В этой статье мы рассмотрим перемещающуюся по рельсам перемычку в магнитном поле . Рельсы будут горизонтальными, замкнутыми на индуктивность. Вы увидите, что индуктивность – это колебания. Статья является четвертой в серии «Магнитное поле».
Задача. Два параллельных рельса, расположенных на расстоянии , замкнуты перемычкой с индуктивностью
. Линии магнитного поля с индукцией
направлены вертикально вниз. Перемычке сообщают скорость
. Изучить движение перемычки.

Рисунок 1
Шаг 1. Определяем, какому источнику будет эквивалентна такая перемычка. На концах проводника, движущегося в магнитном поле, индуцируется ЭДС, определяемая формулой:

Рисунок 2
Шаг 2. Рассчитываем цепь.

Рисунок 3
Известно, что ток в индуктивности является реакцией на изменение напряжения:
Домножим на :
Произведение , поэтому
Откуда
Шаг 3. Переходим к механике. Запишем второй закон Ньютона по горизонтальной оси:
Сила Ампера, возникающая вместе с током:
Если подставить ток:
Ток зависит от координаты перемычки. Сила Ампера также меняется с координатой.
здесь – проекция ускорения,
при движении вправо.
Получили уравнение гармонических колебаний. меняется по закону синуса или косинуса.
Откуда можно определить период колебаний:
Уравнение колебаний выглядит
Уравнение координаты
Подставим начальные условия: ,
.
– амплитуда, максимальное смещение перемычки.
– максимальная скорость. Так как в положении равновесия сумма всех сил равна нулю, то
в этот момент равно нулю. Ускорение – производная скорости, если она равна нулю, следовательно, скорость
– максимальна.
Ток ведет себя так же, как координата. Там, где ,
.
Поэтому
Определим, спустя какое время перемычка сместится на :
Можно было реализовать энергетический подход для получения дифференциального уравнения: работа силы Ампера равна кинетической энергии перемычки.
Работа равна площади треугольника:

Рисунок 4
Приравняем работу и энергию:
Откуда
Разность кинетических энергий равна работе:
Дифференцируем по времени:
Сокращаем:
Комментариев - 2
Полно опечаток, особенно в первой задаче!
Исправлено, спасибо за внимательность. Хорошего Вам нового года!