Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика, Сила Ампера, Сила Лоренца, ЭДС индукции

Магнитное поле: перемычки на рельсах – 3

В этой статье мы рассмотрим перемещающиеся по рельсам перемычки в магнитном поле .  Если две предыдущие статьи с перемычками вы уже изучили, то можно использовать эту в качестве домашнего задания – для закрепления материала. Статья является шестой в серии «Магнитное поле».

Задача 1. Две вертикальные проводящие рейки, расстояние между которыми   L=25 см, находятся в однородном магнитном поле, индукция которого  B=1 Тл направлена перпендикулярно плоскости рисунка. Сверху рейки соединены через батарею с ЭДС E=6 В и внутренним сопротивлением  r=2 Ом, а снизу – через резистор с сопротивлением  R=6 Ом. В начальный момент проводящую перемычку AC массой  m=100 г удерживают неподвижной, а затем отпускают. Через некоторое время перемычка движется вниз с установившейся скоростью \upsilon. Найти \upsilon. Ответ выразить в м/с, округлив до целых. Сопротивлением реек и перемычки пренебречь. Принять  g=10 м/с^2.

Рисунок 1

Рассмотрим перемычку в момент, когда ее скорость уже установилась. Тогда по второму закону Ньютона

    \[F_A=mg\]

    \[F_A= BI l\sin{\alpha}= BI l\sin{90^{\circ}}=BIl\]

    \[BIl=mg\]

Откуда

    \[I=\frac{mg}{Bl}\]

С другой стороны, если перемычка движется в магнитном поле со скоростью \upsilon, то на ее концах наводится ЭДС, определяемая формулой

    \[E_i=B\upsilon l\sin{\alpha}= B\upsilon l\sin{90^{\circ}}=B\upsilon l\]

Схема будет выглядеть так:

Рисунок 2

Так как по определению идеальный источник ЭДС – это двухполюсник, напряжение на зажимах которого не зависит от протекающего тока – а наша перемычка будет именно таким идеальным источником – то можно записать

    \[I_1=\frac{E+E_i}{r}\]

    \[I_2=\frac{E_i}{R}\]

    \[I=I_1+I_2=\frac{E+E_i}{r}+\frac{E_i}{R}\]

Таким образом,

    \[\frac{mg}{Bl}=\frac{E+E_i}{r}+\frac{E_i}{R}\]

    \[\frac{mg}{Bl}=\frac{E}{r}+\frac{E_i}{r}+\frac{E_i}{R}\]

    \[\frac{mg}{Bl}-\frac{E}{r}=E_i\left(\frac{1}{r}+\frac{1}{R}\right)\]

    \[\frac{mg}{Bl}-\frac{E}{r}=B \upsilon l\frac{r+R}{rR}\]

    \[\frac{mg}{B^2l^2}-\frac{E}{rBl}= \upsilon \frac{r+R}{rR}\]

    \[\upsilon=\left(\frac{mg}{B^2l^2}-\frac{E}{rBl}\right) \frac{rR}{r+R}\]

    \[\upsilon=6\]

Ответ: 6 м/с.

Задача 2. По двум горизонтальным проводящим рейкам, расстояние между которыми  L=1 м, может скользить без трения перемычка, масса которой  m=50 г, а омическое сопротивление  r=0,5 Ом. Слева и справа концы реек соединены через резисторы с сопротивлением  R=1 Ом. Система находится в однородном вертикальном магнитном поле с индукцией  B=0,1 Тл. Неподвижной перемычке сообщают начальную скорость  \upsilon_0=50 см/с вдоль реек. На какое расстояние сместится перемычка? Ответ выразить в м, округлив до десятых. Сопротивлением реек пренебречь. Перемычка расположена перпендикулярно рейкам.

Рисунок 3

В некоторый момент перемычка имеет скорость \upsilon, а значит, эквивалентна батарейке с ЭДС

    \[E_i=B\upsilon l\sin{\alpha}= B\upsilon l\sin{90^{\circ}}=B\upsilon l\]

Тогда на движущийся проводник с током начнет действовать сила Ампера (она здесь будет тормозящей силой). Но эта сила будет меняться: меняется скорость, меняется E_i, меняется ток.  А именно, сила будет убывать. Поэтому

    \[F_A= BI l\sin{\alpha}= BI l\sin{90^{\circ}}=BIl\]

Тогда

    \[B I l =-\frac{\Delta \upsilon}{\Delta t} m\]

Электрическая схема:

Рисунок 4

Преобразуем параллельно включенные сопротивления:

Рисунок 5

    \[I=\frac{E_i}{r+0,5R}=\frac{B\upsilon l}{ r+0,5R }\]

Подставляем ток  в выражение для силы Ампера:

    \[\frac{ B^2 l^2 \upsilon }{ r+0,5R}=-m\frac{\Delta \upsilon}{\Delta t}\]

Домножим на \Delta t:

    \[\frac{ B^2 l^2 \upsilon \Delta t }{ r+0,5R }=-m\Delta \upsilon\]

Заменим произведение \upsilon \Delta t=\Delta S – на элементарное перемещение:

    \[\frac{ B^2 l^2\Delta S }{ r+0,5R }=-m\Delta \upsilon\]

И просуммируем это выражение за весь тормозной путь S:

    \[\frac{ B^2 l^2 }{ r+0,5R }\sum \Delta S=-m\sum \Delta \upsilon\]

    \[\frac{ B^2 l^2 }{ r+0,5R } S=-m(\upsilon-\upsilon_0)\]

    \[\frac{ B^2 l^2 }{ r+0,5R } S=m\upsilon_0\]

Откуда тормозной путь

    \[S=\frac{ m\upsilon_0\left(r+0,5R \right)}{ B^2 l^2 }=\frac{ 0,05\cdot0,5\left(0,5+0,5 \right)}{ 0,1^2\cdot 1^2 }=2,5\]

Ответ: S=2,5.

Задача 3. По длинным вертикальным проводящим штангам, находящимся на расстоянии  l=10 см друг от друга, может без трения скользить, не теряя электрического контакта и оставаясь перпендикулярной рельсам, проводящая перемычка массой m. Штанги соединены через два резистора с сопротивлением  r=1 Ом и идеальную батарею с ЭДС  E=2,4 В. Сопротивлением остальных участков цепи можно пренебречь. Система находится в горизонтальном постоянном однородном магнитном поле с индукцией  B=1 Тл, перпендикуляром плоскости рисунка. Ускорение свободного падения принять равным  g=10 м/c^2.

Рисунок 6

Чему равна масса перемычки, если при разомкнутом ключе она оказывается неподвижной? Ответ выразить в г, округлив до целых.

После замыкания ключа через некоторое время устанавливается постоянная скорость перемычки. Чему равна эта скорость? Ответ выразить в м/с, округлив до целых.

Так как перемычка неподвижна, то она не представляет собой ЭДС, и ток через нее будет равен

    \[I=\frac{E}{2r}\]

Сила Ампера будет уравновешена силой тяжести:

    \[mg=F_A=BIl\]

Откуда

    \[m=\frac{ BIl }{g}=\frac{BEl}{2gr}=\frac{2,4\cdot0,1}{20\cdot 1}=0,012\]

Масса перемычки 12 г.

Теперь замкнем ключ. Сопротивление r оказывается шунтировано перемычкой (ключом) и исчезает из цепи. Следовательно, и ток уже другой. Теперь перемычка двигается, а в движущемся в магнитном поле проводнике индуцируется ЭДС, равная

    \[E_i=B l\upsilon\]

Теперь наша перемычка подобна батарейке, изобразим схему:

Рисунок 7

    \[I_1=\frac{E+E_i}{r}=\frac{E+ B l\upsilon }{r}\]

Тогда

    \[F_{A1}=BI_1 l=mg\]

    \[\frac{EBl+ B^2 l^2\upsilon }{r}=mg\]

    \[\upsilon=\frac{\left(mg-\frac{BlE}{r}\right)r}{B^2l^2}=\frac{mgr}{B^2l^2}-\frac{E}{Bl}=\frac{0,012\cdot10\cdot1}{1^2\cdot0,1^2}-\frac{2,4}{1\cdot0,1}=-12\]

То есть скорость направлена вверх. При составлении уравнения по второму закону я предположила, что движение будет направлено вниз, и в соответствии с этим составила уравнение по второму закону. Так как получен «минус» – предположение неверно и направление скорости – противоположное.

Ответ: 12 м/с

Задача 4. Тонкое проволочное кольцо радиусом  a=30 см расположено в однородном магнитном поле с индукцией  B=1 Тл. Силовые линии поля направлены перпендикулярно плоскости рисунка. По кольцу скользят в противоположных направлениях две перемычки с угловыми скоростями  \omega_0=50 рад/с и 3\omega_0. Перемычки и кольцо сделаны из одного куска проволоки, сопротивление единицы длины которого составляет  \rho=59 Ом/м. Определить величину тока через перемычки, когда угол \varphi=90^{\circ}. Ответ выразить в мА, округлив до целых. Между перемычками в точке O, а также между кольцом и перемычками – хороший электрический контакт. Считать, что \pi=3,1.

Рисунок 8

Так как точки перемычки все двигаются с разными скоростями, поскольку располагаются на разном расстоянии от центра вращения, то при расчете будем брать среднюю скорость.

    \[\upsilon_{sr1}=\frac{\omega l}{2}\]

    \[\upsilon_{sr2}=\frac{3\omega l}{2}=1,5\omega l\]

Шаг 1. На концах проводника, движущегося в магнитном поле, индуцируется ЭДС, определяемая формулой:

    \[E_{i1}=B\upsilon l\sin{\alpha}= B\upsilon l\sin{90^{\circ}}=\frac{1}{2}B\omega l^2\]

    \[E_{i2}=B\upsilon l\sin{\alpha}= B\upsilon l\sin{90^{\circ}}=1,5B \omega l^2=3 E_{i1}\]

Длины перемычек равны, их сопротивления – также:

    \[r=\rho l\]

Так как длина дуги между перемычками  90^{\circ}\frac{\pi l}{2}, то ее сопротивление

    \[R=\frac{\pi l}{2}\rho\]

Эквивалентная схема будет выглядеть так:

Рисунок 9

Сопротивления R и 3R соединены параллельно,

Рисунок 10

Рисунок 11

    \[R_e=\frac{r\cdot 3R}{R+3R}=0,75R\]

    \[I=\frac{4E}{2r+0,75R}=\frac{16E}{8r+3R}\]

    \[I=\frac{16\cdot \frac{1}{2}B \omega l^2}{8\rho l+\frac{3\pi l \rho}{2}}=\frac{32B\omega l}{16\rho+4\pi \rho}=0,16\]

Ответ: I=0,16 A.

 

Задача 5. По длинным параллельным проводящим горизонтальным рельсам, находящимся на расстоянии L друг от друга, может без трения скользить, не теряя электрического контакта и оставаясь перпендикулярной рельсам, проводящая перемычка (на рисунке изображен вид сверху). Рельсы соединены через источник с ЭДС E  и внутренним сопротивлением r. Сопротивлением остальных участков цепи можно пренебречь. Система находится в вертикальном однородном магнитном поле с индукцией B, перпендикулярном плоскости рисунка. Если к перемычке приложить параллельно рельсам силу F, то перемычка будет оставаться неподвижной, а при вдвое большей силе (в том же направлении) через некоторое время устанавливается равномерное движение перемычки со скоростью \upsilon. Найдите \upsilon, если  E=2 В,  B=1 Тл и  L=40 см. Ответ выразить в м/с, округлив до целых.

Рисунок 12

Сначала перемычку удерживают, так как в ней протекает ток и возникает сила Ампера, старающаяся сдвинуть перемычку влево. Поэтому силу F надо прикладывать вправо.

    \[F_{A1}=BI_1l=F_1\]

    \[I_1=\frac{E}{r}\]

Далее силу удваивают, и перемычка начинает двигаться, следовательно, она подобна батарейке с ЭДС

    \[E_i=Bl\upsilon\]

    \[I_2=\frac{E+E_i}{r}=\frac{E+ Bl\upsilon }{r}\]

Тогда новая сила Ампера

    \[F_{A2}=BI_2l\]

    \[F_{A2}=2F_1=2 BI_1l\]

Откуда I_2=2I_1

    \[I_2=\frac{2E}{r}\]

    \[E=E_i= Bl\upsilon\]

    \[\upsilon=\frac{E}{Bl}=\frac{2}{1\cdot0,4}=5\]

Ответ: 5 м/c.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *