Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Олимпиадная физика, Сила Ампера, ЭДС индукции

Магнитное поле: рамки в поле 1

В этой статье мы рассмотрим перемещающиеся в магнитном поле рамки различных форм.  Статья является седьмой в серии «Магнитное поле».

Задача 1. По прямолинейному проводнику течет постоянный ток . В поле этого проводника, в плоскости рисунка, двигаются две рамки. Одна находится на расстоянии от проводника, длина ее стороны тоже , двигается она со скоростью , и в ней протекает ток . Вторая также находится на расстоянии , двигается со скоростью , и в ней протекает ток , который надо в этой задаче определить. Явлением самоиндукции пренебречь. Вторая рамка имеет перехлест. Линейное сопротивление рамок Ом/м.

Рисунок 1

Рассмотрим рисунок и определим направление поля, создаваемого проводом. Для этого воспользуемся правилом правой руки. Поле будет справа от проводника направлено от нас, а слева – к нам. В точке, удаленной от провода на расстояние индукция будет равна

   

То есть индукция обратно пропорциональна расстоянию от проводника. Это можно записать

   

Где – некоторый коэффициент.

Пусть – индукция на расстоянии от проводника.

   

Рассмотрим первую рамку. Две силы Лоренца в ее вертикальных сторонах вызовут появление ЭДС индукции, а в двух горизонтальных – нет, так как силы в них перпендикулярны проводнику, они просто «прижимают» носители заряда «к стенке».

Рисунок 2

В стороне рамки, находящейся на расстоянии от проводника, наведется ЭДС индукции, равная

   

Рисунок 3

В стороне рамки, находящейся на расстоянии от проводника, наведется ЭДС индукции, равная

   

Направление обеих ЭДС – вниз.

Ток в рамке, если ее сопротивление , будет равен

   

Теперь рассмотрим вторую рамку.

Рисунок 4

В стороне рамки, находящейся на расстоянии от проводника, наведется ЭДС индукции, равная

   

В стороне рамки, находящейся на расстоянии от проводника, наведется ЭДС индукции, равная

   

В стороне рамки, находящейся на расстоянии от проводника, наведется ЭДС индукции, равная

   

Все ЭДС направлены вниз, но за счет наличия у рамки перехлеста ЭДС стороны оказывается включенной встречно двум другим. Поэтому итоговая ЭДС

   

Таким образом, ток в рамке

   

Отношение токов будет равно:

   

Следовательно,

   

Ответ: .

Задача 2.  В области создано однородное магнитное поле с индукцией , перпендикулярной плоскости рамки. Квадратная рамка движется со скоростью по гладкой поверхности. – сопротивление единицы длины рамки, Ом/м. Масса рамки . Рамка въезжает в поле. Найти скорость , которая установится у рамки.

Рисунок 5

Когда правая сторона рамки окажется в зоне действия поля, в ней возникнет ток под действием ЭДС самоиндукции

   

При этом две силы Ампера, действующие на верхний и нижний проводники, компенсируют друг друга. Запишем второй закон Ньютона:

   

   

   

Подставим во второй закон:

   

Домножим на :

   

Заменим :

   

Когда левая часть рамки пересечет границу поля, в ней тоже наведется ЭДС, такая же по модулю и направлению, так что она компенсирует ЭДС первой стороны и ток прекратится. Таким образом, скорость будет сохраняться. Суммируем обе стороны последнего равенства:

   

   

   

Задача 3. Рамку сложной формы двигают со скоростью . – сопротивление единицы длины рамки, Ом/м. На пути рамки находится магнитный слой шириной . Рамка въезжает в него и выезжает. Какое количество теплоты выделится? Индукция направлена перпендикулярно плоскости рамки.

Рисунок 6

Определим полное сопротивление рамки. Периметр рамки равен ,

   

Когда в поле окажется верхняя ее сторона, то в ней наведется ЭДС, равная

   

В момент «въезда» в поле еще двух горизонтальных проводников рамки ЭДС станет равной

   

К моменту, когда в поле въедет нижняя сторона рамки, верхняя как раз покинет область поля, поэтому общая ЭДС опять станет равной – за счет взаимной компенсации ЭДС, направленных встречно. Наконец, когда «плечи» покинут область поля, в поле останется только нижняя длинная сторона рамки и ЭДС снова станет равной .

График выделяющегося тепла будет следующим:

Рисунок 7

Отрезки времени на графике .

   

   

   

   

   

Полное количество теплоты

   

Ответ: .

Задача 4. В горизонтальной гладкой плоскости  размещена рамка прямоугольной формы без массы, сопротивлением . Размер рамки . Рамка находится в магнитном поле, которое  неоднородно: , , . К рамке присоединяют груз посредством идеального блока и легкой нерастяжимой нити. Некоторое время спустя движение рамки становится равномерным. Найти скорость равномерного движения рамки.

Рисунок 8

Проанализируем ситуацию: составляющие магнитного поля и никак не скажутся на движении рамки: скорость направлена по оси , поэтому , а составляющая по оси вызовет появление силы Лоренца, которая будет «прижимать к стенке» заряды, не вызывая тока в рамке.  В появлении «продуктивной» силы Лоренца будет «виновата» лишь составляющая поля, направленная по оси . Причем ЭДС будут возникать в обоих параллельных оси проводниках. Но, так как поле неоднородно, то ЭДС индукции, возникающие в них и направленные встречно, будут разными по модулю и не компенсируют друг друга. Тогда в месте расположения левого проводника индукция , а в месте расположения правого – . В рамке возникнет ток:

   

Где , .

Подставим в выражение для тока:

   

Так как скорость постоянна, то и ток постоянен по величине. Запишем второй закон Ньютона для рамки:

   

Из второго закона Ньютона для груза следует, что

   

Тогда

   

   

   

Подставим ранее полученную разность :

   

   

Приравниваем ток, полученный двумя способами: из механики и из электродинамики:

   

Откуда скорость

   

Это ответ. Его можно было найти «читерским» способом: работа, которую совершает сила Ампера, равна работе силы тяжести:

   

   

   

   

   

Или

   

Подставляем ток, найденный ранее, и получаем тот же ответ:

   

Ответ: .

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *