[latexpage]
В этой статье мы рассмотрим перемещающиеся по рельсам перемычки в магнитном поле . Рельсы будут теперь не линейными, или расположены под углом друг к другу так, что длина перемычки будет меняться. Статья является пятой в серии «Магнитное поле». Конспект занятий Пенкина М.А.
Задача 1. Дан идеальный проводник (сопротивление нулевое) в виде полуокружности радиуса $l$, расположенный горизонтально. На проводящую точку $O$ насажена идеальная перемычка, которая может вращаться. Трения нет. Точка $O$ и идеальный проводник замкнуты сопротивлением $R$. При какой силе $F$, приложенной, как показано на рисунке, перемычка будет вращаться с постоянной скоростью $\omega$? Линии магнитного поля перпендикулярны плоскости проводника.

Рисунок 1
Так как точки перемычки все двигаются с разными скоростями, поскольку располагаются на разном расстоянии от центра вращения, то при расчете будем брать среднюю скорость.
$$\upsilon=\frac{\omega l}{2}$$
Шаг 1. На концах проводника, движущегося в магнитном поле, индуцируется ЭДС, определяемая формулой:
$$E_i=B\upsilon l\sin{\alpha}= B\upsilon l\sin{90^{\circ}}=\frac{1}{2}B\omega l^2$$

Рисунок 2
Шаг 2. Рассчитываем цепь.

Рисунок 3
$$I=\frac{E_i}{R}=\frac{ B\omega l^2}{2R}$$
Ток будет постоянным.
Шаг 3. Переходим к механике. При протекании тока на перемычку будет действовать сила Ампера, приложенная к ее центру масс.
$$F_A= BI l\sin{\alpha}= BI l\sin{90^{\circ}}=BIl$$
$$F_A=\frac{B^2l^3\omega}{2R}$$
Теперь применим правило моментов, так как очевидно, что силы направлены противоположно, а плечи у них разные.

Рисунок 4
$$Fl=\frac{F_A l}{2}$$
$$F=\frac{1}{2}F_A=\frac{B^2l^3\omega}{4R}$$
Определим также, какое количество теплоты выделится в цепи за время, в течение которого перемычка повернется на угол $90^{\circ}$.
$$Q=I^2Rt$$
Время равно частному от деления угла на угловую скорость:
$$t=\frac{\varphi}{\omega}=\frac{\pi}{2\omega}$$
Тогда
$$Q=\left(\frac{B\omega l^2}{2R} \right)^2R\cdot \frac{\pi}{2\omega}=\frac{B^2\omega^2 l^4R\pi}{4R^2\cdot 2\omega}=\frac{B^2\omega l^4\pi}{8R}$$
Ответ: $F=\frac{B^2 l^3\omega}{4R}$, $Q=\frac{B^2\omega l^4\pi}{8R}$.
Задача 2. Два идеальных рельса расположены под углом $\alpha$ друг к другу и находятся в магнитном поле, перпендикулярном их плоскости. На них лежит перемычка, сопротивление которой на единицу длины $\rho$. Перемычку, длина которой больше $CD$, двигают с постоянной скоростью $\upsilon_0$, $\vec{\upsilon_0}\parallel AC$, из положения 1 в положение 2. Сколько теплоты выделится в цепи вследствие такого перемещения?

Рисунок 5
Шаг 1. На концах проводника, движущегося в магнитном поле, индуцируется ЭДС, определяемая формулой:

Рисунок 6
$$E_i=B\upsilon_0 l(t)\sin{\alpha}= B\upsilon_0 l(t)\sin{90^{\circ}}= B\upsilon_0 l(t)$$
Сопротивление перемычки меняется:
$$r=l(t)\cdot \rho$$
Шаг 2. Рассчитываем цепь.

