Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика, Сила Ампера, Сила Лоренца

Магнитное поле: сложное движение рамки

В этой статье мы рассмотрим перемещающиеся в магнитном поле по сложной траектории  рамки.  Статья является восьмой в серии «Магнитное поле».

Задача. В магнитном поле B(y)=B_0(1+\alpha y), \alpha, B_0-const находится квадратная рамка со стороной a массой m и сопротивлением R. Рамку сначала удерживают, а затем сообщают ей горизонтальную скорость \upsilon_0. Некоторое время спустя скорость рамки устанавливается. Найти эту постоянную скорость.

Рисунок

Сила Лоренца при движении зарядов в поле направлена перпендикулярно скорости. В данном случае, как видно из рисунка, сила Лоренца направлена не вдоль проводников рамки.  Так как скорость имеет две составляющие, по оси x и по оси y, то и сила Лоренца будет также иметь две составляющие. Составляющая силы Лоренца  по оси y не двигает заряды вдоль проводника. «Рабочей лошадкой» будет составляющая силы по оси x, обусловленная y-ковой составляющей скорости.

    \[B(y+a)=B_0(1+\alpha(y+a))\]

    \[B(y+a)- B(y)= B_0(1+\alpha(y+a))- B_0(1+\alpha y)=B_0\alpha a\]

Две силы Лоренца, возникающие в вертикальных проводниках рамки, индуцируют равные по модулю встречные ЭДС, которые компенсируют друг друга (на рисунке зачеркнуты).

В горизонтальных проводниках наведутся ЭДС:

    \[E_i(y)=B(y)\upsilon_y l\sin{\alpha}=B(y) \upsilon_y a\]

    \[E_i(y+a)=B(y+a)\upsilon_y l\sin{\alpha}=B(y+a) \upsilon_y a\]

Очевидно, вторая из них больше. Так как эти ЭДС направлены встречно, вторая, будучи большей по модулю, «победит» и определит направление тока в рамке.

    \[I=\frac{ E_i(y+a)- E_i(y)}{R}=\frac{ B(y+a) \upsilon_y a - B(y) \upsilon_y a }{R}\]

    \[I=\frac{B_0\alpha a^2\upsilon_y}{R}\]

По оси x рамка движется с постоянной скоростью, по этой оси на рамку силы не действуют. По оси y будут действовать силы Ампера. Запишем второй закон Ньютона для рамки:

    \[\vec{F}_A(y+a)+ \vec{F}_A(y)+\vec{mg}=0\]

    \[\upsilon_x=\upsilon_0=const\]

Второй закон в проекциях на ось y:

    \[F_A(y+a)=F_A(y)+mg\]

    \[B(y+a)Ia=B(y)Ia+mg\]

    \[B_0\alpha a\cdot Ia=mg\]

    \[I=\frac{mg}{B_0\alpha a^2}\]

Приравняем полученные токи:

    \[\frac{B_0\alpha a^2\upsilon_y}{R}= I=\frac{mg}{B_0\alpha a^2}\]

    \[\upsilon_y=\frac{mgR}{B_0^2\alpha^2 a^4}\]

Скорость рамки

    \[\upsilon=\sqrt{\upsilon_x^2+\upsilon_y^2}=\sqrt{\frac{m^2g^2R^2}{B_0^4\alpha^4 a^8}+\upsilon_0^2}\]

«Читерский» подход – через энергии. Мощность тепловых потерь в рамке равна мощности силы тяжести:

    \[mg\upsilon_y=I^2R\]

    \[mg\upsilon_y=\frac{m^2g^2}{B_0^2\alpha^2 a^4}R\]

    \[\upsilon_y=\frac{mgR}{B_0^2\alpha^2 a^4}\]

Далее определяем скорость так же.

Ответ: \upsilon=\sqrt{\frac{m^2g^2R^2}{B_0^4\alpha^4 a^8}+\upsilon_0^2}

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *