Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Олимпиадная физика, Сила Ампера, Сила Лоренца, ЭДС индукции

Магнитное поле: колебания перемычки

В этой статье мы рассмотрим перемещающуюся по рельсам перемычку в магнитном поле .  Рельсы будут  горизонтальными,  замкнутыми на индуктивность. Вы увидите, что индуктивность – это колебания. Статья является четвертой в серии «Магнитное поле».

Задача. Два параллельных рельса, расположенных на расстоянии , замкнуты перемычкой с индуктивностью . Линии магнитного поля с индукцией  направлены вертикально вниз. Перемычке сообщают скорость . Изучить движение перемычки.

Рисунок 1

Шаг 1. Определяем, какому источнику будет эквивалентна такая перемычка. На концах проводника, движущегося в магнитном поле, индуцируется ЭДС, определяемая формулой:

   

Рисунок 2

Шаг 2. Рассчитываем цепь.

Рисунок 3

   

Известно, что ток в индуктивности является реакцией на изменение напряжения:

   

   

Домножим на :

   

Произведение , поэтому

   

   

Откуда

   

Шаг 3. Переходим к механике. Запишем второй закон Ньютона по горизонтальной оси:

   

Сила Ампера, возникающая вместе с током:

   

Если подставить ток:

   

Ток зависит от  координаты перемычки. Сила Ампера также меняется с координатой.

   

здесь – проекция ускорения, при движении вправо.

   

Получили уравнение гармонических колебаний. меняется по закону синуса или косинуса.

   

   

Откуда можно определить период колебаний:

   

Уравнение колебаний выглядит

   

Уравнение координаты

   

Подставим начальные условия: , .

   

   

   

– амплитуда, максимальное смещение перемычки.

– максимальная скорость. Так как в положении равновесия сумма всех сил равна нулю, то в этот момент равно нулю. Ускорение – производная скорости, если она равна нулю, следовательно, скорость –  максимальна.

   

   

   

   

   

Ток ведет себя так же, как координата. Там, где , .

Поэтому

   

Определим, спустя какое время перемычка сместится на :

   

   

   

   

   

Можно было реализовать энергетический подход для получения дифференциального уравнения: работа силы Ампера равна кинетической энергии перемычки.

   

   

Работа равна площади треугольника:

Рисунок 4

   

Приравняем работу и энергию:

   

Откуда

   

Разность кинетических энергий равна работе:

   

   

Дифференцируем по времени:

   

   

Сокращаем:

   

   

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *