Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика, Сила Ампера, Сила Лоренца, ЭДС индукции

Магнитное поле: колебания перемычки

В этой статье мы рассмотрим перемещающуюся по рельсам перемычку в магнитном поле .  Рельсы будут  горизонтальными,  замкнутыми на индуктивность. Вы увидите, что индуктивность – это колебания. Статья является четвертой в серии «Магнитное поле».

Задача. Два параллельных рельса, расположенных на расстоянии l, замкнуты перемычкой с индуктивностью L. Линии магнитного поля с индукцией  B направлены вертикально вниз. Перемычке сообщают скорость \upsilon_0. Изучить движение перемычки.

Рисунок 1

Шаг 1. Определяем, какому источнику будет эквивалентна такая перемычка. На концах проводника, движущегося в магнитном поле, индуцируется ЭДС, определяемая формулой:

    \[E_i=B l \upsilon\]

Рисунок 2

Шаг 2. Рассчитываем цепь.

Рисунок 3

    \[U_L=E_i= B l \upsilon\]

Известно, что ток в индуктивности является реакцией на изменение напряжения:

    \[U_L= L\frac{d i_L}{dt}\]

    \[B l \upsilon= L\frac{\Delta I}{\Delta t}\]

Домножим на \Delta t:

    \[B l \upsilon\Delta t = L\Delta I\]

Произведение \upsilon\Delta t=\Delta x, поэтому

    \[L\sum\Delta I=B l \sum \Delta x\]

    \[LI=Bl x\]

Откуда

    \[I=\frac{Blx}{L}\]

Шаг 3. Переходим к механике. Запишем второй закон Ньютона по горизонтальной оси:

    \[-F_A=ma_x\]

Сила Ампера, возникающая вместе с током:

    \[F_A=BIl\]

Если подставить ток:

    \[F_A=\frac{B^2l^2}{L}x\]

Ток зависит от  координаты перемычки. Сила Ампера также меняется с координатой.

    \[-\frac{B^2l^2}{L}x=ma_x\]

a_x здесь – проекция ускорения, a_x=-a при движении вправо.

    \[a_x+\frac{B^2l^2}{Lm}x=0\]

Получили уравнение гармонических колебаний. x меняется по закону синуса или косинуса.

    \[\frac{B^2l^2}{Lm}=\omega^2\]

    \[\omega=\frac{Bl}{\sqrt{Lm}}\]

Откуда можно определить период колебаний:

    \[T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi\sqrt{Lm}}{Bl}\]

Уравнение колебаний выглядит

    \[a_x+\omega^2 x=0\]

Уравнение координаты

    \[x=A\sin{\omega t}+C\cos{\omega t}\]

Подставим начальные условия: x(0)=0, \upsilon_x(0)=\upsilon_0.

    \[x(0)=A\sin{\omega \cdot 0}+C\cos{\omega \cdot 0}=C\]

    \[C=0\]

    \[x= A\sin{\omega t}\]

A – амплитуда, максимальное смещение перемычки.

\upsilon_0 – максимальная скорость. Так как в положении равновесия сумма всех сил равна нулю, то a_x в этот момент равно нулю. Ускорение – производная скорости, если она равна нулю, следовательно, скорость \upsilon_0 –  максимальна.

    \[\upsilon_x=x'(t)=A\omega \cos(\omega t)\]

    \[\upsilon_x(0)=\upsilon_0\]

    \[A\omega\cos(0)=\upsilon_0\]

    \[A\omega=\upsilon_0\]

    \[A=\frac{\upsilon_0}{\omega }=\frac{\upsilon_0\sqrt{Lm}}{Bl}\]

Ток ведет себя так же, как координата. Там, где x\rightarrow max, I\rightarrow max.

Поэтому

    \[I_{max}=\frac{Bl}{L}A=\frac{\upsilon_0\sqrt{Lm}}{L}=\upsilon_0\sqrt{\frac{m}{L}}\]

Определим, спустя какое время перемычка сместится на \frac{A}{2}:

    \[x=x(t)= A\sin{\omega t}= A\sin{\frac{2\pi}{T} t}\]

    \[\frac{A}{2}= A\sin{\frac{2\pi}{T} t}\]

    \[\sin{\frac{2\pi}{T} t}=\frac{1}{2}\]

    \[\frac{2\pi}{T} t=\frac{\pi}{6}\]

    \[\frac{t}{T}=\frac{1}{12}\]

Можно было реализовать энергетический подход для получения дифференциального уравнения: работа силы Ампера равна кинетической энергии перемычки.

    \[A_{F_A}=\frac{m\upsilon_0^2}{2}\]

    \[F_A=BIl=\frac{B^2l^2x}{L}\]

Работа равна площади треугольника:

Рисунок 4

    \[S_{tr}=\frac{1}{2}\frac{B^2l^2A^2}{2L}\]

Приравняем работу и энергию:

    \[\frac{m\upsilon_0^2}{2}=\frac{B^2l^2A^2}{4L}\]

Откуда

    \[A=\frac{\upsilon_0\sqrt{Lm}}{Bl}\]

Разность кинетических энергий равна работе:

    \[-\frac{B^2l^2x^2}{2L}=\frac{m\upsilon^2}{2}-\frac{m\upsilon_0^2}{2}\]

    \[\frac{B^2l^2x^2}{2L}+\frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{m\upsilon_0^2}{2}\]

Дифференцируем по времени:

    \[\frac{m}{2}\cdot 2\upsilon\cdot {\dot \upsilon}+\frac{B^2l^2}{2L}\cdot 2x\cdot \dot x=0\]

    \[\dot x=\upsilon\]

Сокращаем:

    \[ma+\frac{B^2l^2x}{L}=0\]

    \[a+\frac{B^2l^2x}{mL}=0\]

Комментариев - 2

  • Галина Владимировна
    |

    Полно опечаток, особенно в первой задаче!

    Ответить
    • Анна
      |

      Исправлено, спасибо за внимательность. Хорошего Вам нового года!

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *