Магнитное поле: сложное движение рамки

В этой статье мы рассмотрим перемещающиеся в магнитном поле по сложной траектории  рамки.  Статья является восьмой в серии «Магнитное поле».

Задача. В магнитном поле находится квадратная рамка со стороной массой и сопротивлением . Рамку сначала удерживают, а затем сообщают ей горизонтальную скорость . Некоторое время спустя скорость рамки устанавливается. Найти эту постоянную скорость.

Рисунок

Сила Лоренца при движении зарядов в поле направлена перпендикулярно скорости. В данном случае, как видно из рисунка, сила Лоренца направлена не вдоль проводников рамки.  Так как скорость имеет две составляющие, по оси и по оси , то и сила Лоренца будет также иметь две составляющие. Составляющая силы Лоренца  по оси не двигает заряды вдоль проводника. «Рабочей лошадкой» будет составляющая силы по оси , обусловленная -ковой составляющей скорости.

Две силы Лоренца, возникающие в вертикальных проводниках рамки, индуцируют равные по модулю встречные ЭДС, которые компенсируют друг друга (на рисунке зачеркнуты).

В горизонтальных проводниках наведутся ЭДС:

Очевидно, вторая из них больше. Так как эти ЭДС направлены встречно, вторая, будучи большей по модулю, «победит» и определит направление тока в рамке.

По оси рамка движется с постоянной скоростью, по этой оси на рамку силы не действуют. По оси будут действовать силы Ампера. Запишем второй закон Ньютона для рамки:

Второй закон в проекциях на ось :

Приравняем полученные токи:

Скорость рамки

«Читерский» подход – через энергии. Мощность тепловых потерь в рамке равна мощности силы тяжести:

Далее определяем скорость так же.

Ответ: