Магнитное поле проводника с током

[latexpage]

В статье предложены задачи на вычисление работы поля и определение индукции магнитного поля, а также магнитного момента. Некоторые задачи покажутся вам совсем простыми, другие, связанные с вычислением работы переменной по модулю силы – сложнее.

Задача 1. По кольцевому проводу (рис.) течет  ток $I_1$, а по прямолинейному проводнику, расположенному на оси кольца, течет ток $I_2$. Определить силу взаимодействия этих токов.

К задаче 1

Здесь линии поля линейного проводника представляют собой концентрические окружности. Они будут параллельны кольцевому витку. С другой стороны, линии поля кольцевого проводника также окажутся перпендикулярными линейному, так как тоже будут являться концентрическими окружностями. Следовательно, сила взаимодействия таких токов – нулевая.
Задача 2.  Проводник в виде тонкого полукольца радиусом $R= 10$ см находится в однородном  магнитном поле с индукцией $В = 5\cdot 10^{-2}$Тл. Сила тока в проводнике $I= 10$ А. Найти силу, действующую на проводник, если плоскость полукольца перпендикулярна линиям индукции, а подводящие провода находятся вне поля.

Разделим полукольцо на $n$ элементов малой длины. Тогда

$$\Delta l \cdot n=\pi R$$

Сила Ампера, действующая на каждый элементарный кусочек, равна

$$F_n=I B \Delta l$$

А на все кусочки

$$F=n I B \Delta l=I B \pi R=10\cdot5\cdot 10^{-2}\cdot \pi \cdot 0,1=0,157$$

Ответ: $F=0,157$ Н.

Задача 3. Какую минимальную работу совершает однородное магнитное поле с индукцией $B = 1,5$ Тл при перемещении проводника длиной $l= 0,2$ м на расстояние $d = 0,25$ м? Сила тока в проводнике $I = 10$ А. Направление перемещения перпендикулярно вектору  магнитной индукции и направлению тока. Проводник расположен под углом $\alpha= 30^{\circ}$ к вектору магнитной  индукции.
Определяем силу Ампера:

$$F=I B l \sin{\alpha}$$

Определяем работу:

$$A=Fd=d I B l \sin{\alpha}=0,25\cdot10\cdot1,5\cdot0,2\cdot0,5=0,375$$

Ответ: $A=375$ мДж.

Задача 4.  По двум прямолинейным проводникам, находящимся на расстоянии $r_1 = 5$ см друг от друга, текут токи в одном направлении. Сила тока в первом проводнике $I_1 = 10$ А, во втором проводнике  $I_2 = 20$ А. Определить работу на единицу длины проводника, необходимую для того, чтобы развести проводники на расстояние $r_2 = 10$ см.

Индукция, создаваемая бесконечным проводником, определяется формулой:

$$B=\frac{\mu \mu_0 l }{2 \pi R}$$

Пусть поле создано проводником 2:

$$B_2=\frac{\mu \mu_0 I_2 }{2 \pi r_1}$$

Тогда сила, воздействующая на проводник 1, равна

$$F_1=I_1B_2 l=I_1\cdot\frac{\mu \mu_0 I_2 l}{2 \pi r_1}=\frac{\mu \mu_0 I_2 I_1l}{2 \pi r_1}$$

Сила на единицу длины проводника

$$\frac{F_1}{l}=\frac{\mu \mu_0 I_2 I_1}{2 \pi r_1}$$

Но эта сила такова только на расстоянии $r_1$ от проводника, а потом, когда мы начнем отодвигать проводник 1, она будет уменьшаться, и это надо учесть.

$$\frac{F}{l}=\frac{\mu \mu_0 I_2 I_1}{2 \pi r}$$

Работа этой силы будет равна

$$A=FS$$

Так как сила переменная, определим работу этой силы как сумму элементарных работ на маленьких участках, на которых можно эту силу считать постоянной.

$$dA=Fdr$$

На единицу длины

$$\frac{dA}{l}=\frac{F}{l}dr=\frac{\mu \mu_0 I_2 I_1}{2 \pi r}dr$$

Если эти работы суммировать, то такая сумма будет представлять собой интеграл:

$$\frac{A}{l}=\int \limits_{r_1}^{r_2}\frac{\mu \mu_0 I_2 I_1}{2 \pi r}dr \, dr=\frac{\mu \mu_0 I_2 I_1}{2 \pi} \ln r \Bigl. ~\Bigr|_{r_1}^{r_2}=$$

$$=\frac{\mu \mu_0 I_2 I_1}{2 \pi} (\ln r_2-\ln r_1)= \frac{\mu \mu_0 I_2 I_1}{2 \pi} \ln {\frac{r_2}{r_1}}=\frac{1,26\cdot10^{-6}\cdot 10\cdot 20}{6,28} \ln {2}=0,278\cdot 10^{-4}$$

Ответ: $\frac{A}{l}=27,8$ мкДж/м.

Задача 5. Укрепленную на конце коромысла весов небольшую катушку  с числом витков $N = 200$ поместили в зазор между полюсами магнита (рис. ). Площадь поперечного сечения катушки $S= 1$ см$^2$, длина плеча ОА коромысла $l = 30$ см. В отсутствии тока весы уравновешены. Если через катушку пропустить ток, то для восстановления равновесия придется изменить груз на чаше весов на $\Delta m= 60$ мг. Найти индукцию магнитного поля при силе тока в катушке $I= 22$ мА.

К задаче 5

Так как возникает необходимость добавить груз на чашу весов, то давайте определим, какой момент создаст этот добавленный груз.

$$M=\Delta m g l$$

Магнитный момент, создаваемый током, равен:

$$M=B I S N$$

Тогда, приравнивая, получаем

$$ B I S N=\Delta m g l$$
Откуда

$$B=\frac{\Delta m g l }{ I S N }=\frac{60\cdot10^{-6}\cdot10 \cdot0,3 }{22\cdot10^{-3}\cdot10^{-4}\cdot200}=0,4$$

Ответ: 0,4 Тл.