[latexpage]
В этой статье мы рассмотрим перемещающуюся по рельсам перемычку в магнитном поле . Рельсы будут горизонтальными, замкнутыми на индуктивность. Вы увидите, что индуктивность – это колебания. Статья является четвертой в серии «Магнитное поле». Конспект занятий Пенкина М.А.
Задача. Два параллельных рельса, расположенных на расстоянии $l$, замкнуты перемычкой с индуктивностью $L$. Линии магнитного поля с индукцией $B$ направлены вертикально вниз. Перемычке сообщают скорость $\upsilon_0$. Изучить движение перемычки.

Рисунок 1
Шаг 1. Определяем, какому источнику будет эквивалентна такая перемычка. На концах проводника, движущегося в магнитном поле, индуцируется ЭДС, определяемая формулой:
$$E_i=B l \upsilon$$

Рисунок 2
Шаг 2. Рассчитываем цепь.

Рисунок 3
$$U_L=E_i= B l \upsilon$$
Известно, что ток в индуктивности является реакцией на изменение напряжения:
$$U_L= L\frac{d i_L}{dt}$$
$$ B l \upsilon= L\frac{\Delta I}{\Delta t}$$
Домножим на $\Delta t$:
$$ B l \upsilon\Delta t = L\Delta I$$
Произведение $\upsilon\Delta t=\Delta x$, поэтому
$$L\sum\Delta I=B l \sum \Delta x$$
$$LI=Bl x$$
Откуда
$$I=\frac{Blx}{L}$$
Шаг 3. Переходим к механике. Запишем второй закон Ньютона по горизонтальной оси:
$$-F_A=ma_x$$
Сила Ампера, возникающая вместе с током:
$$F_A=BIl$$
Если подставить ток:
$$F_A=\frac{B^2l^2}{L}x$$
Ток зависит от координаты перемычки. Сила Ампера также меняется с координатой.
$$-\frac{B^2l^2}{L}x=ma_x$$
$a_x$ здесь – проекция ускорения, $a_x=-a$ при движении вправо.
$$a_x+\frac{B^2l^2}{Lm}x=0$$
Получили уравнение гармонических колебаний. $x$ меняется по закону синуса или косинуса.
$$\frac{B^2l^2}{Lm}=\omega^2$$
$$\omega=\frac{Bl}{\sqrt{Lm}}$$
Откуда можно определить период колебаний:
$$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi\sqrt{Lm}}{Bl}$$
Уравнение колебаний выглядит
$$a_x+\omega^2 x=0$$
Уравнение координаты
$$x=A\sin{\omega t}+C\cos{\omega t}$$
Подставим начальные условия: $x(0)=0$, $\upsilon_x(0)=\upsilon_0$.
$$x(0)=A\sin{\omega \cdot 0}+C\cos{\omega \cdot 0}=C$$
$$C=0$$
$$x= A\sin{\omega t}$$
$A$ – амплитуда, максимальное смещение перемычки.
$\upsilon_0$ – максимальная скорость. Так как в положении равновесия сумма всех сил равна нулю, то $a_x$ в этот момент равно нулю. Ускорение – производная скорости, если она равна нулю, следовательно, скорость $\upsilon_0$ – максимальна.
$$\upsilon_x=x’(t)=A\omega \cos(\omega t)$$
$$\upsilon_x(0)=\upsilon_0$$
$$A\omega\cos(0)=\upsilon_0$$
$$A\omega=\upsilon_0$$
$$A=\frac{\upsilon_0}{\omega }=\frac{\upsilon_0\sqrt{Lm}}{Bl}$$
Ток ведет себя так же, как координата. Там, где $x\rightarrow max$, $I\rightarrow max$.
Поэтому
$$I_{max}=\frac{Bl}{L}A=\frac{\upsilon_0\sqrt{Lm}}{L}=\upsilon_0\sqrt{\frac{m}{L}}$$
Определим, спустя какое время перемычка сместится на $\frac{A}{2}$:
$$x=x(t)= A\sin{\omega t}= A\sin{\frac{2\pi}{T} t}$$
$$\frac{A}{2}= A\sin{\frac{2\pi}{T} t}$$
$$\sin{\frac{2\pi}{T} t}=\frac{1}{2}$$
$$\frac{2\pi}{T} t=\frac{\pi}{6}$$
$$\frac{t}{T}=\frac{1}{12}$$
Можно было реализовать энергетический подход для получения дифференциального уравнения: работа силы Ампера равна кинетической энергии перемычки.
$$A_{F_A}=\frac{m\upsilon_0^2}{2}$$
$$F_A=BIl=\frac{B^2l^2x}{L}$$
Работа равна площади треугольника:

Рисунок 4
$$S_{tr}=\frac{1}{2}\frac{B^2l^2A^2}{2L}$$
Приравняем работу и энергию:
$$\frac{m\upsilon_0^2}{2}=\frac{B^2l^2A^2}{4L}$$
Откуда
$$A=\frac{\upsilon_0\sqrt{Lm}}{Bl}$$
Разность кинетических энергий равна работе:
$$-\frac{B^2l^2x^2}{2L}=\frac{m\upsilon^2}{2}-\frac{m\upsilon_0^2}{2}$$
$$\frac{B^2l^2x^2}{2L}+\frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{m\upsilon_0^2}{2}$$
Дифференцируем по времени:
$$\frac{m}{2}\cdot 2\upsilon\cdot {\dot \upsilon}+\frac{B^2l^2}{2L}\cdot 2x\cdot \dot x=0$$
$$\dot x=\upsilon$$
Сокращаем:
$$ma+\frac{B^2l^2x}{L}=0$$
$$a+\frac{B^2l^2x}{mL}=0$$
Комментариев - 2
Полно опечаток, особенно в первой задаче!
Исправлено, спасибо за внимательность. Хорошего Вам нового года!