Магнитное поле: колебания перемычки

В этой статье мы рассмотрим перемещающуюся по рельсам перемычку в магнитном поле .  Рельсы будут  горизонтальными,  замкнутыми на индуктивность. Вы увидите, что индуктивность – это колебания. Статья является четвертой в серии «Магнитное поле».

Задача. Два параллельных рельса, расположенных на расстоянии , замкнуты перемычкой с индуктивностью . Линии магнитного поля с индукцией  направлены вертикально вниз. Перемычке сообщают скорость . Изучить движение перемычки.

Рисунок 1

Шаг 1. Определяем, какому источнику будет эквивалентна такая перемычка. На концах проводника, движущегося в магнитном поле, индуцируется ЭДС, определяемая формулой:

Рисунок 2

Шаг 2. Рассчитываем цепь.

Рисунок 3

Известно, что ток в индуктивности является реакцией на изменение напряжения:

Домножим на :

Произведение , поэтому

Откуда

Шаг 3. Переходим к механике. Запишем второй закон Ньютона по горизонтальной оси:

Сила Ампера, возникающая вместе с током:

Если подставить ток:

Ток зависит от  координаты перемычки. Сила Ампера также меняется с координатой.

здесь – проекция ускорения, при движении вправо.

Получили уравнение гармонических колебаний. меняется по закону синуса или косинуса.

Откуда можно определить период колебаний:

Уравнение колебаний выглядит

Уравнение координаты

Подставим начальные условия: , .

– амплитуда, максимальное смещение перемычки.

– максимальная скорость. Так как в положении равновесия сумма всех сил равна нулю, то в этот момент равно нулю. Ускорение – производная скорости, если она равна нулю, следовательно, скорость –  максимальна.

Ток ведет себя так же, как координата. Там, где , .

Поэтому

Определим, спустя какое время перемычка сместится на :

Можно было реализовать энергетический подход для получения дифференциального уравнения: работа силы Ампера равна кинетической энергии перемычки.

Работа равна площади треугольника:

Рисунок 4

Приравняем работу и энергию:

Откуда

Разность кинетических энергий равна работе:

Дифференцируем по времени:

Сокращаем: