Магнитное поле: колебания перемычки

В этой статье мы рассмотрим перемещающуюся по рельсам перемычку в магнитном поле . Рельсы будут горизонтальными, замкнутыми на индуктивность. Вы увидите, что индуктивность – это колебания. Статья является четвертой в серии «Магнитное поле».

Задача. Два параллельных рельса, расположенных на расстоянии $l$ , замкнуты перемычкой с индуктивностью $L$ . Линии магнитного поля с индукцией $B$ направлены вертикально вниз. Перемычке сообщают скорость $\upsilon_0$ . Изучить движение перемычки.

Рисунок 1

Шаг 1. Определяем, какому источнику будет эквивалентна такая перемычка. На концах проводника, движущегося в магнитном поле, индуцируется ЭДС, определяемая формулой:

$E_i=B l \upsilon$

Рисунок 2

Шаг 2. Рассчитываем цепь.

Рисунок 3

$U_L=E_i= B l \upsilon$

Известно, что ток в индуктивности является реакцией на изменение напряжения:

$U_L= L\frac{d i_L}{dt}$

$B l \upsilon= L\frac{\Delta I}{\Delta t}$

Домножим на $\Delta t$ :

$B l \upsilon\Delta t = L\Delta I$

Произведение $\upsilon\Delta t=\Delta x$ , поэтому

$L\sum\Delta I=B l \sum \Delta x$

$LI=Bl x$

Откуда

$I=\frac{Blx}{L}$

Шаг 3. Переходим к механике. Запишем второй закон Ньютона по горизонтальной оси:

$-F_A=ma_x$

Сила Ампера, возникающая вместе с током:

$F_A=BIl$

Если подставить ток:

$F_A=\frac{B^2l^2}{L}x$

Ток зависит от координаты перемычки. Сила Ампера также меняется с координатой.

$-\frac{B^2l^2}{L}x=ma_x$

$a_x$ здесь – проекция ускорения, $a_x=-a$ при движении вправо.

$a_x+\frac{B^2l^2}{Lm}x=0$

Получили уравнение гармонических колебаний. $x$ меняется по закону синуса или косинуса.

$\frac{B^2l^2}{Lm}=\omega^2$

$\omega=\frac{Bl}{\sqrt{Lm}}$

Откуда можно определить период колебаний:

$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi\sqrt{Lm}}{Bl}$

Уравнение колебаний выглядит

$a_x+\omega^2 x=0$

Уравнение координаты

$x=A\sin{\omega t}+C\cos{\omega t}$

Подставим начальные условия: $x(0)=0$ , $\upsilon_x(0)=\upsilon_0$ .

$x(0)=A\sin{\omega \cdot 0}+C\cos{\omega \cdot 0}=C$

$C=0$

$x= A\sin{\omega t}$

$A$ – амплитуда, максимальное смещение перемычки.

$\upsilon_0$ – максимальная скорость. Так как в положении равновесия сумма всех сил равна нулю, то $a_x$ в этот момент равно нулю. Ускорение – производная скорости, если она равна нулю, следовательно, скорость $\upsilon_0$ – максимальна.

$\upsilon_x=x'(t)=A\omega \cos(\omega t)$