Магнитное поле: перемычки на рельсах – 1

[latexpage]

В этой статье мы рассмотрим перемещающиеся по рельсам перемычки в магнитном поле .  Рельсы будут как горизонтальными, так и наклонными, замкнутыми на резистор или на конденсатор. Статья является третьей в серии «Магнитное поле». Конспект занятий Пенкина М.А.

Задача 1. Два идеальных проводящих рельса ($R=0$), расположенных вертикально, находятся в магнитном поле с индукцией $B$, и замкнуты сопротивлением $R$. Расстояние между рельсами $l$. На рельсах удерживается перемычка массой $m$, которую отпускают. Через некоторое время скорость перемычки устанавливается. Найти эту постоянную скорость.

Перемычка начнет двигаться под действием силы тяжести. Свободные заряды в ней, следовательно, будут иметь скорость перемычки. А на движущиеся в магнитном поле заряды действует сила Лоренца. Таким образом, движущаяся перемычка будет источником питания для цепи, которую она замыкает, с ЭДС индукции, которую можно определить. Эта ЭДС породит ток, а ток в свою очередь – силу Ампера, которая будет противодействовать силе тяжести, потому и скорость установится. Первым шагом мы определим эту ЭДС индукции, вторым – рассчитаем электрическую цепь, и, наконец, обратимся к механике, чтобы определить скорость.

Шаг 1. Определение ЭДС. Берем промежуточное положение перемычки.

На концах проводника, движущегося в магнитном поле, индуцируется ЭДС, определяемая формулой:

$$E_i=B l \upsilon\sin{\alpha}$$

У нас $\upsilon=const$, $\sin{\alpha}=\sin{90^{\circ}=1$.

Таким образом, ЭДС – постоянная (скорость же постоянна).

Шаг 2. Расчет схемы.

$$I=\frac{E_i}{R}=\frac{ B l \upsilon }{R}$$

Ток тоже постоянный.

Шаг 3. Обратимся теперь ко второму закону Ньютона:

$$F_A=mg$$

При этом условии $a=0$ и скорость постоянна.

Распишем это подробнее:

$$B I l \sin{\beta}=mg$$

У нас угол между линиями поля и током $90^{\circ}$, поэтому

$$B I l =mg$$

$$I=\frac{mg}{Bl}$$

Теперь можно приравнять токи:

$$\frac{ B l \upsilon }{R}=\frac{mg}{Bl}$$

Откуда скорость перемычки

$$\upsilon=\frac{mgR}{B^2l^2}$$

Ответ: $\upsilon=\frac{mgR}{B^2l^2}$.

Задача 2. Два горизонтально расположенных рельса замкнуты с двух сторон: справа – перемычкой с сопротивлением $R$, слева – перемычкой с сопротивлением $2R$. Линии поля $B$ направлены вертикально вниз. Расстояние между рельсами $l$. На рельсах перпендикулярно им лежит перемычка с сопротивлением $r$. Перемычку толкают, придавая ей скорость $\upsilon_0$, и спустя некоторое время перемычка останавливается. Какой путь она пройдет до остановки? Трения нет, масса перемычки $m$.

Начинаем с шага 1 – определения ЭДС. На концах проводника, движущегося в магнитном поле, индуцируется ЭДС, определяемая формулой:

$$E_i=B l \upsilon\sin{\alpha}$$

У нас $\sin{\alpha}=\sin{90^{\circ}=1$.

$$E_i=B l \upsilon$$

Шаг 2. Расчет схемы.

Заменяем схему эквивалентной, замечая, что сопротивления $R$ и $2R$ соединены параллельно. Не забываем, что у перемычки есть сопротивление $r$.  Тогда

$$I=\frac{E_i}{r+\frac{2R}{3}}=\frac{ B l \upsilon }{ r+\frac{2R}{3}}$$

Скорость перемычки падает, следовательно, ток тоже не остается постоянным: он уменьшается.

Шаг 3. Пришло время механики. На проводник (перемычку) действует сила Ампера, в результате чего у перемычки есть ускорение (она тормозит):

$$m\vec {a}=\vec{F}_A$$

$$ma=F_A$$

Распишем это подробнее:

$$B I l \sin{\beta}=F_A$$

У нас угол между линиями поля и током $90^{\circ}$, поэтому

$$B I l =F_A$$

$$\mid a \mid =\mid \frac{\Delta \upsilon}{\Delta t}\mid$$

$$a=-\frac{\Delta \upsilon}{\Delta t}$$

Тогда

$$ B I l =-\frac{\Delta \upsilon}{\Delta t} m$$

Подставляем ток:

$$\frac{ B^2 l^2 \upsilon }{ r+\frac{2R}{3}}=-m\frac{\Delta \upsilon}{\Delta t}$$

Домножим на $\Delta t$:

$$\frac{ B^2 l^2 \upsilon \Delta t }{ r+\frac{2R}{3}}=-m\Delta \upsilon$$

Заменим произведение $\upsilon \Delta t=\Delta S$ – на элементарное перемещение:

$$\frac{ B^2 l^2\Delta S }{ r+\frac{2R}{3}}=-m\Delta \upsilon$$

И просуммируем это выражение за весь тормозной путь $S$:

$$\frac{ B^2 l^2 }{ r+\frac{2R}{3}}\sum \Delta S=-m\sum \Delta \upsilon$$

$$\frac{ B^2 l^2 }{ r+\frac{2R}{3}} S=-m(\upsilon-\upsilon_0)$$

$$\frac{ B^2 l^2 }{ r+\frac{2R}{3}} S=m\upsilon_0$$

Откуда тормозной путь

$$S=\frac{ m\upsilon_0\left(r+\frac{2R}{3}\right)}{ B^2 l^2 }$$

Ответ: $S=\frac{ m\upsilon_0\left(r+\frac{2R}{3}\right)}{ B^2 l^2 }$.

Задача 3. Два идеально проводящих  рельса расположены под углом $\alpha$ к горизонту и замкнуты на конденсатор $C$. Линии поля $B$ направлены вертикально вниз. Расстояние между рельсами $l$. На рельсах перпендикулярно им лежит перемычка. Перемычку отпускают, и она скользит по рельсам. Какое расстояние $S$  она пройдет за время $t$? Трения нет, масса перемычки $m$.

Шаг первый. Определяем ЭДС, которой эквивалентна движущаяся перемычка.

Для этого определяем направление силы Лоренца (она направлена к нам, как показано на рисунке). На концах проводника, движущегося в магнитном поле, индуцируется ЭДС, определяемая формулой:

$$E_i=B l \upsilon\sin{90^{\circ}-\alpha}$$

У нас угол между скоростью и направлением линий магнитного поля $90^{\circ}-\alpha$, поэтому  $\sin{90^{\circ}-\alpha}=\cos{\alpha }$.

$$E_i=B l \upsilon \cos{\alpha }$$

Шаг 2. Рисуем схему:

$$U_C=E_i$$

Ток в емкости равен

$$I_C=\frac{\Delta q}{\Delta t}$$

$$q=CU=CE_i$$

Поэтому

$$I_C=\frac{ CE_i }{\Delta t}$$

$$I_C=CBl\cos{\alpha}\cdot \frac{\Delta \upsilon}{\Delta t}= CBl\cos{\alpha} \cdot a$$

Шаг третий. Обращаемся к механике.

По второму закону Ньютона

$$mg \sin{\alpha}-F_A\cos{\alpha}=ma$$

Где $F_A=B I l \sin{90^{\circ}}$, $I=I_C$.

$$mg \sin{\alpha}- B I l \cos{\alpha}=ma$$

Подставим ток:

$$mg \sin{\alpha}- B l \cos{\alpha} C B l\cos{\alpha} a=ma$$

$$mg \sin{\alpha}=a( B^2 l^2 \cos^2{\alpha} C +m) $$

Тогда ускорение

$$a=\frac{ mg \sin{\alpha}}{ B^2 l^2 \cos^2{\alpha} C +m }$$

Ускорение будет постоянным. Путь, пройденный перемычкой до остановки легко найти:

$$S=\frac{at^2}{2}=\frac{ mg \sin{\alpha}}{ B^2 l^2 \cos^2{\alpha} C +m }\cdot\frac{t^2}{2}$$

Ответ: $S=\frac{ mg \sin{\alpha}}{ B^2 l^2 \cos^2{\alpha} C +m }\cdot\frac{t^2}{2}$.

Задача 4. Два идеальных параллельных друг другу рельса замкнуты перемычкой с $R$ и $C$, конденсатор заряжен до  $U_0$. Перемычка содержит ключ. На рельсах лежит перемычка массой $M$. Трения нет. Расстояние между рельсами неизвестно, линии индукции магнитного поля направлены перпендикулярно плоскости рельсов к наблюдателю. Найти  ускорение перемычки сразу после замыкания ключа, если при принудительном перемещении перемычки со скоростью $\upsilon_0$ на конденсаторе устанавливается напряжение $U_1$.

Шаг 1. Сразу после замыкания ключа напряжение на конденсаторе скачком не изменится и останется равным $U_0$.

Шаг 2. Скорость перемычки скачком не изменится, поэтому вначале $E_i=0$.

$$I_0=\frac{U_0}{R}$$

Из-за протекающего тока возникнет сила Ампера:

$$F_A=B I_0 l\sin{\alpha}= B I_0 l\sin{90^{\circ}}=B I_0l=\farc{B U_0 l}{R}$$

Шаг 3: по второму закону Ньютона

$$F_A=ma$$

$$a=\frac{ B U_0 l }{RM}$$

В этом выражении нам неизвестны ни индукция, ни расстояние между рельсами. Возвращаемся к условию задачи: при принудительном движении перемычки

$$U_C=U_1=const$$

Ток в емкости – производная от напряжения на ней. Так как напряжение постоянно, то производная равна нулю и тока нет. Следовательно, $U_C=E_i=U_1$.

$$E_i=B l \upsilon_0\sin{90^{\circ}}= B l \upsilon_0$$

То есть

$$U_1= B l \upsilon_0$$

Откуда

$$Bl=\frac{U_1}{\upsilon_0}$$

Тогда

$$a=\frac{U_0U_1}{MR\upsilon_0}$$

Ответ: $a=\frac{U_0U_1}{MR\upsilon_0}$.