Магнитное поле: колебания перемычки

[latexpage]

В этой статье мы рассмотрим перемещающуюся по рельсам перемычку в магнитном поле .  Рельсы будут  горизонтальными,  замкнутыми на индуктивность. Вы увидите, что индуктивность – это колебания. Статья является четвертой в серии «Магнитное поле». Конспект занятий Пенкина М.А.

Задача. Два параллельных рельса, расположенных на расстоянии $l$, замкнуты перемычкой с индуктивностью $L$. Линии магнитного поля с индукцией  $B$ направлены вертикально вниз. Перемычке сообщают скорость $\upsilon_0$. Изучить движение перемычки.

Рисунок 1

Шаг 1. Определяем, какому источнику будет эквивалентна такая перемычка. На концах проводника, движущегося в магнитном поле, индуцируется ЭДС, определяемая формулой:

$$E_i=B l \upsilon$$

Рисунок 2

Шаг 2. Рассчитываем цепь.

Рисунок 3

$$U_L=E_i= B l \upsilon$$

Известно, что ток в индуктивности является реакцией на изменение напряжения:

$$U_L= L\frac{d i_L}{dt}$$

$$ B l \upsilon= L\frac{\Delta I}{\Delta t}$$

Домножим на $\Delta t$:

$$ B l \upsilon\Delta t = L\Delta I$$

Произведение $\upsilon\Delta t=\Delta x$, поэтому

$$L\sum\Delta I=B l \sum \Delta x$$

$$LI=Bl x$$

Откуда

$$I=\frac{Blx}{L}$$

Шаг 3. Переходим к механике. Запишем второй закон Ньютона по горизонтальной оси:

$$-F_A=ma_x$$

Сила Ампера, возникающая вместе с током:

$$F_A=BIl$$

Если подставить ток:

$$F_A=\frac{B^2l^2}{L}x$$

Ток зависит от  координаты перемычки. Сила Ампера также меняется с координатой.

$$-\frac{B^2l^2}{L}x=ma_x$$

$a_x$ здесь – проекция ускорения, $a_x=-a$ при движении вправо.

$$a_x+\frac{B^2l^2}{Lm}x=0$$

Получили уравнение гармонических колебаний. $x$ меняется по закону синуса или косинуса.

$$\frac{B^2l^2}{Lm}=\omega^2$$

$$\omega=\frac{Bl}{\sqrt{Lm}}$$

Откуда можно определить период колебаний:

$$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi\sqrt{Lm}}{Bl}$$

Уравнение колебаний выглядит

$$a_x+\omega^2 x=0$$

Уравнение координаты

$$x=A\sin{\omega t}+C\cos{\omega t}$$

Подставим начальные условия: $x(0)=0$, $\upsilon_x(0)=\upsilon_0$.

$$x(0)=A\sin{\omega \cdot 0}+C\cos{\omega \cdot 0}=C$$

$$C=0$$

$$x= A\sin{\omega t}$$

$A$ – амплитуда, максимальное смещение перемычки.

$\upsilon_0$ – максимальная скорость. Так как в положении равновесия сумма всех сил равна нулю, то $a_x$ в этот момент равно нулю. Ускорение – производная скорости, если она равна нулю, следовательно, скорость $\upsilon_0$ –  максимальна.

$$\upsilon_x=x’(t)=A\omega \cos(\omega t)$$

$$\upsilon_x(0)=\upsilon_0$$

$$A\omega\cos(0)=\upsilon_0$$

$$A\omega=\upsilon_0$$

$$A=\frac{\upsilon_0}{\omega }=\frac{\upsilon_0\sqrt{Lm}}{Bl}$$

Ток ведет себя так же, как координата. Там, где $x\rightarrow max$, $I\rightarrow max$.

Поэтому

$$I_{max}=\frac{Bl}{L}A=\frac{\upsilon_0\sqrt{Lm}}{L}=\upsilon_0\sqrt{\frac{m}{L}}$$

Определим, спустя какое время перемычка сместится на $\frac{A}{2}$:

$$x=x(t)= A\sin{\omega t}= A\sin{\frac{2\pi}{T} t}$$

$$\frac{A}{2}= A\sin{\frac{2\pi}{T} t}$$

$$\sin{\frac{2\pi}{T} t}=\frac{1}{2}$$

$$\frac{2\pi}{T} t=\frac{\pi}{6}$$

$$\frac{t}{T}=\frac{1}{12}$$

Можно было реализовать энергетический подход для получения дифференциального уравнения: работа силы Ампера равна кинетической энергии перемычки.

$$A_{F_A}=\frac{m\upsilon_0^2}{2}$$

$$F_A=BIl=\frac{B^2l^2x}{L}$$

Работа равна площади треугольника:

Рисунок 4

$$S_{tr}=\frac{1}{2}\frac{B^2l^2A^2}{2L}$$

Приравняем работу и энергию:

$$\frac{m\upsilon_0^2}{2}=\frac{B^2l^2A^2}{4L}$$

Откуда

$$A=\frac{\upsilon_0\sqrt{Lm}}{Bl}$$

Разность кинетических энергий равна работе:

$$-\frac{B^2l^2x^2}{2L}=\frac{m\upsilon^2}{2}-\frac{m\upsilon_0^2}{2}$$

$$\frac{B^2l^2x^2}{2L}+\frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{m\upsilon_0^2}{2}$$

Дифференцируем по времени:

$$\frac{m}{2}\cdot 2\upsilon\cdot {\dot \upsilon}+\frac{B^2l^2}{2L}\cdot 2x\cdot \dot x=0$$

$$\dot x=\upsilon$$

Сокращаем:

$$ma+\frac{B^2l^2x}{L}=0$$

$$a+\frac{B^2l^2x}{mL}=0$$