Магнитное поле: электромагнитная индукция в неподвижных проводниках.

В этой статье мы рассмотрим электро-магнитную индукцию в неподвижных проводниках. Статья является десятой в серии «Магнитное поле».

Здесь уже причиной возникновения тока в проводнике будет не сила Лоренца, а вихревые токи. Магнитное поле будет теперь переменным. Переменное поле порождает вихревое электрическое поле, линии которого замкнуты. Такое поле непотенциально, метод потенциалов нельзя будет использовать. Поэтому будем использовать поток и закон Фарадея.

$\Phi=BS\cos{\alpha}$

Где $\alpha$ – угол между нормалью к поверхности и линиями индукции.

Если индукция со временем увеличивается, то переменное поле будет ориентировано по правилу, обратному правилу буравчика (правой руки).

Рассмотрим частный случай одного из уравнений Максвелла, называемый законом электро-магнитной индукции Фарадея.

Например, разместим в поле замкнутое кольцо из проводника. Тогда поле начнет оказывать воздействие на свободные носители заряда и возникнет ток. Ток будет направлен по линиям вихревого поля.

Если же кольцо будет выполнено из диэлектрического материала, то свободных носителей нет. Поле начнет воздействовать на заряды, жестко связанные с кольцом, и кольцо начнет вращаться.

Заряды будет гнать сила $F_e=Eq$ . Знак «минус» в законе указывает направление этой ЭДС, выше мы уже научились определять ее направление.

$E_i=-\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}$

Задача 1. Имеется проволочное кольцо сопротивлением $R$ . На кольце расположены три точки $A$ , $C$ и $E$ так, что они делят кольцо на три равные дуги. В центр кольца вставляют катушку индуктивности и внутри нее индуцируется переменное магнитное поле $B=kt$ , $k=const$ . К точкам $A$ и $C$ подключают амперметр с сопротивлением $R_A$ . Что покажет амперметр?

Рисунок 1

Так как индукция меняется (растет) со временем, возникнет вихревое поле, ориентированное по отношению к магнитному по правилу, обратному правилу буравчика. Это поле будет действовать на свободные носители зарядов и возникнут токи. Эквивалентная электрическая схема замещения представлена на рис. Так как точками $A, E, C$ кольцо разделено на равные части, то

$R_{EC}=\frac{R}{3}$

$R_{AEC}=\frac{2R}{3}$

По первому закону Кирхгофа

$I_2+I_A=I_1$

По закону электро-магнитной индукции для левого контура

$\mid \frac{\Delta \Phi_L}{\Delta t}\mid=I_1\cdot\frac{2}{3}R+I_2\frac{2R}{3}$

По закону электро-магнитной индукции для правого контура

$\mid \frac{\Delta \Phi_P}{\Delta t}\mid=I_A\cdot R_A-I_2\frac{R}{3}$

$\Delta \Phi_L=B(t) \pi r^2=kt\pi r^2$

А $\Delta \Phi_P=0$ , так как магнитное поле этот контур не пронизывает.

$I_A\cdot R_A=I_2\frac{R}{3}$

$I_2=\frac{3 I_A\cdot R_A }{R}$

Производная потока по времени

$\frac{\Delta \Phi_L}{\Delta t}= k\pi r^2$

Соберем все в «кучу». «Куча» – в первом уравнении.

$I_A+\frac{3 I_A\cdotR_A }{R}=I_1$

$k\pi r^2= I_A\cdot\frac{2}{3}R\left(1+\frac{3R_A}{R}\right)+I_AR_A$

$k\pi r^2= I_A\left(\frac{2}{3}R+2R_A+R_A \right)$

Домножим на 3:

$3k\pi r^2= I_A\left(2R+9R_A \right)$

Откуда $I_A$ :

$I_A=\frac{3k\pi r^2}{2R+9R_A }$

Ответ: $I_A=\frac{3k\pi r^2}{2R+9R_A }$

Задача 2. В области А создано однородное магнитное поле с индукцией $B_0$ , которое затем выключают. Проводящая квадратная рамка сначала неподвижна. Рамка не закреплена, имеет массу $m$ и сопротивление $R$ . Сторона рамки $a$ . В начальный момент времени глубина «погружения» рамки в поле $\frac{a}{3}$ . Какую скорость приобретет рамка за время выключения поля, если это время недостаточно для того, чтобы рамка ощутимо переместилась?

Рисунок 2

Уменьшающееся поле создаст вихревое электрическое поле, ориентированное по отношению к магнитному по правилу буравчика.

По закону электро-магнитной индукции

$\mid \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}\mid=IR$

Где

$\Phi(t)=BS$

Так как рамка погружена только на треть длины стороны, то

$\Phi(t)=B\cdot a\cdot\frac{a}{3}$

А изменение потока

$\Delta \Phi=\frac{\Delta B a^2}{3}$

Где

$\Delta B=B(t+\Delta t)-B(t)$

Тогда

$\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}=\frac{a^2}{3}\frac{\Delta B }{\Delta t }$

$\mid \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}\mid=-\frac{a^2}{3}\frac{\Delta B }{\Delta t }$

Следовательно

$IR=-\frac{a^2}{3}\frac{\Delta B }{\Delta t }$

$I=-\frac{a^2}{3R}\frac{\Delta B }{\Delta t }$

Теперь перейдем к механике:

$\vec{F_A}=m\vec{a}$

$F_A=ma*$

Где $a*$ – модуль ускорения.

$a*=\mid\frac{\Delta \upsilon}{\Delta t}\mid=\frac{\Delta \upsilon}{\Delta t}$

Тогда

$F_A=m\frac{\Delta \upsilon}{\Delta t}$

$F_A=B(t) I a$

Так как $\sin{\alpha}=1$ .

Подставим ток

$-\frac{a^3}{3R}B \Delta B =m\Delta \upsilon$

Просуммируем это последнее выражение

$-\frac{a^3}{6R}\sum \Delta (B^2)=m\sum \Delta \upsilon$

$-\frac{a^3}{6R}(0-B_0^2)=m(\upsilon_1-0)$

$\upsilon_1=\frac{a^3 B_0^2}{6Rm}$

Ответ: $\upsilon_1=\frac{a^3 B_0^2}{6Rm}$ .

Задача 3. Дано непроводящее заряженное кольцо массой $M$ , радиусом $R$ , с суммарным зарядом $Q$ . Магнитное поле, симметричное относительно оси $O$ , включают (индукция направлена к нам), и индукция нарастает от 0 до $B_0$ . Кольцо начнет вращаться. Найти угловую скорость вращения кольца.