Магнитное поле: сложное движение рамки

В этой статье мы рассмотрим перемещающиеся в магнитном поле по сложной траектории рамки. Статья является восьмой в серии «Магнитное поле».

Задача. В магнитном поле $B(y)=B_0(1+\alpha y), \alpha, B_0-const$ находится квадратная рамка со стороной $a$ массой $m$ и сопротивлением $R$ . Рамку сначала удерживают, а затем сообщают ей горизонтальную скорость $\upsilon_0$ . Некоторое время спустя скорость рамки устанавливается. Найти эту постоянную скорость.

Рисунок

Сила Лоренца при движении зарядов в поле направлена перпендикулярно скорости. В данном случае, как видно из рисунка, сила Лоренца направлена не вдоль проводников рамки. Так как скорость имеет две составляющие, по оси $x$ и по оси $y$ , то и сила Лоренца будет также иметь две составляющие. Составляющая силы Лоренца по оси $y$ не двигает заряды вдоль проводника. «Рабочей лошадкой» будет составляющая силы по оси $x$ , обусловленная $y$ -ковой составляющей скорости.

$B(y+a)=B_0(1+\alpha(y+a))$

$B(y+a)- B(y)= B_0(1+\alpha(y+a))- B_0(1+\alpha y)=B_0\alpha a$

Две силы Лоренца, возникающие в вертикальных проводниках рамки, индуцируют равные по модулю встречные ЭДС, которые компенсируют друг друга (на рисунке зачеркнуты).

В горизонтальных проводниках наведутся ЭДС:

$E_i(y)=B(y)\upsilon_y l\sin{\alpha}=B(y) \upsilon_y a$

$E_i(y+a)=B(y+a)\upsilon_y l\sin{\alpha}=B(y+a) \upsilon_y a$

Очевидно, вторая из них больше. Так как эти ЭДС направлены встречно, вторая, будучи большей по модулю, «победит» и определит направление тока в рамке.

$I=\frac{ E_i(y+a)- E_i(y)}{R}=\frac{ B(y+a) \upsilon_y a - B(y) \upsilon_y a }{R}$

$I=\frac{B_0\alpha a^2\upsilon_y}{R}$

По оси $x$ рамка движется с постоянной скоростью, по этой оси на рамку силы не действуют. По оси $y$ будут действовать силы Ампера. Запишем второй закон Ньютона для рамки:

$\vec{F}_A(y+a)+ \vec{F}_A(y)+\vec{mg}=0$