Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Магнитный поток, Сила Ампера, ЭДС индукции

Магнитное поле: электромагнитная индукция в неподвижных проводниках.

В этой статье мы рассмотрим электро-магнитную индукцию в неподвижных проводниках.  Статья является десятой в серии «Магнитное поле».

Здесь уже причиной возникновения тока в проводнике будет не сила Лоренца, а вихревые токи. Магнитное поле будет теперь переменным. Переменное поле порождает вихревое электрическое поле, линии которого замкнуты. Такое поле непотенциально, метод потенциалов нельзя будет использовать. Поэтому будем использовать поток и закон Фарадея.

 

   

Где – угол между нормалью к поверхности и линиями индукции.

Если индукция со временем увеличивается, то переменное поле будет ориентировано по правилу, обратному правилу буравчика (правой руки).

Рассмотрим частный случай одного из уравнений Максвелла, называемый законом электро-магнитной индукции Фарадея.

Например, разместим в поле замкнутое кольцо из проводника. Тогда поле начнет оказывать воздействие на свободные носители заряда и возникнет ток. Ток будет направлен по линиям вихревого поля.

Если же кольцо будет выполнено из диэлектрического  материала, то свободных носителей нет. Поле начнет воздействовать на заряды, жестко связанные с кольцом, и кольцо начнет вращаться.

Заряды будет гнать  сила . Знак «минус» в законе указывает направление этой ЭДС, выше мы уже научились определять ее направление.

   

Задача 1. Имеется проволочное кольцо сопротивлением . На кольце расположены три точки , и так, что они делят кольцо на три равные дуги.  В центр кольца вставляют  катушку индуктивности и внутри нее индуцируется переменное магнитное поле , . К точкам и подключают амперметр с сопротивлением . Что покажет амперметр?

Рисунок 1

 

Так как индукция меняется (растет) со временем, возникнет вихревое поле, ориентированное по отношению к магнитному по правилу, обратному правилу буравчика. Это поле будет действовать на свободные носители зарядов и возникнут токи.  Эквивалентная электрическая схема замещения представлена на рис. Так как  точками кольцо разделено на равные части, то

   

   

По первому закону Кирхгофа

   

По закону электро-магнитной индукции для левого контура

   

По закону электро-магнитной индукции для правого контура

   

   

А , так как магнитное поле этот контур не пронизывает.

   

   

Производная потока по времени

   

Соберем все в «кучу». «Куча» – в первом уравнении.

   

   

   

Домножим на 3:

   

Откуда :

   

Ответ:

Задача 2. В области А создано однородное магнитное поле с индукцией , которое затем выключают. Проводящая квадратная рамка сначала неподвижна. Рамка не закреплена, имеет массу и сопротивление . Сторона рамки . В начальный момент времени глубина «погружения» рамки в поле . Какую скорость приобретет рамка за время выключения поля, если это время недостаточно для того, чтобы рамка ощутимо переместилась?

Рисунок 2

Уменьшающееся поле создаст вихревое электрическое поле, ориентированное по отношению к магнитному по правилу  буравчика.

По закону электро-магнитной индукции

   

Где

   

Так как рамка погружена только на треть длины стороны, то

   

А изменение потока

   

Где

   

Тогда

   

   

Следовательно

   

   

Теперь перейдем к механике:

   

   

Где – модуль ускорения.

   

Тогда

   

   

Так как .

Подставим ток

   

Просуммируем это последнее выражение

   

   

   

Ответ: .

Задача 3. Дано непроводящее заряженное кольцо массой , радиусом , с суммарным зарядом . Магнитное поле, симметричное относительно оси ,  включают (индукция направлена к нам), и индукция нарастает от 0 до . Кольцо начнет вращаться. Найти угловую скорость вращения кольца.

Рисунок 3

Кольцо, вследствие того, что на заряды действует поле, а заряды жестко связаны с кольцом – так как кольцо непроводящее – начнет вращаться.

Разобьем кольцо на малые кусочки. Тогда

   

   

Сила, действующая на элементарный кусочек кольца, равна

   

Где

   

Тогда

   

Просуммируем по малым кусочкам:

   

Или

   

Закон электро-магнитной индукции для непроводника:

   

– это называют циркуляцией вектора напряженности по замкнутому контуру.

Где – работа малой силы по перемещению , – малое перемещение, отрезок прямой (так  как маленький).

   

   

   

   

   

   

Подставим это в (1):

   

   

Суммируем по времени включения поля

   

   

   

Ответ: .

 

 

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *