом. Пренебрегая сопротивлением рамки, найти тепловую мощность, выделяющуюся на резисторе. Ответ выразить в мВт, округлив до целых. Указание: площадь сектора круга с радиусом r и с углом при основании \Delta \alpha  равна \Delta S=0,5r^2\cdot \Delta \alpha.

Рисунок 2

При вращении в магнитном поле в рамке возникает ЭДС индукции, равная

    \[E_i=-\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}=\frac{\Delta (BS\cdot N)}{ \Delta t }=BN\frac{\Delta S}{ \Delta t }\]

При малом повороте на небольшой угол \Delta \alpha, площадь рамки увеличится на величину

    \[\Delta S=\frac{1}{2}r^2 \delta \alpha=\frac{\omega r^2}{2}\Delta t\]

Тогда

    \[E_i=\frac{BN\omega r^2}{2}\]

Ток равен

    \[I=\frac{E_i}{R}=\frac{BN\omega r^2}{2R}\]

Тепловая мощность в резисторе равна

    \[P=I^2R=\frac{B^2N^2\omega^2 r^4}{4R}=\frac{0,5^2\cdot10^2\cdot 50^2 \cdot0,04^4}{40}=0,004\]

Ответ: 4 мВт

Задача 3. Проволочный контур в виде квадрата со стороной, равной  a=5 см и общим сопротивлением контура  R=0,1 Ом. Часть контура находится в однородном магнитном поле с индукцией  B_0=1 Тл, перпендикулярной плоскости контура. Контур неподвижен и входит в область однородного магнитного поля на глубину  b=2 см. После выключения магнитного поля контур приобретает некоторый импульс. Определить величину и направление этого импульса, полагая, что за время спадания индукции магнитного поля смещение контура пренебрежимо мало. Самоиндукцией контура пренебречь. Ответ выразить в   г\cdotсм/c, округлив до целых. Если импульс рамки направлен вверх, ответ записать со знаком “+”, если вниз, то со знаком “−”.

Рисунок 3

При выключении поля в контуре наведется ЭДС

    \[E_i=-\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}=-S\frac{dB}{dt}=-ab\frac{dB}{dt}\]

Ток в контуре будет равен

    \[I=\frac{E_i}{R}=-\frac{ab}{R}\frac{dB}{dt}\]

Переходим к механике. На контур с током будет действовать сила Ампера

    \[F_A=IaB=-\frac{a^2bB}{R}\frac{dB}{dt}\]

Домножим на dt:

    \[F_Adt= -\frac{a^2bB}{R}{dB}\]

Но F_Adt =dp -изменение импульса рамки.

Просуммируем последнее выражение

    \[\sum F_Adt= -\frac{a^2b}{R}\sum BdB\]

Тогда

    \[\sum dp =-\frac{a^2b}{2R}\sum \Delta (B^2)\]

    \[p =-\frac{a^2b}{2R}(B_0^2-0)\]

    \[p =-\frac{a^2b}{2R}B_0^2=-\frac{0,05^2\cdot 0,02}{2\cdot0,1}\cdot 1^2=-25\cdot10^{-5}\]

Ответ: p =-25 г\cdotсм/c.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *