Магнитное поле: перемычки на рельсах – 1

В этой статье мы рассмотрим перемещающиеся по рельсам перемычки в магнитном поле .  Рельсы будут как горизонтальными, так и наклонными, замкнутыми на резистор или на конденсатор. Статья является третьей в серии «Магнитное поле».

Задача 1. Два идеальных проводящих рельса (), расположенных вертикально, находятся в магнитном поле с индукцией , и замкнуты сопротивлением . Расстояние между рельсами . На рельсах удерживается перемычка массой , которую отпускают. Через некоторое время скорость перемычки устанавливается. Найти эту постоянную скорость.

Перемычка начнет двигаться под действием силы тяжести. Свободные заряды в ней, следовательно, будут иметь скорость перемычки. А на движущиеся в магнитном поле заряды действует сила Лоренца. Таким образом, движущаяся перемычка будет источником питания для цепи, которую она замыкает, с ЭДС индукции, которую можно определить. Эта ЭДС породит ток, а ток в свою очередь – силу Ампера, которая будет противодействовать силе тяжести, потому и скорость установится. Первым шагом мы определим эту ЭДС индукции, вторым – рассчитаем электрическую цепь, и, наконец, обратимся к механике, чтобы определить скорость.

Шаг 1. Определение ЭДС. Берем промежуточное положение перемычки.

На концах проводника, движущегося в магнитном поле, индуцируется ЭДС, определяемая формулой:

   

У нас , .

Таким образом, ЭДС – постоянная (скорость же постоянна).

Шаг 2. Расчет схемы.

   

Ток тоже постоянный.

Шаг 3. Обратимся теперь ко второму закону Ньютона:

   

При этом условии и скорость постоянна.

Распишем это подробнее:

   

У нас угол между линиями поля и током , поэтому

   

   

Теперь можно приравнять токи:

   

Откуда скорость перемычки

   

Ответ: .

Задача 2. Два горизонтально расположенных рельса замкнуты с двух сторон: справа – перемычкой с сопротивлением , слева – перемычкой с сопротивлением . Линии поля направлены вертикально вниз. Расстояние между рельсами . На рельсах перпендикулярно им лежит перемычка с сопротивлением . Перемычку толкают, придавая ей скорость , и спустя некоторое время перемычка останавливается. Какой путь она пройдет до остановки? Трения нет, масса перемычки .

Начинаем с шага 1 – определения ЭДС. На концах проводника, движущегося в магнитном поле, индуцируется ЭДС, определяемая формулой:

   

У нас .

   

Шаг 2. Расчет схемы.

Заменяем схему эквивалентной, замечая, что сопротивления и соединены параллельно. Не забываем, что у перемычки есть сопротивление .  Тогда

   

Скорость перемычки падает, следовательно, ток тоже не остается постоянным: он уменьшается.

Шаг 3. Пришло время механики. На проводник (перемычку) действует сила Ампера, в результате чего у перемычки есть ускорение (она тормозит):

   

   

Распишем это подробнее:

   

У нас угол между линиями поля и током , поэтому

   

   

   

Тогда

   

Подставляем ток:

   

Домножим на :

   

Заменим произведение – на элементарное перемещение:

   

И просуммируем это выражение за весь тормозной путь :

   

   

   

Откуда тормозной путь

   

Ответ: .

Задача 3. Два идеально проводящих  рельса расположены под углом к горизонту и замкнуты на конденсатор . Линии поля направлены вертикально вниз. Расстояние между рельсами . На рельсах перпендикулярно им лежит перемычка. Перемычку отпускают, и она скользит по рельсам. Какое расстояние   она пройдет за время ? Трения нет, масса перемычки .

Шаг первый. Определяем ЭДС, которой эквивалентна движущаяся перемычка.

Для этого определяем направление силы Лоренца (она направлена к нам, как показано на рисунке). На концах проводника, движущегося в магнитном поле, индуцируется ЭДС, определяемая формулой:

   

У нас угол между скоростью и направлением линий магнитного поля , поэтому  .

   

Шаг 2. Рисуем схему:

   

Ток в емкости равен

   

   

Поэтому

   

   

Шаг третий. Обращаемся к механике.

По второму закону Ньютона

   

Где , .

   

Подставим ток:

   

   

Тогда ускорение

   

Ускорение будет постоянным. Путь, пройденный перемычкой до остановки легко найти:

   

Ответ: .

Задача 4. Два идеальных параллельных друг другу рельса замкнуты перемычкой с и , конденсатор заряжен до  . Перемычка содержит ключ. На рельсах лежит перемычка массой . Трения нет. Расстояние между рельсами неизвестно, линии индукции магнитного поля направлены перпендикулярно плоскости рельсов к наблюдателю. Найти  ускорение перемычки сразу после замыкания ключа, если при принудительном перемещении перемычки со скоростью на конденсаторе устанавливается напряжение .

Шаг 1. Сразу после замыкания ключа напряжение на конденсаторе скачком не изменится и останется равным .

Шаг 2. Скорость перемычки скачком не изменится, поэтому вначале .

   

Из-за протекающего тока возникнет сила Ампера:

   

Шаг 3: по второму закону Ньютона

   

   

В этом выражении нам неизвестны ни индукция, ни расстояние между рельсами. Возвращаемся к условию задачи: при принудительном движении перемычки

   

Ток в емкости – производная от напряжения на ней. Так как напряжение постоянно, то производная равна нулю и тока нет. Следовательно, .

   

То есть

   

Откуда

   

Тогда

   

Ответ: .