Рисунок 7
$$I=\frac{E_i}{r}=\frac{B\upsilon_0l(t)}{l(t)\rho}=\frac{B\upsilon_0}{\rho}$$
Выходит, ток будет постоянным. Сопротивление будет расти от $0$ до $\rho\cdot CD$,
$$\rho_{sr}=\frac{0+\rho\cdot CD }{2}=\frac{\rho\cdot CD }{2}$$
По закону Джоуля-Ленца
$$Q=I^2r_{sr} t$$
Время движения перемычки
$$t=\frac{l}{\upsilon_0}$$
Неизвестная длина отрезка $CD$ может быть определена с помощью угла:
$$\frac{CD}{l}=\operatorname{tg}{\alpha}$$
$$CD=l\operatorname{tg}{\alpha}$$
Тогда количество теплоты, выделяемое в цепи
$$Q=\frac{B^2\upsilon_0^2}{\rho^2}\cdot\frac{\rho l\operatorname{tg}{\alpha}}{2}\cdot \frac{l}{\upsilon_0}=\frac{B^2\operatorname{tg}{\alpha} l^2 \upsilon_0}{2\rho}$$
Также можно было разбить все время $t$ на маленькие отрезки, в пределах которых $r$ постоянно.
$$Q=\sum \Delta Q=\sum I^2\rho l(t)\Delta t=I^2\rho\sum l(t)\Delta t$$
Так как $l(t)=\upsilon_0 t \operatorname{tg}{\alpha}$,
$$ Q= I^2\rho\upsilon_0 \operatorname{tg}{\alpha}\sum t\Delta t= I^2\rho\upsilon_0 \operatorname{tg}{\alpha}\frac{1}{2}\sum \Delta (t^2)=\frac{ I^2\rho\upsilon_0 \operatorname{tg}{\alpha} t_x^2}{2}$$
$$t_x=\frac{l}{\upsilon_0}$$
$$ Q=\frac{ I^2\rho \operatorname{tg}{\alpha}l^2}{2\upsilon_0}=\frac{B^2\upsilon_0^2 I^2\rho \operatorname{tg}{\alpha}}{\rho^2\cdot 2\upsilon_0}=\frac{B^2\operatorname{tg}{\alpha} l^2 \upsilon_0}{2\rho}$$
Ответ: $ Q=\frac{B^2\operatorname{tg}{\alpha} l^2 \upsilon_0}{2\rho}$.
Задача 3. Проводящая окружность сделана из материала с сопротивлением на единицу длины $\rho$. Она помещена в поле с индукцией $B$, линии которого перпендикулярны ее плоскости. На окружности расположены две перемычки из того же материала, которые двигаются со скоростями $\omega$ и $4\omega$. В момент, когда угол между перемычками $90^{\circ}$, определить ток.

Рисунок 8
Так как точки перемычки все двигаются с разными скоростями, поскольку располагаются на разном расстоянии от центра вращения, то при расчете будем брать среднюю скорость.
$$\upsilon_{sr1}=\frac{\omega l}{2}$$
$$\upsilon_{sr2}=\frac{4\omega l}{2}=2\omega l$$
Шаг 1. На концах проводника, движущегося в магнитном поле, индуцируется ЭДС, определяемая формулой:
$$E_{i1}=B\upsilon l\sin{\alpha}= B\upsilon l\sin{90^{\circ}}=\frac{1}{2}B\omega l^2$$
$$E_{i2}=B\upsilon l\sin{\alpha}= B\upsilon l\sin{90^{\circ}}=2B \omega l^2=4 E_{i1}$$
Длины перемычек равны, их сопротивления – также:
$$r=\rho l$$
Так как длина дуги между перемычками $90^{\circ}$ – $\frac{\pi l}{2}$, то ее сопротивление
$$R=\frac{\pi l}{2}\rho$$
Эквивалентная схема будет выглядеть так:

