Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Сила Ампера

Магнитное поле проводника с током

В статье предложены задачи на вычисление работы поля и определение индукции магнитного поля, а также магнитного момента. Некоторые задачи покажутся вам совсем простыми, другие, связанные с вычислением работы переменной по модулю силы – сложнее.

Задача 1. По кольцевому проводу (рис.) течет  ток I_1, а по прямолинейному проводнику, расположенному на оси кольца, течет ток I_2. Определить силу взаимодействия этих токов.

К задаче 1

Здесь линии поля линейного проводника представляют собой концентрические окружности. Они будут параллельны кольцевому витку. С другой стороны, линии поля кольцевого проводника также окажутся перпендикулярными линейному, так как тоже будут являться концентрическими окружностями. Следовательно, сила взаимодействия таких токов – нулевая.
Задача 2.  Проводник в виде тонкого полукольца радиусом R= 10 см находится в однородном  магнитном поле с индукцией В = 5\cdot 10^{-2}Тл. Сила тока в проводнике I= 10 А. Найти силу, действующую на проводник, если плоскость полукольца перпендикулярна линиям индукции, а подводящие провода находятся вне поля.

Разделим полукольцо на n элементов малой длины. Тогда

    \[\Delta l \cdot n=\pi R\]

Сила Ампера, действующая на каждый элементарный кусочек, равна

    \[F_n=I B \Delta l\]

А на все кусочки

    \[F=n I B \Delta l=I B \pi R=10\cdot5\cdot 10^{-2}\cdot \pi \cdot 0,1=0,157\]

Ответ: F=0,157 Н.

Задача 3. Какую минимальную работу совершает однородное магнитное поле с индукцией B = 1,5 Тл при перемещении проводника длиной l= 0,2 м на расстояние d = 0,25 м? Сила тока в проводнике I = 10 А. Направление перемещения перпендикулярно вектору  магнитной индукции и направлению тока. Проводник расположен под углом \alpha= 30^{\circ} к вектору магнитной  индукции.
Определяем силу Ампера:

    \[F=I B l \sin{\alpha}\]

Определяем работу:

    \[A=Fd=d I B l \sin{\alpha}=0,25\cdot10\cdot1,5\cdot0,2\cdot0,5=0,375\]

Ответ: A=375 мДж.

Задача 4.  По двум прямолинейным проводникам, находящимся на расстоянии r_1 = 5 см друг от друга, текут токи в одном направлении. Сила тока в первом проводнике I_1 = 10 А, во втором проводнике  I_2 = 20 А. Определить работу на единицу длины проводника, необходимую для того, чтобы развести проводники на расстояние r_2 = 10 см.

Индукция, создаваемая бесконечным проводником, определяется формулой:

    \[B=\frac{\mu \mu_0 l }{2 \pi R}\]

Пусть поле создано проводником 2:

    \[B_2=\frac{\mu \mu_0 I_2 }{2 \pi r_1}\]

Тогда сила, воздействующая на проводник 1, равна

    \[F_1=I_1B_2 l=I_1\cdot\frac{\mu \mu_0 I_2 l}{2 \pi r_1}=\frac{\mu \mu_0 I_2 I_1l}{2 \pi r_1}\]

Сила на единицу длины проводника

    \[\frac{F_1}{l}=\frac{\mu \mu_0 I_2 I_1}{2 \pi r_1}\]

Но эта сила такова только на расстоянии r_1 от проводника, а потом, когда мы начнем отодвигать проводник 1, она будет уменьшаться, и это надо учесть.

    \[\frac{F}{l}=\frac{\mu \mu_0 I_2 I_1}{2 \pi r}\]

Работа этой силы будет равна

    \[A=FS\]

Так как сила переменная, определим работу этой силы как сумму элементарных работ на маленьких участках, на которых можно эту силу считать постоянной.

    \[dA=Fdr\]

На единицу длины

    \[\frac{dA}{l}=\frac{F}{l}dr=\frac{\mu \mu_0 I_2 I_1}{2 \pi r}dr\]

Если эти работы суммировать, то такая сумма будет представлять собой интеграл:

    \[\frac{A}{l}=\int \limits_{r_1}^{r_2}\frac{\mu \mu_0 I_2 I_1}{2 \pi r}dr \, dr=\frac{\mu \mu_0 I_2 I_1}{2 \pi} \ln r \Bigl. ~\Bigr|_{r_1}^{r_2}=\]

    \[=\frac{\mu \mu_0 I_2 I_1}{2 \pi} (\ln r_2-\ln r_1)= \frac{\mu \mu_0 I_2 I_1}{2 \pi} \ln {\frac{r_2}{r_1}}=\frac{1,26\cdot10^{-6}\cdot 10\cdot 20}{6,28} \ln {2}=0,278\cdot 10^{-4}\]

Ответ: \frac{A}{l}=27,8 мкДж/м.

Задача 5. Укрепленную на конце коромысла весов небольшую катушку  с числом витков N = 200 поместили в зазор между полюсами магнита (рис. ). Площадь поперечного сечения катушки S= 1 см^2, длина плеча ОА коромысла l = 30 см. В отсутствии тока весы уравновешены. Если через катушку пропустить ток, то для восстановления равновесия придется изменить груз на чаше весов на \Delta m= 60 мг. Найти индукцию магнитного поля при силе тока в катушке I= 22 мА.

К задаче 5

Так как возникает необходимость добавить груз на чашу весов, то давайте определим, какой момент создаст этот добавленный груз.

    \[M=\Delta m g l\]

Магнитный момент, создаваемый током, равен:

    \[M=B I S N\]

Тогда, приравнивая, получаем

    \[B I S N=\Delta m g l\]

Откуда

    \[B=\frac{\Delta m g l }{ I S N }=\frac{60\cdot10^{-6}\cdot10 \cdot0,3 }{22\cdot10^{-3}\cdot10^{-4}\cdot200}=0,4\]

Ответ: 0,4 Тл.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *