Магнитное поле: частицы в поле-2

[latexpage]

В этой статье мы рассмотрим задачи, в которых частицы перемещаются в магнитном поле.  Частицы  будут двигаться по спиралям и окружностям, тормозиться и разгоняться электрическими полями. Эта статья – вторая из серии статей о магнитном поле. В этой серии мы не только рассмотрим движение частиц по сложным траекториям, но и будем двигать рамки в магнитном поле, словом, самое интересное – впереди! Конспект занятий Пенкина М.А.

Задача 1. Прямолинейный проводник подвешен горизонтально на двух нитях в однородном магнитном поле с индукцией  $B=20$  мТл. Вектор магнитной индукции горизонтален и перпендикулярен проводнику.

Рисунок 1

Какой ток следует пропустить по проводнику, чтобы сила натяжения нитей увеличилась вдвое? Ответ выразить в А, округлив до целых.

В каком направлении для этого необходимо пропустить ток?

Масса единицы длины проводника  $\mu=40$ г/м. Ускорение свободного падения принять равным  $g=10$ м/с$^2$.

Запишем второй закон Ньютона для состояния до включения тока:

$$mg=2T$$

При пропускании тока возникнет сила Ампера, направленная, как мы можем догадаться, вниз – поскольку натяжение нитей возросло (для этого ток должен быть направлен от нас).

По условию, натяжение стало вдвое больше. Записываем второй закон Ньютона для состояния, когда ток в проводнике протекает:

$$4T=F_A+mg$$

Или

$$2mg=mg+F_A$$

$$F_A=mg$$

$$IBL=mg$$

$$I=\frac{mg}{BL}$$

$$I=\frac{m}{L}\cdot\frac{g}{B}=\mu \frac{g}{B}=40\cdot10^{-3}\cdot\frac{10}{20\cdot10^{-3}}=20$$

Ответ: $I=20$ А.

Задача 2. Однородные электрическое и магнитное поля расположены взаимно перпендикулярно. Напряженность электрического  поля  равна  $E=1$ кВ/м, а индукция магнитного поля   $B=1$ мТл. В каком направлении и с какой скоростью должен двигаться электрон, чтобы его движение в пространстве, занимаемом полями, было равномерным и прямолинейным? Ответ выразить в км/с, округлив до целых.

Рисунок 2

Сила Лоренца должна быть равна силе, с которой электрическое поле действует на электрон:

$$F_e=F_l$$

$$E q=B q\upsilon$$

Откуда

$$\upsilon=\frac{E}{B}=\frac{1000}{10^{-3}}=10^6$$

Ответ: $10^6$ м/с, или $1000$ км/с.

Задача 3. Электрон влетает в плоский слой однородного магнитного поля шириной  $L=9,1$ см со скоростью  $\upsilon=2\cdot 10^7$ м/с. Индукция магнитного поля  $B=1$ мТл. Скорость электрона перпендикулярна как направлению поля, так и границам слоя. Под каким углом к первоначальному направлению электрон вылетит из магнитного поля? В ответе записать синус угла, округлив до десятых. Элементарный заряд равен  $e=1,6\cdot10^{−19}$ Кл, масса электрона  $m=9,1\cdot10^{-31}$ кг.

Рисунок 3

В магнитном поле электрон начнет двигаться по окружности. Определим ее радиус.  По второму закону Ньютона:

$$m a_n=F_l$$

$$\frac{m \upsilon^2}{R}=B q \upsilon$$

Откуда

$$R=\frac{m\upsilon}{B q}=\frac{m\upsilon}{B e}=\frac{9,1\cdot10^{-31}\cdot 2\cdot 10^7}{1\cdot10^{-3}\cdot 1,6\cdot10^{-19}}=11,375\cdot10^{-2}$$

Получилось, что радиус 11,375 см. Но область магнитного поля (слой) имеет ширину 9,1 – следовательно, электрон не пройдет и четверти окружности и вылетит из области поля. Отметим, какой угол нам надо найти:

Рисунок 4

Даже не сам угол, а его синус:

$$\sin{\alpha}=\frac{L}{R}=0,8$$

Ответ: $\sin{\alpha}=0,8$.

Задача 4. Пучок протонов, ускоренных напряжением $U$, попадает в однородное магнитное поле с индукцией  $B=0,2$ Тл, перпендикулярное скорости протонов. После того, как пучок прошёл путь  $S=10$ см, скорость пучка изменилась по направлению на угол $\alpha =30^{\circ}$. Отношение заряда протона к его массе равно  $\frac{q}{m}=10^8$ Кл/кг. Найдите ускоряющее напряжение $U$. Ответ выразить в кВ, округлив до целых.

Рисунок 5

В магнитном поле протоны  начнут двигаться по окружности. Определим ее радиус.  По второму закону Ньютона:

$$m a_n=F_l$$

$$\frac{m \upsilon^2}{R}=B q \upsilon$$

Откуда

$$\upsilon=\frac{ B q R}{ m }$$

По условию, пучок прошел путь 10 см – а это длина дуги окружности. Найдем всю длину – из нее можно определить радиус: так как 10 см соответствуют $30^{\circ}$, то $360^{\circ}$ будет соответствовать длина дуги $12\cdot 10=120$ см. Тогда

$$2\pi R=1,20$$

$$R=\frac{0,6}{\pi}$$

Работа электрического поля равна кинетической энергии протонов пучка:

$$Uq=\frac{m\upsilon^2}{2}$$

$$U=\frac{m\upsilon^2}{2q}=\frac{m}{2q}\cdot\frac{B^2 q^2 R^2}{m^2}=\frac{B^2 q R^2}{2m}=\frac{0,2^2\cdot10^8\cdot0,6^2}{2\pi^2}=72951$$

Ответ: 73 кВ.

Задача 5. Частица массой  $m=0,1$ мг с положительным зарядом  $q=5$ нКл находится в однородном электрическом и магнитном полях. Линии индукции магнитного поля параллельны силовым линиям электрического поля (см. рис.). В начальный момент частице сообщают скорость  $\upsilon_0=300$ м/с, направленную под углом $\alpha=60^{\circ}$ к линиям индукции. Через время  $\tau=314$ с частица возвращается в исходную точку. Чему равна напряженность электрического поля $E$?  Ответ выразить в  В/м, округлив до целых. При каком минимальном значении индукции магнитного поля это возможно?

Рисунок 6

На частицу будут действовать две силы: сила со стороны электрического поля $F_e=q\cdot E$,  и сила Лоренца со стороны магнитного поля. Эта сила будет перпендикулярна  линиям магнитной индукции и скорости частицы, найдем ее:

$$F_l=q\cdot\upsilon_0 B\sin{\alpha}$$

Под действием электрической силы частица движется сначала равнозамедленно, а потом (после остановки) равноускоренно с тем же по величине ускорением. Запишем второй закон Ньютона и формулы кинематики для частицы. Второй закон Ньютона в проекции на ось, направленную горизонтально вправо, имеет вид

$$ma_x=E q$$

Из кинематики горизонтальная скорость частицы

$$\upsilon_x=-\upsilon_0\cos{\alpha}+a_x t$$

После возвращения в первоначальную точку горизонтальная составляющая скорости частицы по величине будет совпадать с первоначальной, но будет направлена в противоположную сторону. Таким образом, получаем, что

$$\upsilon_x(\tau)= \upsilon_0\cos{\alpha}=−\upsilon_0\cos{\alpha}+a_x\tau$$

Где

$$a_x=\frac{qE}{m}$$

откуда

$$2\upsilon_0\cos{\alpha}=\frac{qE}{m} \tau$$

$$E=\frac{2\upsilon_0\cos{\alpha} m}q\tau}=\frac{2\cdot300\cdot0,5\cdot0,1\cdot10^{-6}}{5\cdot10^{-9}\cdot 314}=19,11$$

В плоскости, перпендикулярной силовым линиям E и B, под действием силы Лоренца частица совершает круговые движения. Найдем период обращения частицы $T$ по окружности радиуса $R$. Из второго закона Ньютона получаем, что

$$ma_n=F_l$$

$$m\frac{\upsilon_0^2\sin^2{\alpha}}{R}=B q\upsilon_0\sin{\alpha}$$

Отсюда радиус окружности

$$R=\frac{m\upsilon_0\sin{\alpha}}{qB}$$

Период обращения

$$T={2\pi R}{\upsilon_0\sin{\alpha}}$$

Подставим радиус:

$$T=\frac{2 \pi m}{qB}$$

Для того,  чтобы частица вернулась в начальную точку, необходимо, чтобы она совершила целое число оборотов по окружности в плоскости, перпендикулярной силовым линиям E и B, за время τ, то есть

$$\tau=NT=\frac{2 \pi m N}{qB}$$

где N − любое натуральное число. Отсюда получается, что частица возвращается в начальную точку при значениях B, равных

$$B=\frac{2 \pi m N}{q\tau}$$

Поскольку в условии просят найти минимальную индукцию поля, подставляем в эту формулу минимальное $N=1$ и окончательно получаем, что

$$B_{min}=\frac{2 \pi \cdot0,1\cdot10^{-6} }{5\cdot10^{-9}\cdot314}=0,4$$

Ответ: $E=19$ В/м, $B_{min}=400$ мТл.