Магнитное поле: перемычки на рельсах

Магнитное поле: перемычки на рельсах – 3

В этой статье мы рассмотрим перемещающиеся по рельсам перемычки в магнитном поле . Если две предыдущие статьи с перемычками вы уже изучили, то можно использовать эту в качестве домашнего задания – для закрепления материала. Статья является шестой в серии «Магнитное поле».

Задача 1. Две вертикальные проводящие рейки, расстояние между которыми $L=25$ см, находятся в однородном магнитном поле, индукция которого $B=1$ Тл направлена перпендикулярно плоскости рисунка. Сверху рейки соединены через батарею с ЭДС $E=6$ В и внутренним сопротивлением $r=2$ Ом, а снизу – через резистор с сопротивлением $R=6$ Ом. В начальный момент проводящую перемычку AC массой $m=100$ г удерживают неподвижной, а затем отпускают. Через некоторое время перемычка движется вниз с установившейся скоростью $\upsilon$ . Найти $\upsilon$ . Ответ выразить в м/с, округлив до целых. Сопротивлением реек и перемычки пренебречь. Принять $g=10$ м/с $^2$ .

Рисунок 1

Рассмотрим перемычку в момент, когда ее скорость уже установилась. Тогда по второму закону Ньютона

$F_A=mg$

$F_A= BI l\sin{\alpha}= BI l\sin{90^{\circ}}=BIl$

$BIl=mg$

Откуда

$I=\frac{mg}{Bl}$

С другой стороны, если перемычка движется в магнитном поле со скоростью $\upsilon$ , то на ее концах наводится ЭДС, определяемая формулой

$E_i=B\upsilon l\sin{\alpha}= B\upsilon l\sin{90^{\circ}}=B\upsilon l$

Схема будет выглядеть так:

Рисунок 2

Так как по определению идеальный источник ЭДС – это двухполюсник, напряжение на зажимах которого не зависит от протекающего тока – а наша перемычка будет именно таким идеальным источником – то можно записать

$I_1=\frac{E+E_i}{r}$

$I_2=\frac{E_i}{R}$

$I=I_1+I_2=\frac{E+E_i}{r}+\frac{E_i}{R}$

Таким образом,

$\frac{mg}{Bl}=\frac{E+E_i}{r}+\frac{E_i}{R}$

$\frac{mg}{Bl}=\frac{E}{r}+\frac{E_i}{r}+\frac{E_i}{R}$

$\frac{mg}{Bl}-\frac{E}{r}=E_i\left(\frac{1}{r}+\frac{1}{R}\right)$

$\frac{mg}{Bl}-\frac{E}{r}=B \upsilon l\frac{r+R}{rR}$

$\frac{mg}{B^2l^2}-\frac{E}{rBl}= \upsilon \frac{r+R}{rR}$

$\upsilon=\left(\frac{mg}{B^2l^2}-\frac{E}{rBl}\right) \frac{rR}{r+R}$

$\upsilon=6$

Ответ: 6 м/с.

Задача 2. По двум горизонтальным проводящим рейкам, расстояние между которыми $L=1$ м, может скользить без трения перемычка, масса которой $m=50$ г, а омическое сопротивление $r=0,5$ Ом. Слева и справа концы реек соединены через резисторы с сопротивлением $R=1$ Ом. Система находится в однородном вертикальном магнитном поле с индукцией $B=0,1$ Тл. Неподвижной перемычке сообщают начальную скорость $\upsilon_0=50$ см/с вдоль реек. На какое расстояние сместится перемычка? Ответ выразить в м, округлив до десятых. Сопротивлением реек пренебречь. Перемычка расположена перпендикулярно рейкам.

Рисунок 3

В некоторый момент перемычка имеет скорость $\upsilon$ , а значит, эквивалентна батарейке с ЭДС

$E_i=B\upsilon l\sin{\alpha}= B\upsilon l\sin{90^{\circ}}=B\upsilon l$

Тогда на движущийся проводник с током начнет действовать сила Ампера (она здесь будет тормозящей силой). Но эта сила будет меняться: меняется скорость, меняется $E_i$ , меняется ток. А именно, сила будет убывать. Поэтому

$F_A= BI l\sin{\alpha}= BI l\sin{90^{\circ}}=BIl$

Тогда

$B I l =-\frac{\Delta \upsilon}{\Delta t} m$

Электрическая схема:

Рисунок 4

Преобразуем параллельно включенные сопротивления:

Рисунок 5

$I=\frac{E_i}{r+0,5R}=\frac{B\upsilon l}{ r+0,5R }$

Подставляем ток в выражение для силы Ампера:

$\frac{ B^2 l^2 \upsilon }{ r+0,5R}=-m\frac{\Delta \upsilon}{\Delta t}$

Домножим на $\Delta t$ :

$\frac{ B^2 l^2 \upsilon \Delta t }{ r+0,5R }=-m\Delta \upsilon$

Заменим произведение $\upsilon \Delta t=\Delta S$ – на элементарное перемещение:

$\frac{ B^2 l^2\Delta S }{ r+0,5R }=-m\Delta \upsilon$

И просуммируем это выражение за весь тормозной путь $S$ :

$\frac{ B^2 l^2 }{ r+0,5R }\sum \Delta S=-m\sum \Delta \upsilon$

$\frac{ B^2 l^2 }{ r+0,5R } S=-m(\upsilon-\upsilon_0)$

$\frac{ B^2 l^2 }{ r+0,5R } S=m\upsilon_0$

Откуда тормозной путь

$S=\frac{ m\upsilon_0\left(r+0,5R \right)}{ B^2 l^2 }=\frac{ 0,05\cdot0,5\left(0,5+0,5 \right)}{ 0,1^2\cdot 1^2 }=2,5$

Ответ: $S=2,5$ .

Задача 3. По длинным вертикальным проводящим штангам, находящимся на расстоянии $l=10$ см друг от друга, может без трения скользить, не теряя электрического контакта и оставаясь перпендикулярной рельсам, проводящая перемычка массой $m$ . Штанги соединены через два резистора с сопротивлением $r=1$ Ом и идеальную батарею с ЭДС $E=2,4$ В. Сопротивлением остальных участков цепи можно пренебречь. Система находится в горизонтальном постоянном однородном магнитном поле с индукцией $B=1$ Тл, перпендикуляром плоскости рисунка. Ускорение свободного падения принять равным $g=10$ м/c $^2$ .

Рисунок 6

Чему равна масса перемычки, если при разомкнутом ключе она оказывается неподвижной? Ответ выразить в г, округлив до целых.

После замыкания ключа через некоторое время устанавливается постоянная скорость перемычки. Чему равна эта скорость? Ответ выразить в м/с, округлив до целых.

Так как перемычка неподвижна, то она не представляет собой ЭДС, и ток через нее будет равен

$I=\frac{E}{2r}$

Сила Ампера будет уравновешена силой тяжести:

$mg=F_A=BIl$

Откуда

$m=\frac{ BIl }{g}=\frac{BEl}{2gr}=\frac{2,4\cdot0,1}{20\cdot 1}=0,012$

Масса перемычки 12 г.

Теперь замкнем ключ. Сопротивление $r$ оказывается шунтировано перемычкой (ключом) и исчезает из цепи. Следовательно, и ток уже другой. Теперь перемычка двигается, а в движущемся в магнитном поле проводнике индуцируется ЭДС, равная

$E_i=B l\upsilon$

Теперь наша перемычка подобна батарейке, изобразим схему:

Рисунок 7

$I_1=\frac{E+E_i}{r}=\frac{E+ B l\upsilon }{r}$

Тогда

$F_{A1}=BI_1 l=mg$

$\frac{EBl+ B^2 l^2\upsilon }{r}=mg$

$\upsilon=\frac{\left(mg-\frac{BlE}{r}\right)r}{B^2l^2}=\frac{mgr}{B^2l^2}-\frac{E}{Bl}=\frac{0,012\cdot10\cdot1}{1^2\cdot0,1^2}-\frac{2,4}{1\cdot0,1}=-12$

То есть скорость направлена вверх. При составлении уравнения по второму закону я предположила, что движение будет направлено вниз, и в соответствии с этим составила уравнение по второму закону. Так как получен «минус» – предположение неверно и направление скорости – противоположное.

Ответ: 12 м/с

Задача 4. Тонкое проволочное кольцо радиусом $a=30$ см расположено в однородном магнитном поле с индукцией $B=1$ Тл. Силовые линии поля направлены перпендикулярно плоскости рисунка. По кольцу скользят в противоположных направлениях две перемычки с угловыми скоростями $\omega_0=50$ рад/с и $3\omega_0$ . Перемычки и кольцо сделаны из одного куска проволоки, сопротивление единицы длины которого составляет $\rho=59$ Ом/м. Определить величину тока через перемычки, когда угол $\varphi=90^{\circ}$ . Ответ выразить в мА, округлив до целых. Между перемычками в точке O, а также между кольцом и перемычками – хороший электрический контакт. Считать, что $\pi=3,1$ .

Рисунок 8

Так как точки перемычки все двигаются с разными скоростями, поскольку располагаются на разном расстоянии от центра вращения, то при расчете будем брать среднюю скорость.

$\upsilon_{sr1}=\frac{\omega l}{2}$

$\upsilon_{sr2}=\frac{3\omega l}{2}=1,5\omega l$

Шаг 1. На концах проводника, движущегося в магнитном поле, индуцируется ЭДС, определяемая формулой:

$E_{i1}=B\upsilon l\sin{\alpha}= B\upsilon l\sin{90^{\circ}}=\frac{1}{2}B\omega l^2$

$E_{i2}=B\upsilon l\sin{\alpha}= B\upsilon l\sin{90^{\circ}}=1,5B \omega l^2=3 E_{i1}$

Длины перемычек равны, их сопротивления – также:

$r=\rho l$

Так как длина дуги между перемычками $90^{\circ}$ – $\frac{\pi l}{2}$ , то ее сопротивление

$R=\frac{\pi l}{2}\rho$

Эквивалентная схема будет выглядеть так:

Рисунок 9

Сопротивления $R$ и $3R$ соединены параллельно,

Рисунок 10

Рисунок 11

$R_e=\frac{r\cdot 3R}{R+3R}=0,75R$

$I=\frac{4E}{2r+0,75R}=\frac{16E}{8r+3R}$

$I=\frac{16\cdot \frac{1}{2}B \omega l^2}{8\rho l+\frac{3\pi l \rho}{2}}=\frac{32B\omega l}{16\rho+4\pi \rho}=0,16$

Ответ: $I=0,16$ A.

Задача 5. По длинным параллельным проводящим горизонтальным рельсам, находящимся на расстоянии $L$ друг от друга, может без трения скользить, не теряя электрического контакта и оставаясь перпендикулярной рельсам, проводящая перемычка (на рисунке изображен вид сверху). Рельсы соединены через источник с ЭДС $E$ и внутренним сопротивлением r. Сопротивлением остальных участков цепи можно пренебречь. Система находится в вертикальном однородном магнитном поле с индукцией $B$ , перпендикулярном плоскости рисунка. Если к перемычке приложить параллельно рельсам силу $F$ , то перемычка будет оставаться неподвижной, а при вдвое большей силе (в том же направлении) через некоторое время устанавливается равномерное движение перемычки со скоростью $\upsilon$ . Найдите $\upsilon$ , если $E=2$ В, $B=1$ Тл и $L=40$ см. Ответ выразить в м/с, округлив до целых.

Рисунок 12

Сначала перемычку удерживают, так как в ней протекает ток и возникает сила Ампера, старающаяся сдвинуть перемычку влево. Поэтому силу $F$ надо прикладывать вправо.

$F_{A1}=BI_1l=F_1$