Магнитное поле: перемычки на рельсах – 2

В этой статье мы рассмотрим перемещающиеся по рельсам перемычки в магнитном поле .  Рельсы будут теперь не линейными, или расположены под углом друг к другу так, что длина перемычки будет меняться. Статья является пятой в серии «Магнитное поле».

Задача 1. Дан идеальный проводник (сопротивление нулевое) в виде полуокружности радиуса , расположенный горизонтально. На проводящую точку насажена  идеальная перемычка, которая может вращаться. Трения нет. Точка и идеальный проводник замкнуты сопротивлением . При какой силе , приложенной, как показано на рисунке, перемычка будет вращаться с постоянной скоростью ? Линии магнитного поля перпендикулярны плоскости проводника.

Так как точки перемычки все двигаются с разными скоростями, поскольку располагаются на разном расстоянии от центра вращения, то при расчете будем брать среднюю скорость.

   

Шаг 1. На концах проводника, движущегося в магнитном поле, индуцируется ЭДС, определяемая формулой:

   

Шаг 2. Рассчитываем цепь.

   

Ток будет постоянным.

Шаг 3. Переходим к механике. При протекании тока на перемычку будет действовать сила Ампера, приложенная к ее центру масс.

   

   

Теперь применим правило моментов, так как очевидно, что силы направлены противоположно, а плечи у них разные.

   

   

Определим также, какое количество теплоты выделится в цепи за время, в течение которого  перемычка повернется на угол .

   

Время равно частному от деления угла на угловую скорость:

   

Тогда

   

Ответ: , .

Задача 2. Два идеальных рельса расположены под углом друг к другу и находятся в магнитном поле, перпендикулярном их плоскости. На них лежит перемычка, сопротивление которой на единицу длины . Перемычку, длина которой больше , двигают с постоянной скоростью , , из положения 1 в положение 2. Сколько теплоты выделится в цепи вследствие такого перемещения?

Шаг 1. На концах проводника, движущегося в магнитном поле, индуцируется ЭДС, определяемая формулой:

   

Сопротивление перемычки меняется:

   

Шаг 2. Рассчитываем цепь.

 

   

Выходит, ток будет постоянным. Сопротивление будет расти от до ,

   

По закону Джоуля-Ленца

   

Время движения перемычки

   

Неизвестная длина отрезка может быть определена с помощью угла:

   

   

Тогда количество теплоты, выделяемое в цепи

   

Также можно было разбить все время на маленькие отрезки, в пределах которых постоянно.

   

Так как ,

   

   

   

Ответ: .

 

Задача 3. Проводящая окружность сделана из материала с сопротивлением на единицу длины . Она помещена в поле с индукцией , линии которого перпендикулярны ее плоскости. На окружности расположены две перемычки из того же материала,  которые двигаются со скоростями и . В момент, когда угол между перемычками , определить ток.

Так как точки перемычки все двигаются с разными скоростями, поскольку располагаются на разном расстоянии от центра вращения, то при расчете будем брать среднюю скорость.

   

   

Шаг 1. На концах проводника, движущегося в магнитном поле, индуцируется ЭДС, определяемая формулой:

   

   

Длины перемычек равны, их сопротивления – также:

   

Так как длина дуги между перемычками   – , то ее сопротивление

   

Эквивалентная схема будет выглядеть так:

Сопротивления и соединены параллельно,

   

   

   

Ответ: .

 

Задача 4. Два параллельных рельса расположены в магнитном поле, линии которого перпендикулярны их плоскости, Тл. Расстояние между рельсами 10 см. На рельсах лежат две перемычки массой кг и сопротивлением Ом, коэффициент трения перемычек о рельсы . Под действием горизонтальной силы, направленной вдоль рельс и приложенной к  первой перемычке, оба стержня движутся поступательно равномерно с разными скоростями. Найти относительную скорость  их движения.

Сначала тока в цепи нигде нет, но, как только двинем перемычку 1, возникнет сила Лоренца и перемычка станет батарейкой:

Ток потечет вниз в первой перемычке и замкнется через вторую, только во второй он будет направлен уже вверх. Во второй перемычке вместе с током возникнет сила Ампера (вправо). И вторая перемычка тоже станет батарейкой.

   

   

Первая перемычка раньше начала движение, ее ЭДС больше, чем ЭДС второй перемычки. Кроме того, у тока нет причин менять направление – это тоже говорит о том, что .

Эквивалентная ЭДС будет равна

   

Ток

   

Откуда

   

Для первой перемычки сила Ампера – тормозящая.

   

   

   

Для левой перемычки

   

   

   

   

Тогда можем подставить этот ток в выражение для относительной скорости:

   

Ответ: 2 м/с