Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Магнитный поток, Сила Ампера, ЭДС индукции

Магнитное поле: электромагнитная индукция в неподвижных проводниках.

В этой статье мы рассмотрим электро-магнитную индукцию в неподвижных проводниках.  Статья является десятой в серии «Магнитное поле».

Здесь уже причиной возникновения тока в проводнике будет не сила Лоренца, а вихревые токи. Магнитное поле будет теперь переменным. Переменное поле порождает вихревое электрическое поле, линии которого замкнуты. Такое поле непотенциально, метод потенциалов нельзя будет использовать. Поэтому будем использовать поток и закон Фарадея.

 

    \[\Phi=BS\cos{\alpha}\]

Где \alpha – угол между нормалью к поверхности и линиями индукции.

Если индукция со временем увеличивается, то переменное поле будет ориентировано по правилу, обратному правилу буравчика (правой руки).

Рассмотрим частный случай одного из уравнений Максвелла, называемый законом электро-магнитной индукции Фарадея.

Например, разместим в поле замкнутое кольцо из проводника. Тогда поле начнет оказывать воздействие на свободные носители заряда и возникнет ток. Ток будет направлен по линиям вихревого поля.

Если же кольцо будет выполнено из диэлектрического  материала, то свободных носителей нет. Поле начнет воздействовать на заряды, жестко связанные с кольцом, и кольцо начнет вращаться.

Заряды будет гнать  сила F_e=Eq. Знак «минус» в законе указывает направление этой ЭДС, выше мы уже научились определять ее направление.

    \[E_i=-\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}\]

Задача 1. Имеется проволочное кольцо сопротивлением R. На кольце расположены три точки A, C и E так, что они делят кольцо на три равные дуги.  В центр кольца вставляют  катушку индуктивности и внутри нее индуцируется переменное магнитное поле B=kt, k=const. К точкам A и C подключают амперметр с сопротивлением R_A. Что покажет амперметр?

Рисунок 1

 

Так как индукция меняется (растет) со временем, возникнет вихревое поле, ориентированное по отношению к магнитному по правилу, обратному правилу буравчика. Это поле будет действовать на свободные носители зарядов и возникнут токи.  Эквивалентная электрическая схема замещения представлена на рис. Так как  точками A, E, C кольцо разделено на равные части, то

    \[R_{EC}=\frac{R}{3}\]

    \[R_{AEC}=\frac{2R}{3}\]

По первому закону Кирхгофа

    \[I_2+I_A=I_1\]

По закону электро-магнитной индукции для левого контура

    \[\mid \frac{\Delta \Phi_L}{\Delta t}\mid=I_1\cdot\frac{2}{3}R+I_2\frac{2R}{3}\]

По закону электро-магнитной индукции для правого контура

    \[\mid \frac{\Delta \Phi_P}{\Delta t}\mid=I_A\cdot R_A-I_2\frac{R}{3}\]

    \[\Delta \Phi_L=B(t) \pi r^2=kt\pi r^2\]

А \Delta \Phi_P=0, так как магнитное поле этот контур не пронизывает.

    \[I_A\cdot R_A=I_2\frac{R}{3}\]

    \[I_2=\frac{3 I_A\cdot R_A }{R}\]

Производная потока по времени

    \[\frac{\Delta \Phi_L}{\Delta t}= k\pi r^2\]

Соберем все в «кучу». «Куча» – в первом уравнении.

    \[I_A+\frac{3 I_A\cdotR_A }{R}=I_1\]

    \[k\pi r^2= I_A\cdot\frac{2}{3}R\left(1+\frac{3R_A}{R}\right)+I_AR_A\]

    \[k\pi r^2= I_A\left(\frac{2}{3}R+2R_A+R_A \right)\]

Домножим на 3:

    \[3k\pi r^2= I_A\left(2R+9R_A \right)\]

Откуда I_A:

    \[I_A=\frac{3k\pi r^2}{2R+9R_A }\]

Ответ: I_A=\frac{3k\pi r^2}{2R+9R_A }

Задача 2. В области А создано однородное магнитное поле с индукцией B_0, которое затем выключают. Проводящая квадратная рамка сначала неподвижна. Рамка не закреплена, имеет массу m и сопротивление R. Сторона рамки a. В начальный момент времени глубина «погружения» рамки в поле \frac{a}{3}. Какую скорость приобретет рамка за время выключения поля, если это время недостаточно для того, чтобы рамка ощутимо переместилась?

Рисунок 2

Уменьшающееся поле создаст вихревое электрическое поле, ориентированное по отношению к магнитному по правилу  буравчика.

По закону электро-магнитной индукции

    \[\mid \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}\mid=IR\]

Где

    \[\Phi(t)=BS\]

Так как рамка погружена только на треть длины стороны, то

    \[\Phi(t)=B\cdot a\cdot\frac{a}{3}\]

А изменение потока

    \[\Delta \Phi=\frac{\Delta B a^2}{3}\]

Где

    \[\Delta B=B(t+\Delta t)-B(t)\]

Тогда

    \[\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}=\frac{a^2}{3}\frac{\Delta B }{\Delta t }\]

    \[\mid \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}\mid=-\frac{a^2}{3}\frac{\Delta B }{\Delta t }\]

Следовательно

    \[IR=-\frac{a^2}{3}\frac{\Delta B }{\Delta t }\]

    \[I=-\frac{a^2}{3R}\frac{\Delta B }{\Delta t }\]

Теперь перейдем к механике:

    \[\vec{F_A}=m\vec{a}\]

    \[F_A=ma*\]

Где a* – модуль ускорения.

    \[a*=\mid\frac{\Delta \upsilon}{\Delta t}\mid=\frac{\Delta \upsilon}{\Delta t}\]

Тогда

    \[F_A=m\frac{\Delta \upsilon}{\Delta t}\]

    \[F_A=B(t) I a\]

Так как \sin{\alpha}=1.

Подставим ток

    \[-\frac{a^3}{3R}B \Delta B =m\Delta \upsilon\]

Просуммируем это последнее выражение

    \[-\frac{a^3}{6R}\sum \Delta (B^2)=m\sum \Delta \upsilon\]

    \[-\frac{a^3}{6R}(0-B_0^2)=m(\upsilon_1-0)\]

    \[\upsilon_1=\frac{a^3 B_0^2}{6Rm}\]

Ответ: \upsilon_1=\frac{a^3 B_0^2}{6Rm}.

Задача 3. Дано непроводящее заряженное кольцо массой M, радиусом R, с суммарным зарядом Q. Магнитное поле, симметричное относительно оси O,  включают (индукция направлена к нам), и индукция нарастает от 0 до B_0. Кольцо начнет вращаться. Найти угловую скорость вращения кольца.

Рисунок 3

Кольцо, вследствие того, что на заряды действует поле, а заряды жестко связаны с кольцом – так как кольцо непроводящее – начнет вращаться.

Разобьем кольцо на малые кусочки. Тогда

    \[\sum m_k=M\]

    \[\sum q_k=Q\]

Сила, действующая на элементарный кусочек кольца, равна

    \[F_k=E(t)q_k=m_k\frac{\Delta \upsilon_k}{\Delta t}\]

Где

    \[\upsilon_k=\omega R\]

Тогда

    \[F_k=E(t)q_k=m_k R\frac{\Delta \omega}{\Delta t}\]

Просуммируем по малым кусочкам:

    \[E(t)\sum q_k= R\frac{\Delta \omega}{\Delta t} \sum m_k\]

Или

    \[E(t)Q= R\frac{\Delta \omega}{\Delta t} M~~~~~~~~~~~~(1)\]

Закон электро-магнитной индукции для непроводника:

    \[E_i=\sum \frac{F_k \Delta l_k}{q_k}=\sum  E(t) \Delta l_k=-\mid \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}\mid\]

– это называют циркуляцией вектора напряженности по замкнутому контуру.

Где F_k \Delta l_k – работа малой силы по перемещению m_k, \Delta l_k – малое перемещение, отрезок прямой (так  как маленький).

    \[E(t) \sum  \Delta l_k= \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}\]

    \[E(t)\cdot 2 \pi R=\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}\]

    \[\Phi=B(t)\cdot \pi R^2\]

    \[\Delta \Phi=\pi R^2 \Delta B\]

    \[E(t)\cdot 2 \pi R=\frac{\pi R^2 \Delta B }{\Delta t}\]

    \[E(t)=\frac{R\Delta B}{2\Delta t }\]

Подставим это в (1):

    \[\frac{R\Delta B}{2\Delta t }Q= M R\frac{\Delta \omega}{\Delta t}\]

    \[\frac{Q\Delta B}{2}= M \Delta \omega\]

Суммируем по времени включения поля

    \[\frac{Q }{2}\sum \Delta B = M \sum \Delta \omega\]

    \[\frac{Q }{2}(B_0-0) = M(\omega_1-0)\]

    \[\omega_1=\frac{Q B_0}{2M}\]

Ответ: \omega_1=\frac{Q B_0}{2M}.

 

 

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *