Магнитное поле: перемычки на рельсах

Магнитное поле: перемычки на рельсах – 1

В этой статье мы рассмотрим перемещающиеся по рельсам перемычки в магнитном поле . Рельсы будут как горизонтальными, так и наклонными, замкнутыми на резистор или на конденсатор. Статья является третьей в серии «Магнитное поле».

Задача 1. Два идеальных проводящих рельса ( $R=0$ ), расположенных вертикально, находятся в магнитном поле с индукцией $B$ , и замкнуты сопротивлением $R$ . Расстояние между рельсами $l$ . На рельсах удерживается перемычка массой $m$ , которую отпускают. Через некоторое время скорость перемычки устанавливается. Найти эту постоянную скорость.

Рисунок 1

Перемычка начнет двигаться под действием силы тяжести. Свободные заряды в ней, следовательно, будут иметь скорость перемычки. А на движущиеся в магнитном поле заряды действует сила Лоренца. Таким образом, движущаяся перемычка будет источником питания для цепи, которую она замыкает, с ЭДС индукции, которую можно определить. Эта ЭДС породит ток, а ток в свою очередь – силу Ампера, которая будет противодействовать силе тяжести, потому и скорость установится. Первым шагом мы определим эту ЭДС индукции, вторым – рассчитаем электрическую цепь, и, наконец, обратимся к механике, чтобы определить скорость.

Шаг 1. Определение ЭДС. Берем промежуточное положение перемычки.

Рисунок 2

На концах проводника, движущегося в магнитном поле, индуцируется ЭДС, определяемая формулой:

$E_i=B l \upsilon\sin{\alpha}$

У нас $\upsilon=const$ , $\sin{\alpha}=\sin{90^{\circ}=1$ .

Таким образом, ЭДС – постоянная (скорость же постоянна).

Шаг 2. Расчет схемы.

Рисунок 3

$I=\frac{E_i}{R}=\frac{ B l \upsilon }{R}$

Ток тоже постоянный.

Шаг 3. Обратимся теперь ко второму закону Ньютона:

$F_A=mg$

При этом условии $a=0$ и скорость постоянна.

Распишем это подробнее:

$B I l \sin{\beta}=mg$

У нас угол между линиями поля и током $90^{\circ}$ , поэтому

$B I l =mg$

$I=\frac{mg}{Bl}$

Теперь можно приравнять токи:

$\frac{ B l \upsilon }{R}=\frac{mg}{Bl}$

Откуда скорость перемычки

$\upsilon=\frac{mgR}{B^2l^2}$

Ответ: $\upsilon=\frac{mgR}{B^2l^2}$ .

Задача 2. Два горизонтально расположенных рельса замкнуты с двух сторон: справа – перемычкой с сопротивлением $R$ , слева – перемычкой с сопротивлением $2R$ . Линии поля $B$ направлены вертикально вниз. Расстояние между рельсами $l$ . На рельсах перпендикулярно им лежит перемычка с сопротивлением $r$ . Перемычку толкают, придавая ей скорость $\upsilon_0$ , и спустя некоторое время перемычка останавливается. Какой путь она пройдет до остановки? Трения нет, масса перемычки $m$ .

Рисунок 4

Начинаем с шага 1 – определения ЭДС. На концах проводника, движущегося в магнитном поле, индуцируется ЭДС, определяемая формулой:

Рисунок 5

$E_i=B l \upsilon\sin{\alpha}$

У нас $\sin{\alpha}=\sin{90^{\circ}=1$ .

$E_i=B l \upsilon$

Шаг 2. Расчет схемы.

Рисунок 6

Заменяем схему эквивалентной, замечая, что сопротивления $R$ и $2R$ соединены параллельно. Не забываем, что у перемычки есть сопротивление $r$ . Тогда

$I=\frac{E_i}{r+\frac{2R}{3}}=\frac{ B l \upsilon }{ r+\frac{2R}{3}}$

Скорость перемычки падает, следовательно, ток тоже не остается постоянным: он уменьшается.

Шаг 3. Пришло время механики. На проводник (перемычку) действует сила Ампера, в результате чего у перемычки есть ускорение (она тормозит):

$m\vec {a}=\vec{F}_A$

$ma=F_A$

Распишем это подробнее:

$B I l \sin{\beta}=F_A$

У нас угол между линиями поля и током $90^{\circ}$ , поэтому

$B I l =F_A$

$\mid a \mid =\mid \frac{\Delta \upsilon}{\Delta t}\mid$

$a=-\frac{\Delta \upsilon}{\Delta t}$

Тогда

$B I l =-\frac{\Delta \upsilon}{\Delta t} m$

Подставляем ток:

$\frac{ B^2 l^2 \upsilon }{ r+\frac{2R}{3}}=-m\frac{\Delta \upsilon}{\Delta t}$

Домножим на $\Delta t$ :

$\frac{ B^2 l^2 \upsilon \Delta t }{ r+\frac{2R}{3}}=-m\Delta \upsilon$

Заменим произведение $\upsilon \Delta t=\Delta S$ – на элементарное перемещение:

$\frac{ B^2 l^2\Delta S }{ r+\frac{2R}{3}}=-m\Delta \upsilon$

И просуммируем это выражение за весь тормозной путь $S$ :

$\frac{ B^2 l^2 }{ r+\frac{2R}{3}}\sum \Delta S=-m\sum \Delta \upsilon$

$\frac{ B^2 l^2 }{ r+\frac{2R}{3}} S=-m(\upsilon-\upsilon_0)$

$\frac{ B^2 l^2 }{ r+\frac{2R}{3}} S=m\upsilon_0$

Откуда тормозной путь

$S=\frac{ m\upsilon_0\left(r+\frac{2R}{3}\right)}{ B^2 l^2 }$

Ответ: $S=\frac{ m\upsilon_0\left(r+\frac{2R}{3}\right)}{ B^2 l^2 }$ .

Задача 3. Два идеально проводящих рельса расположены под углом $\alpha$ к горизонту и замкнуты на конденсатор $C$ . Линии поля $B$ направлены вертикально вниз. Расстояние между рельсами $l$ . На рельсах перпендикулярно им лежит перемычка. Перемычку отпускают, и она скользит по рельсам. Какое расстояние $S$ она пройдет за время $t$ ? Трения нет, масса перемычки $m$ .

Рисунок 7

Шаг первый. Определяем ЭДС, которой эквивалентна движущаяся перемычка.

Рисунок 8

Для этого определяем направление силы Лоренца (она направлена к нам, как показано на рисунке). На концах проводника, движущегося в магнитном поле, индуцируется ЭДС, определяемая формулой:

$E_i=B l \upsilon\sin{90^{\circ}-\alpha}$

У нас угол между скоростью и направлением линий магнитного поля $90^{\circ}-\alpha$ , поэтому $\sin{90^{\circ}-\alpha}=\cos{\alpha }$ .

$E_i=B l \upsilon \cos{\alpha }$

Шаг 2. Рисуем схему:

Рисунок 9

$U_C=E_i$

Ток в емкости равен

$I_C=\frac{\Delta q}{\Delta t}$

$q=CU=CE_i$

Поэтому

$I_C=\frac{ CE_i }{\Delta t}$

$I_C=CBl\cos{\alpha}\cdot \frac{\Delta \upsilon}{\Delta t}= CBl\cos{\alpha} \cdot a$

Шаг третий. Обращаемся к механике.

По второму закону Ньютона

$mg \sin{\alpha}-F_A\cos{\alpha}=ma$

Где $F_A=B I l \sin{90^{\circ}}$ , $I=I_C$ .

$mg \sin{\alpha}- B I l \cos{\alpha}=ma$

Подставим ток:

$mg \sin{\alpha}- B l \cos{\alpha} C B l\cos{\alpha} a=ma$

$mg \sin{\alpha}=a( B^2 l^2 \cos^2{\alpha} C +m)$

Тогда ускорение

$a=\frac{ mg \sin{\alpha}}{ B^2 l^2 \cos^2{\alpha} C +m }$

Ускорение будет постоянным. Путь, пройденный перемычкой до остановки легко найти:

$S=\frac{at^2}{2}=\frac{ mg \sin{\alpha}}{ B^2 l^2 \cos^2{\alpha} C +m }\cdot\frac{t^2}{2}$

Ответ: $S=\frac{ mg \sin{\alpha}}{ B^2 l^2 \cos^2{\alpha} C +m }\cdot\frac{t^2}{2}$ .

Задача 4. Два идеальных параллельных друг другу рельса замкнуты перемычкой с $R$ и $C$ , конденсатор заряжен до $U_0$ . Перемычка содержит ключ. На рельсах лежит перемычка массой $M$ . Трения нет. Расстояние между рельсами неизвестно, линии индукции магнитного поля направлены перпендикулярно плоскости рельсов к наблюдателю. Найти ускорение перемычки сразу после замыкания ключа, если при принудительном перемещении перемычки со скоростью $\upsilon_0$ на конденсаторе устанавливается напряжение $U_1$ .