Магнитное поле: перемычки на рельсах – 2

[latexpage]

В этой статье мы рассмотрим перемещающиеся по рельсам перемычки в магнитном поле .  Рельсы будут теперь не линейными, или расположены под углом друг к другу так, что длина перемычки будет меняться. Статья является пятой в серии «Магнитное поле». Конспект занятий Пенкина М.А.

Задача 1. Дан идеальный проводник (сопротивление нулевое) в виде полуокружности радиуса $l$, расположенный горизонтально. На проводящую точку $O$ насажена  идеальная перемычка, которая может вращаться. Трения нет. Точка $O$ и идеальный проводник замкнуты сопротивлением $R$. При какой силе $F$, приложенной, как показано на рисунке, перемычка будет вращаться с постоянной скоростью $\omega$? Линии магнитного поля перпендикулярны плоскости проводника.

Так как точки перемычки все двигаются с разными скоростями, поскольку располагаются на разном расстоянии от центра вращения, то при расчете будем брать среднюю скорость.

$$\upsilon=\frac{\omega l}{2}$$

Шаг 1. На концах проводника, движущегося в магнитном поле, индуцируется ЭДС, определяемая формулой:

$$E_i=B\upsilon l\sin{\alpha}= B\upsilon l\sin{90^{\circ}}=\frac{1}{2}B\omega l^2$$

Шаг 2. Рассчитываем цепь.

$$I=\frac{E_i}{R}=\frac{ B\omega l^2}{2R}$$

Ток будет постоянным.

Шаг 3. Переходим к механике. При протекании тока на перемычку будет действовать сила Ампера, приложенная к ее центру масс.

$$F_A= BI l\sin{\alpha}= BI l\sin{90^{\circ}}=BIl$$

$$F_A=\frac{B^2l^3\omega}{2R}$$

Теперь применим правило моментов, так как очевидно, что силы направлены противоположно, а плечи у них разные.

$$Fl=\frac{F_A l}{2}$$

$$F=\frac{1}{2}F_A=\frac{B^2l^3\omega}{4R}$$

Определим также, какое количество теплоты выделится в цепи за время, в течение которого  перемычка повернется на угол $90^{\circ}$.

$$Q=I^2Rt$$

Время равно частному от деления угла на угловую скорость:

$$t=\frac{\varphi}{\omega}=\frac{\pi}{2\omega}$$

Тогда

$$Q=\left(\frac{B\omega l^2}{2R} \right)^2R\cdot \frac{\pi}{2\omega}=\frac{B^2\omega^2 l^4R\pi}{4R^2\cdot 2\omega}=\frac{B^2\omega l^4\pi}{8R}$$

Ответ: $F=\frac{B^2 l^3\omega}{4R}$, $Q=\frac{B^2\omega l^4\pi}{8R}$.

Задача 2. Два идеальных рельса расположены под углом $\alpha$ друг к другу и находятся в магнитном поле, перпендикулярном их плоскости. На них лежит перемычка, сопротивление которой на единицу длины $\rho$. Перемычку, длина которой больше $CD$, двигают с постоянной скоростью $\upsilon_0$, $\vec{\upsilon_0}\parallel AC$, из положения 1 в положение 2. Сколько теплоты выделится в цепи вследствие такого перемещения?

Шаг 1. На концах проводника, движущегося в магнитном поле, индуцируется ЭДС, определяемая формулой:

$$E_i=B\upsilon_0 l(t)\sin{\alpha}= B\upsilon_0 l(t)\sin{90^{\circ}}= B\upsilon_0 l(t)$$

Сопротивление перемычки меняется:

$$r=l(t)\cdot \rho$$

Шаг 2. Рассчитываем цепь.

 

$$I=\frac{E_i}{r}=\frac{B\upsilon_0l(t)}{l(t)\rho}=\frac{B\upsilon_0}{\rho}$$

Выходит, ток будет постоянным. Сопротивление будет расти от $0$ до $\rho\cdot CD$,

$$\rho_{sr}=\frac{0+\rho\cdot CD }{2}=\frac{\rho\cdot CD }{2}$$

По закону Джоуля-Ленца

$$Q=I^2r_{sr} t$$

Время движения перемычки

$$t=\frac{l}{\upsilon_0}$$

Неизвестная длина отрезка $CD$ может быть определена с помощью угла:

$$\frac{CD}{l}=\operatorname{tg}{\alpha}$$

$$CD=l\operatorname{tg}{\alpha}$$

Тогда количество теплоты, выделяемое в цепи

$$Q=\frac{B^2\upsilon_0^2}{\rho^2}\cdot\frac{\rho l\operatorname{tg}{\alpha}}{2}\cdot \frac{l}{\upsilon_0}=\frac{B^2\operatorname{tg}{\alpha} l^2 \upsilon_0}{2\rho}$$

Также можно было разбить все время $t$ на маленькие отрезки, в пределах которых $r$ постоянно.

$$Q=\sum \Delta Q=\sum I^2\rho l(t)\Delta t=I^2\rho\sum l(t)\Delta t$$

Так как $l(t)=\upsilon_0 t \operatorname{tg}{\alpha}$,

$$ Q= I^2\rho\upsilon_0 \operatorname{tg}{\alpha}\sum t\Delta t= I^2\rho\upsilon_0 \operatorname{tg}{\alpha}\frac{1}{2}\sum \Delta (t^2)=\frac{ I^2\rho\upsilon_0 \operatorname{tg}{\alpha} t_x^2}{2}$$

$$t_x=\frac{l}{\upsilon_0}$$

$$ Q=\frac{ I^2\rho \operatorname{tg}{\alpha}l^2}{2\upsilon_0}=\frac{B^2\upsilon_0^2 I^2\rho \operatorname{tg}{\alpha}}{\rho^2\cdot 2\upsilon_0}=\frac{B^2\operatorname{tg}{\alpha} l^2 \upsilon_0}{2\rho}$$

Ответ: $ Q=\frac{B^2\operatorname{tg}{\alpha} l^2 \upsilon_0}{2\rho}$.

 

Задача 3. Проводящая окружность сделана из материала с сопротивлением на единицу длины $\rho$. Она помещена в поле с индукцией $B$, линии которого перпендикулярны ее плоскости. На окружности расположены две перемычки из того же материала,  которые двигаются со скоростями $\omega$ и $4\omega$. В момент, когда угол между перемычками $90^{\circ}$, определить ток.

Так как точки перемычки все двигаются с разными скоростями, поскольку располагаются на разном расстоянии от центра вращения, то при расчете будем брать среднюю скорость.

$$\upsilon_{sr1}=\frac{\omega l}{2}$$

$$\upsilon_{sr2}=\frac{4\omega l}{2}=2\omega l$$

Шаг 1. На концах проводника, движущегося в магнитном поле, индуцируется ЭДС, определяемая формулой:

$$E_{i1}=B\upsilon l\sin{\alpha}= B\upsilon l\sin{90^{\circ}}=\frac{1}{2}B\omega l^2$$

$$E_{i2}=B\upsilon l\sin{\alpha}= B\upsilon l\sin{90^{\circ}}=2B \omega l^2=4 E_{i1}$$

Длины перемычек равны, их сопротивления – также:

$$r=\rho l$$

Так как длина дуги между перемычками  $90^{\circ}$ – $\frac{\pi l}{2}$, то ее сопротивление

$$R=\frac{\pi l}{2}\rho$$

Эквивалентная схема будет выглядеть так:

Сопротивления $R$ и $3R$ соединены параллельно,

$$R_e=\frac{r\cdot 3R}{R+3R}=0,75R$$

$$I=\frac{3E}{2r+0,75R}=\frac{12E}{8r+3R}$$

$$I=\frac{12\cdot \frac{1}{2}B \omega l^2}{8\rho l+\frac{3\pi l \rho}{2}}=\frac{6B\omega l}{8\rho+\frac{3\pi \rho}{2}}$$

Ответ: $I=\frac{6B\omega l}{8\rho+\frac{3\pi \rho}{2}}$.

 

Задача 4. Два параллельных рельса расположены в магнитном поле, линии которого перпендикулярны их плоскости, $B=1$ Тл. Расстояние между рельсами 10 см. На рельсах лежат две перемычки массой $m=0,1$ кг и сопротивлением $R=0,1$ Ом, коэффициент трения перемычек о рельсы $\mu=0,1$. Под действием горизонтальной силы, направленной вдоль рельс и приложенной к  первой перемычке, оба стержня движутся поступательно равномерно с разными скоростями. Найти относительную скорость  их движения.

Сначала тока в цепи нигде нет, но, как только двинем перемычку 1, возникнет сила Лоренца и перемычка станет батарейкой:

Ток потечет вниз в первой перемычке и замкнется через вторую, только во второй он будет направлен уже вверх. Во второй перемычке вместе с током возникнет сила Ампера (вправо). И вторая перемычка тоже станет батарейкой.

$$E_{i1}=B\upsilon_1l\sin{\alpha}= B\upsilon_1 l\sin{90^{\circ}}= B\upsilon_1l$$

$$E_{i2}=B\upsilon_2l\sin{\alpha}= B\upsilon_2 l\sin{90^{\circ}}= B\upsilon_2l$$

Первая перемычка раньше начала движение, ее ЭДС больше, чем ЭДС второй перемычки. Кроме того, у тока нет причин менять направление – это тоже говорит о том, что $E_{i1}>E_{i2}$.

Эквивалентная ЭДС будет равна

$$E= E_{i1}-E_{i2}$$

Ток

$$I=\frac{ E_{i1}-E_{i2}}{2R}=\frac{Bl(\upsilon_1-\upsilon_2)}{2R}$$

Откуда

$$\upsilon_1-\upsilon_2=\frac{2IR}{Bl}$$

Для первой перемычки сила Ампера – тормозящая.

$$N=mg$$

$$F_{tr}=\mu N=\mu m g$$

$$F=F_A+\mu m g=BIl+\mu m g$$

Для левой перемычки

$$F_A*=F_{tr}$$

$$-F_A=F_A*$$

$$F_{tr}=BIl=\mu m g$$

$$I=\frac{\mu m g}{Bl}$$

Тогда можем подставить этот ток в выражение для относительной скорости:

$$\upsilon_{otn}=\frac{2R}{Bl}\cdot \frac{\mu m g}{Bl}=\frac{2\mu m g R}{B^2l^2}=\frac{2\cdot0,1\cdot0,1\cdot10\cdot 0,1}{1^2\cdot0,1^2}=2$$

Ответ: 2 м/с