Рисунок 9
Сопротивления $R$ и $3R$ соединены параллельно,

Рисунок 10
$$R_e=\frac{r\cdot 3R}{R+3R}=0,75R$$

Рисунок 11
$$I=\frac{3E}{2r+0,75R}=\frac{12E}{8r+3R}$$
$$I=\frac{12\cdot \frac{1}{2}B \omega l^2}{8\rho l+\frac{3\pi l \rho}{2}}=\frac{6B\omega l}{8\rho+\frac{3\pi \rho}{2}}$$
Ответ: $I=\frac{6B\omega l}{8\rho+\frac{3\pi \rho}{2}}$.
Задача 4. Два параллельных рельса расположены в магнитном поле, линии которого перпендикулярны их плоскости, $B=1$ Тл. Расстояние между рельсами 10 см. На рельсах лежат две перемычки массой $m=0,1$ кг и сопротивлением $R=0,1$ Ом, коэффициент трения перемычек о рельсы $\mu=0,1$. Под действием горизонтальной силы, направленной вдоль рельс и приложенной к первой перемычке, оба стержня движутся поступательно равномерно с разными скоростями. Найти относительную скорость их движения.

Рисунок 12
Сначала тока в цепи нигде нет, но, как только двинем перемычку 1, возникнет сила Лоренца и перемычка станет батарейкой:

Рисунок 13
Ток потечет вниз в первой перемычке и замкнется через вторую, только во второй он будет направлен уже вверх. Во второй перемычке вместе с током возникнет сила Ампера (вправо). И вторая перемычка тоже станет батарейкой.

Рисунок 14
$$E_{i1}=B\upsilon_1l\sin{\alpha}= B\upsilon_1 l\sin{90^{\circ}}= B\upsilon_1l$$
$$E_{i2}=B\upsilon_2l\sin{\alpha}= B\upsilon_2 l\sin{90^{\circ}}= B\upsilon_2l$$
Первая перемычка раньше начала движение, ее ЭДС больше, чем ЭДС второй перемычки. Кроме того, у тока нет причин менять направление – это тоже говорит о том, что $E_{i1}>E_{i2}$.

Рисунок 15
Эквивалентная ЭДС будет равна
$$E= E_{i1}-E_{i2}$$
Ток
$$I=\frac{ E_{i1}-E_{i2}}{2R}=\frac{Bl(\upsilon_1-\upsilon_2)}{2R}$$
Откуда
$$\upsilon_1-\upsilon_2=\frac{2IR}{Bl}$$
Для первой перемычки сила Ампера – тормозящая.

Рисунок 16
$$N=mg$$
$$F_{tr}=\mu N=\mu m g$$
$$F=F_A+\mu m g=BIl+\mu m g$$
Для левой перемычки

Рисунок 17
$$F_A*=F_{tr}$$
$$-F_A=F_A*$$
$$F_{tr}=BIl=\mu m g$$
$$I=\frac{\mu m g}{Bl}$$
Тогда можем подставить этот ток в выражение для относительной скорости:
$$\upsilon_{otn}=\frac{2R}{Bl}\cdot \frac{\mu m g}{Bl}=\frac{2\mu m g R}{B^2l^2}=\frac{2\cdot0,1\cdot0,1\cdot10\cdot 0,1}{1^2\cdot0,1^2}=2$$
Ответ: 2 м/с
Комментариев - 4
В последней формуле первой задачи и, соответственно, в ответе грубая опечатка – пропущен радиус полуокружности. Дальше смотреть не стала, ибо представление о халявно сделанном сайте себе составила.
Спасибо, благодаря вам увидела. Был пропущен пробел и буква не прочиталась редактором. Исправила.
Уважаемая Галина Владимировна! Дайте пожалуйста ссылку на свой сайт, там ,наверное, нет ошибок и опечаток, или сайта нет? Не ошибается тот, кто ничего не делает, а подобные комментарии в отношении своего коллеги не вызывают уважения к их автору.
Уважаемый Виктор! Лично я полностью занята работой в школе и вузе и мне не до создания своих сайтов. А кто берётся за это дело, так должен делать его грамотно и корректно без ошибок и опечаток, которыми просто пестрит этот сайт, с уважением к физике и к людям, пользующимся этим сайтом. Но, похоже, это не кредо автора сайта. Такие ляпы у профессионалов в физике обычно не вызывают никакого уважения к такому наспех сделанному сайту и его автору и просто вычеркивают его из поля своей деятельности!