Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика, Сила Лоренца, ЭДС индукции

Магнитное поле: частицы в поле-2

В этой статье мы рассмотрим задачи, в которых частицы перемещаются в магнитном поле.  Частицы  будут двигаться по спиралям и окружностям, тормозиться и разгоняться электрическими полями. Эта статья – вторая из серии статей о магнитном поле. В этой серии мы не только рассмотрим движение частиц по сложным траекториям, но и будем двигать рамки в магнитном поле, словом, самое интересное – впереди!

 

Задача 1. Прямолинейный проводник подвешен горизонтально на двух нитях в однородном магнитном поле с индукцией  B=20  мТл. Вектор магнитной индукции горизонтален и перпендикулярен проводнику.

Рисунок 1

Какой ток следует пропустить по проводнику, чтобы сила натяжения нитей увеличилась вдвое? Ответ выразить в А, округлив до целых.

В каком направлении для этого необходимо пропустить ток?

Масса единицы длины проводника  \mu=40 г/м. Ускорение свободного падения принять равным  g=10 м/с^2.

Запишем второй закон Ньютона для состояния до включения тока:

    \[mg=2T\]

При пропускании тока возникнет сила Ампера, направленная, как мы можем догадаться, вниз – поскольку натяжение нитей возросло (для этого ток должен быть направлен от нас).

По условию, натяжение стало вдвое больше. Записываем второй закон Ньютона для состояния, когда ток в проводнике протекает:

    \[4T=F_A+mg\]

Или

    \[2mg=mg+F_A\]

    \[F_A=mg\]

    \[IBL=mg\]

    \[I=\frac{mg}{BL}\]

    \[I=\frac{m}{L}\cdot\frac{g}{B}=\mu \frac{g}{B}=40\cdot10^{-3}\cdot\frac{10}{20\cdot10^{-3}}=20\]

Ответ: I=20 А.

 

Задача 2. Однородные электрическое и магнитное поля расположены взаимно перпендикулярно. Напряженность электрического  поля  равна  E=1 кВ/м, а индукция магнитного поля   B=1 мТл. В каком направлении и с какой скоростью должен двигаться электрон, чтобы его движение в пространстве, занимаемом полями, было равномерным и прямолинейным? Ответ выразить в км/с, округлив до целых.

Рисунок 2

Сила Лоренца должна быть равна силе, с которой электрическое поле действует на электрон:

    \[F_e=F_l\]

    \[E q=B q\upsilon\]

Откуда

    \[\upsilon=\frac{E}{B}=\frac{1000}{10^{-3}}=10^6\]

Ответ: 10^6 м/с, или 1000 км/с.

Задача 3. Электрон влетает в плоский слой однородного магнитного поля шириной  L=9,1 см со скоростью  \upsilon=2\cdot 10^7 м/с. Индукция магнитного поля  B=1 мТл. Скорость электрона перпендикулярна как направлению поля, так и границам слоя. Под каким углом к первоначальному направлению электрон вылетит из магнитного поля? В ответе записать синус угла, округлив до десятых. Элементарный заряд равен  e=1,6\cdot10^{−19} Кл, масса электрона  m=9,1\cdot10^{-31} кг.

Рисунок 3

В магнитном поле электрон начнет двигаться по окружности. Определим ее радиус.  По второму закону Ньютона:

    \[m a_n=F_l\]

    \[\frac{m \upsilon^2}{R}=B q \upsilon\]

Откуда

    \[R=\frac{m\upsilon}{B q}=\frac{m\upsilon}{B e}=\frac{9,1\cdot10^{-31}\cdot 2\cdot 10^7}{1\cdot10^{-3}\cdot 1,6\cdot10^{-19}}=11,375\cdot10^{-2}\]

Получилось, что радиус 11,375 см. Но область магнитного поля (слой) имеет ширину 9,1 – следовательно, электрон не пройдет и четверти окружности и вылетит из области поля. Отметим, какой угол нам надо найти:

Рисунок 4

Даже не сам угол, а его синус:

    \[\sin{\alpha}=\frac{L}{R}=0,8\]

Ответ: \sin{\alpha}=0,8.

Задача 4. Пучок протонов, ускоренных напряжением U, попадает в однородное магнитное поле с индукцией  B=0,2 Тл, перпендикулярное скорости протонов. После того, как пучок прошёл путь  S=10 см, скорость пучка изменилась по направлению на угол \alpha =30^{\circ}. Отношение заряда протона к его массе равно  \frac{q}{m}=10^8 Кл/кг. Найдите ускоряющее напряжение U. Ответ выразить в кВ, округлив до целых.

Рисунок 5

В магнитном поле протоны  начнут двигаться по окружности. Определим ее радиус.  По второму закону Ньютона:

    \[m a_n=F_l\]

    \[\frac{m \upsilon^2}{R}=B q \upsilon\]

Откуда

    \[\upsilon=\frac{ B q R}{ m }\]

По условию, пучок прошел путь 10 см – а это длина дуги окружности. Найдем всю длину – из нее можно определить радиус: так как 10 см соответствуют 30^{\circ}, то 360^{\circ} будет соответствовать длина дуги 12\cdot 10=120 см. Тогда

    \[2\pi R=1,20\]

    \[R=\frac{0,6}{\pi}\]

Работа электрического поля равна кинетической энергии протонов пучка:

    \[Uq=\frac{m\upsilon^2}{2}\]

    \[U=\frac{m\upsilon^2}{2q}=\frac{m}{2q}\cdot\frac{B^2 q^2 R^2}{m^2}=\frac{B^2 q R^2}{2m}=\frac{0,2^2\cdot10^8\cdot0,6^2}{2\pi^2}=72951\]

Ответ: 73 кВ.

Задача 5. Частица массой  m=0,1 мг с положительным зарядом  q=5 нКл находится в однородном электрическом и магнитном полях. Линии индукции магнитного поля параллельны силовым линиям электрического поля (см. рис.). В начальный момент частице сообщают скорость  \upsilon_0=300 м/с, направленную под углом \alpha=60^{\circ} к линиям индукции. Через время  \tau=314 с частица возвращается в исходную точку. Чему равна напряженность электрического поля E?  Ответ выразить в  В/м, округлив до целых. При каком минимальном значении индукции магнитного поля это возможно?

Рисунок 6

На частицу будут действовать две силы: сила со стороны электрического поля F_e=q\cdot E,  и сила Лоренца со стороны магнитного поля. Эта сила будет перпендикулярна  линиям магнитной индукции и скорости частицы, найдем ее:

    \[F_l=q\cdot\upsilon_0 B\sin{\alpha}\]

Под действием электрической силы частица движется сначала равнозамедленно, а потом (после остановки) равноускоренно с тем же по величине ускорением. Запишем второй закон Ньютона и формулы кинематики для частицы. Второй закон Ньютона в проекции на ось, направленную горизонтально вправо, имеет вид

    \[ma_x=E q\]

Из кинематики горизонтальная скорость частицы

    \[\upsilon_x=-\upsilon_0\cos{\alpha}+a_x t\]

После возвращения в первоначальную точку горизонтальная составляющая скорости частицы по величине будет совпадать с первоначальной, но будет направлена в противоположную сторону. Таким образом, получаем, что

    \[\upsilon_x(\tau)= \upsilon_0\cos{\alpha}=−\upsilon_0\cos{\alpha}+a_x\tau\]

Где

    \[a_x=\frac{qE}{m}\]

откуда

    \[2\upsilon_0\cos{\alpha}=\frac{qE}{m} \tau\]

    \[E=\frac{2\upsilon_0\cos{\alpha} m}q\tau}=\frac{2\cdot300\cdot0,5\cdot0,1\cdot10^{-6}}{5\cdot10^{-9}\cdot 314}=19,11\]

В плоскости, перпендикулярной силовым линиям E и B, под действием силы Лоренца частица совершает круговые движения. Найдем период обращения частицы T по окружности радиуса R. Из второго закона Ньютона получаем, что

    \[ma_n=F_l\]

    \[m\frac{\upsilon_0^2\sin^2{\alpha}}{R}=B q\upsilon_0\sin{\alpha}\]

Отсюда радиус окружности

    \[R=\frac{m\upsilon_0\sin{\alpha}}{qB}\]

Период обращения

    \[T={2\pi R}{\upsilon_0\sin{\alpha}}\]

Подставим радиус:

    \[T=\frac{2 \pi m}{qB}\]

Для того,  чтобы частица вернулась в начальную точку, необходимо, чтобы она совершила целое число оборотов по окружности в плоскости, перпендикулярной силовым линиям E и B, за время τ, то есть

    \[\tau=NT=\frac{2 \pi m N}{qB}\]

где N − любое натуральное число. Отсюда получается, что частица возвращается в начальную точку при значениях B, равных

    \[B=\frac{2 \pi m N}{q\tau}\]

Поскольку в условии просят найти минимальную индукцию поля, подставляем в эту формулу минимальное N=1 и окончательно получаем, что

    \[B_{min}=\frac{2 \pi \cdot0,1\cdot10^{-6} }{5\cdot10^{-9}\cdot314}=0,4\]

Ответ: E=19 В/м, B_{min}=400 мТл.

 

 

Комментариев - 3

  • Анна
    |

    Уважаемая Галина Владимировна! Полностью разделяю вашу досаду: сама не доверяю книгам, в которых много опечаток. Я Вам ОЧЕНЬ благодарна за потраченное на мой ресурс Ваше драгоценное время. Вы очень внимательно изучали материалы и благодаря Вам все опечатки и неточности будут устранены незамедлительно. Спасибо еще раз, и от меня, и от всех тех, кто придет после Вас и будет пользоваться качественным контентом. Ну и, перефразируя, “порядок на сайте определяется не наличием опечаток, а умением их обезвреживать”))

    Ответить
  • Галина Владимировна
    |

    Теперь и я ошиблась! Речь идёт о последней формуле четвёртой задачи! Там появляется в конце величина e, которая не дана по условию!

    Ответить
    • Анна
      |

      Спасибо, исправлено!

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *