Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Магнитное поле, Олимпиадная физика, Сила Ампера, Сила Лоренца

Магнитное поле: перемычки на рельсах – 1

В этой статье мы рассмотрим перемещающиеся по рельсам перемычки в магнитном поле .  Рельсы будут как горизонтальными, так и наклонными, замкнутыми на резистор или на конденсатор. Статья является третьей в серии «Магнитное поле».

Задача 1. Два идеальных проводящих рельса (R=0), расположенных вертикально, находятся в магнитном поле с индукцией B, и замкнуты сопротивлением R. Расстояние между рельсами l. На рельсах удерживается перемычка массой m, которую отпускают. Через некоторое время скорость перемычки устанавливается. Найти эту постоянную скорость.

Рисунок 1

Перемычка начнет двигаться под действием силы тяжести. Свободные заряды в ней, следовательно, будут иметь скорость перемычки. А на движущиеся в магнитном поле заряды действует сила Лоренца. Таким образом, движущаяся перемычка будет источником питания для цепи, которую она замыкает, с ЭДС индукции, которую можно определить. Эта ЭДС породит ток, а ток в свою очередь – силу Ампера, которая будет противодействовать силе тяжести, потому и скорость установится. Первым шагом мы определим эту ЭДС индукции, вторым – рассчитаем электрическую цепь, и, наконец, обратимся к механике, чтобы определить скорость.

Шаг 1. Определение ЭДС. Берем промежуточное положение перемычки.

Рисунок 2

На концах проводника, движущегося в магнитном поле, индуцируется ЭДС, определяемая формулой:

    \[E_i=B l \upsilon\sin{\alpha}\]

У нас \upsilon=const, \sin{\alpha}=\sin{90^{\circ}=1.

Таким образом, ЭДС – постоянная (скорость же постоянна).

Шаг 2. Расчет схемы.

Рисунок 3

    \[I=\frac{E_i}{R}=\frac{ B l \upsilon }{R}\]

Ток тоже постоянный.

Шаг 3. Обратимся теперь ко второму закону Ньютона:

    \[F_A=mg\]

При этом условии a=0 и скорость постоянна.

Распишем это подробнее:

    \[B I l \sin{\beta}=mg\]

У нас угол между линиями поля и током 90^{\circ}, поэтому

    \[B I l =mg\]

    \[I=\frac{mg}{Bl}\]

Теперь можно приравнять токи:

    \[\frac{ B l \upsilon }{R}=\frac{mg}{Bl}\]

Откуда скорость перемычки

    \[\upsilon=\frac{mgR}{B^2l^2}\]

Ответ: \upsilon=\frac{mgR}{B^2l^2}.

Задача 2. Два горизонтально расположенных рельса замкнуты с двух сторон: справа – перемычкой с сопротивлением R, слева – перемычкой с сопротивлением 2R. Линии поля B направлены вертикально вниз. Расстояние между рельсами l. На рельсах перпендикулярно им лежит перемычка с сопротивлением r. Перемычку толкают, придавая ей скорость \upsilon_0, и спустя некоторое время перемычка останавливается. Какой путь она пройдет до остановки? Трения нет, масса перемычки m.

Рисунок 4

Начинаем с шага 1 – определения ЭДС. На концах проводника, движущегося в магнитном поле, индуцируется ЭДС, определяемая формулой:

Рисунок 5

    \[E_i=B l \upsilon\sin{\alpha}\]

У нас \sin{\alpha}=\sin{90^{\circ}=1.

    \[E_i=B l \upsilon\]

Шаг 2. Расчет схемы.

Рисунок 6

Заменяем схему эквивалентной, замечая, что сопротивления R и 2R соединены параллельно. Не забываем, что у перемычки есть сопротивление r.  Тогда

    \[I=\frac{E_i}{r+\frac{2R}{3}}=\frac{ B l \upsilon }{ r+\frac{2R}{3}}\]

Скорость перемычки падает, следовательно, ток тоже не остается постоянным: он уменьшается.

Шаг 3. Пришло время механики. На проводник (перемычку) действует сила Ампера, в результате чего у перемычки есть ускорение (она тормозит):

    \[m\vec {a}=\vec{F}_A\]

    \[ma=F_A\]

Распишем это подробнее:

    \[B I l \sin{\beta}=F_A\]

У нас угол между линиями поля и током 90^{\circ}, поэтому

    \[B I l =F_A\]

    \[\mid a \mid =\mid \frac{\Delta \upsilon}{\Delta t}\mid\]

    \[a=-\frac{\Delta \upsilon}{\Delta t}\]

Тогда

    \[B I l =-\frac{\Delta \upsilon}{\Delta t} m\]

Подставляем ток:

    \[\frac{ B^2 l^2 \upsilon }{ r+\frac{2R}{3}}=-m\frac{\Delta \upsilon}{\Delta t}\]

Домножим на \Delta t:

    \[\frac{ B^2 l^2 \upsilon \Delta t }{ r+\frac{2R}{3}}=-m\Delta \upsilon\]

Заменим произведение \upsilon \Delta t=\Delta S – на элементарное перемещение:

    \[\frac{ B^2 l^2\Delta S }{ r+\frac{2R}{3}}=-m\Delta \upsilon\]

И просуммируем это выражение за весь тормозной путь S:

    \[\frac{ B^2 l^2 }{ r+\frac{2R}{3}}\sum \Delta S=-m\sum \Delta \upsilon\]

    \[\frac{ B^2 l^2 }{ r+\frac{2R}{3}} S=-m(\upsilon-\upsilon_0)\]

    \[\frac{ B^2 l^2 }{ r+\frac{2R}{3}} S=m\upsilon_0\]

Откуда тормозной путь

    \[S=\frac{ m\upsilon_0\left(r+\frac{2R}{3}\right)}{ B^2 l^2 }\]

Ответ: S=\frac{ m\upsilon_0\left(r+\frac{2R}{3}\right)}{ B^2 l^2 }.

Задача 3. Два идеально проводящих  рельса расположены под углом \alpha к горизонту и замкнуты на конденсатор C. Линии поля B направлены вертикально вниз. Расстояние между рельсами l. На рельсах перпендикулярно им лежит перемычка. Перемычку отпускают, и она скользит по рельсам. Какое расстояние S  она пройдет за время t? Трения нет, масса перемычки m.

Рисунок 7

Шаг первый. Определяем ЭДС, которой эквивалентна движущаяся перемычка.

Рисунок 8

Для этого определяем направление силы Лоренца (она направлена к нам, как показано на рисунке). На концах проводника, движущегося в магнитном поле, индуцируется ЭДС, определяемая формулой:

    \[E_i=B l \upsilon\sin{90^{\circ}-\alpha}\]

У нас угол между скоростью и направлением линий магнитного поля 90^{\circ}-\alpha, поэтому  \sin{90^{\circ}-\alpha}=\cos{\alpha }.

    \[E_i=B l \upsilon \cos{\alpha }\]

Шаг 2. Рисуем схему:

Рисунок 9

    \[U_C=E_i\]

Ток в емкости равен

    \[I_C=\frac{\Delta q}{\Delta t}\]

    \[q=CU=CE_i\]

Поэтому

    \[I_C=\frac{ CE_i }{\Delta t}\]

    \[I_C=CBl\cos{\alpha}\cdot \frac{\Delta \upsilon}{\Delta t}= CBl\cos{\alpha} \cdot a\]

Шаг третий. Обращаемся к механике.

По второму закону Ньютона

    \[mg \sin{\alpha}-F_A\cos{\alpha}=ma\]

Где F_A=B I l \sin{90^{\circ}}, I=I_C.

    \[mg \sin{\alpha}- B I l \cos{\alpha}=ma\]

Подставим ток:

    \[mg \sin{\alpha}- B l \cos{\alpha} C B l\cos{\alpha} a=ma\]

    \[mg \sin{\alpha}=a( B^2 l^2 \cos^2{\alpha} C +m)\]

Тогда ускорение

    \[a=\frac{ mg \sin{\alpha}}{ B^2 l^2 \cos^2{\alpha} C +m }\]

Ускорение будет постоянным. Путь, пройденный перемычкой до остановки легко найти:

    \[S=\frac{at^2}{2}=\frac{ mg \sin{\alpha}}{ B^2 l^2 \cos^2{\alpha} C +m }\cdot\frac{t^2}{2}\]

Ответ: S=\frac{ mg \sin{\alpha}}{ B^2 l^2 \cos^2{\alpha} C +m }\cdot\frac{t^2}{2}.

Задача 4. Два идеальных параллельных друг другу рельса замкнуты перемычкой с R и C, конденсатор заряжен до  U_0. Перемычка содержит ключ. На рельсах лежит перемычка массой M. Трения нет. Расстояние между рельсами неизвестно, линии индукции магнитного поля направлены перпендикулярно плоскости рельсов к наблюдателю. Найти  ускорение перемычки сразу после замыкания ключа, если при принудительном перемещении перемычки со скоростью \upsilon_0 на конденсаторе устанавливается напряжение U_1.

Рисунок 10

Шаг 1. Сразу после замыкания ключа напряжение на конденсаторе скачком не изменится и останется равным U_0.

Шаг 2. Скорость перемычки скачком не изменится, поэтому вначале E_i=0.

Рисунок 11

    \[I_0=\frac{U_0}{R}\]

Из-за протекающего тока возникнет сила Ампера:

    \[F_A=B I_0 l\sin{\alpha}= B I_0 l\sin{90^{\circ}}=B I_0l=\farc{B U_0 l}{R}\]

Шаг 3: по второму закону Ньютона

    \[F_A=ma\]

    \[a=\frac{ B U_0 l }{RM}\]

В этом выражении нам неизвестны ни индукция, ни расстояние между рельсами. Возвращаемся к условию задачи: при принудительном движении перемычки

    \[U_C=U_1=const\]

Ток в емкости – производная от напряжения на ней. Так как напряжение постоянно, то производная равна нулю и тока нет. Следовательно, U_C=E_i=U_1.

    \[E_i=B l \upsilon_0\sin{90^{\circ}}= B l \upsilon_0\]

То есть

    \[U_1= B l \upsilon_0\]

Откуда

    \[Bl=\frac{U_1}{\upsilon_0}\]

Тогда

    \[a=\frac{U_0U_1}{MR\upsilon_0}\]

Ответ: a=\frac{U_0U_1}{MR\upsilon_0}.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *