Магнитное поле: частицы в поле-2

В этой статье мы рассмотрим задачи, в которых частицы перемещаются в магнитном поле. Частицы будут двигаться по спиралям и окружностям, тормозиться и разгоняться электрическими полями. Эта статья – вторая из серии статей о магнитном поле. В этой серии мы не только рассмотрим движение частиц по сложным траекториям, но и будем двигать рамки в магнитном поле, словом, самое интересное – впереди!

Задача 1. Прямолинейный проводник подвешен горизонтально на двух нитях в однородном магнитном поле с индукцией $B=20$ мТл. Вектор магнитной индукции горизонтален и перпендикулярен проводнику.

Рисунок 1

Какой ток следует пропустить по проводнику, чтобы сила натяжения нитей увеличилась вдвое? Ответ выразить в А, округлив до целых.

В каком направлении для этого необходимо пропустить ток?

Масса единицы длины проводника $\mu=40$ г/м. Ускорение свободного падения принять равным $g=10$ м/с $^2$ .

Запишем второй закон Ньютона для состояния до включения тока:

$mg=2T$

При пропускании тока возникнет сила Ампера, направленная, как мы можем догадаться, вниз – поскольку натяжение нитей возросло (для этого ток должен быть направлен от нас).

По условию, натяжение стало вдвое больше. Записываем второй закон Ньютона для состояния, когда ток в проводнике протекает:

$4T=F_A+mg$

Или

$2mg=mg+F_A$

$F_A=mg$

$IBL=mg$

$I=\frac{mg}{BL}$

$I=\frac{m}{L}\cdot\frac{g}{B}=\mu \frac{g}{B}=40\cdot10^{-3}\cdot\frac{10}{20\cdot10^{-3}}=20$

Ответ: $I=20$ А.

Задача 2. Однородные электрическое и магнитное поля расположены взаимно перпендикулярно. Напряженность электрического поля равна $E=1$ кВ/м, а индукция магнитного поля $B=1$ мТл. В каком направлении и с какой скоростью должен двигаться электрон, чтобы его движение в пространстве, занимаемом полями, было равномерным и прямолинейным? Ответ выразить в км/с, округлив до целых.

Рисунок 2

Сила Лоренца должна быть равна силе, с которой электрическое поле действует на электрон:

$F_e=F_l$

$E q=B q\upsilon$

Откуда

$\upsilon=\frac{E}{B}=\frac{1000}{10^{-3}}=10^6$

Ответ: $10^6$ м/с, или $1000$ км/с.

Задача 3. Электрон влетает в плоский слой однородного магнитного поля шириной $L=9,1$ см со скоростью $\upsilon=2\cdot 10^7$ м/с. Индукция магнитного поля $B=1$ мТл. Скорость электрона перпендикулярна как направлению поля, так и границам слоя. Под каким углом к первоначальному направлению электрон вылетит из магнитного поля? В ответе записать синус угла, округлив до десятых. Элементарный заряд равен $e=1,6\cdot10^{−19}$ Кл, масса электрона $m=9,1\cdot10^{-31}$ кг.

Рисунок 3

В магнитном поле электрон начнет двигаться по окружности. Определим ее радиус. По второму закону Ньютона:

$m a_n=F_l$

$\frac{m \upsilon^2}{R}=B q \upsilon$

Откуда

$R=\frac{m\upsilon}{B q}=\frac{m\upsilon}{B e}=\frac{9,1\cdot10^{-31}\cdot 2\cdot 10^7}{1\cdot10^{-3}\cdot 1,6\cdot10^{-19}}=11,375\cdot10^{-2}$

Получилось, что радиус 11,375 см. Но область магнитного поля (слой) имеет ширину 9,1 – следовательно, электрон не пройдет и четверти окружности и вылетит из области поля. Отметим, какой угол нам надо найти:

Рисунок 4

Даже не сам угол, а его синус:

$\sin{\alpha}=\frac{L}{R}=0,8$

Ответ: $\sin{\alpha}=0,8$ .

Задача 4. Пучок протонов, ускоренных напряжением $U$ , попадает в однородное магнитное поле с индукцией $B=0,2$ Тл, перпендикулярное скорости протонов. После того, как пучок прошёл путь $S=10$ см, скорость пучка изменилась по направлению на угол $\alpha =30^{\circ}$ . Отношение заряда протона к его массе равно $\frac{q}{m}=10^8$ Кл/кг. Найдите ускоряющее напряжение $U$ . Ответ выразить в $кВ$ , округлив до целых.

Рисунок 5

В магнитном поле протоны начнут двигаться по окружности. Определим ее радиус. По второму закону Ньютона:

$m a_n=F_l$

$\frac{m \upsilon^2}{R}=B q \upsilon$

Откуда

$\upsilon=\frac{ B q R}{ m }$

По условию, пучок прошел путь 10 см – а это длина дуги окружности. Найдем всю длину – из нее можно определить радиус: так как 10 см соответствуют $30^{\circ}$ , то $360^{\circ}$ будет соответствовать длина дуги $12\cdot 10=120$ см. Тогда

$2\pi R=1,20$

$R=\frac{0,6}{\pi}$

Работа электрического поля равна кинетической энергии протонов пучка:

$Uq=\frac{m\upsilon^2}{2}$

$U=\frac{m\upsilon^2}{2q}=\frac{m}{2q}\cdot\frac{B^2 q^2 R^2}{m^2}=\frac{B^2 q R^2}{2m}=\frac{0,2^2\cdot10^8\cdot0,6^2}{2\pi^2}=72951$

Ответ: 73 кВ.

Задача 5. Частица массой $m=0,1$ мг с положительным зарядом $q=5$ нКл находится в однородном электрическом и магнитном полях. Линии индукции магнитного поля параллельны силовым линиям электрического поля (см. рис.). В начальный момент частице сообщают скорость $\upsilon_0=300$ м/с, направленную под углом $\alpha=60^{\circ}$ к линиям индукции. Через время $\tau=314$ с частица возвращается в исходную точку. Чему равна напряженность электрического поля $E$ ? Ответ выразить в В/м, округлив до целых. При каком минимальном значении индукции магнитного поля это возможно?

Рисунок 6

На частицу будут действовать две силы: сила со стороны электрического поля $F_e=q\cdot E$ , и сила Лоренца со стороны магнитного поля. Эта сила будет перпендикулярна линиям магнитной индукции и скорости частицы, найдем ее:

$F_l=q\cdot\upsilon_0 B\sin{\alpha}$

Под действием электрической силы частица движется сначала равнозамедленно, а потом (после остановки) равноускоренно с тем же по величине ускорением. Запишем второй закон Ньютона и формулы кинематики для частицы. Второй закон Ньютона в проекции на ось, направленную горизонтально вправо, имеет вид

$ma_x=E q$

Из кинематики горизонтальная скорость частицы

$\upsilon_x=-\upsilon_0\cos{\alpha}+a_x t$

После возвращения в первоначальную точку горизонтальная составляющая скорости частицы по величине будет совпадать с первоначальной, но будет направлена в противоположную сторону. Таким образом, получаем, что

$\upsilon_x(\tau)= \upsilon_0\cos{\alpha}=−\upsilon_0\cos{\alpha}+a_x\tau$

Где

$a_x=\frac{qE}{m}$

откуда

$2\upsilon_0\cos{\alpha}=\frac{qE}{m} \tau$

$E=\frac{2\upsilon_0\cos{\alpha} m}q\tau}=\frac{2\cdot300\cdot0,5\cdot0,1\cdot10^{-6}}{5\cdot10^{-9}\cdot 314}=19,11$

В плоскости, перпендикулярной силовым линиям E и B, под действием силы Лоренца частица совершает круговые движения. Найдем период обращения частицы $T$ по окружности радиуса $R$ . Из второго закона Ньютона получаем, что

$ma_n=F_l$

$m\frac{\upsilon_0^2\sin^2{\alpha}}{R}=B q\upsilon_0\sin{\alpha}$

Отсюда радиус окружности

$R=\frac{m\upsilon_0\sin{\alpha}}{qB}$

Период обращения

$T={2\pi R}{\upsilon_0\sin{\alpha}}$

Подставим радиус:

$T=\frac{2 \pi m}{qB}$

Для того, чтобы частица вернулась в начальную точку, необходимо, чтобы она совершила целое число оборотов по окружности в плоскости, перпендикулярной силовым линиям E и B, за время τ, то есть

$\tau=NT=\frac{2 \pi m N}{qB}$

где N − любое натуральное число. Отсюда получается, что частица возвращается в начальную точку при значениях B, равных

$B=\frac{2 \pi m N}{q\tau}$

Поскольку в условии просят найти минимальную индукцию поля, подставляем в эту формулу минимальное $N=1$ и окончательно получаем, что

$B_{min}=\frac{2 \pi \cdot0,1\cdot10^{-6} }{5\cdot10^{-9}\cdot314}=0,4$

Ответ: $E=19$ В/м, $B_{min}=400$ мТл.

Комментариев - 3

Анна

2018-12-24

Уважаемая Галина Владимировна! Полностью разделяю вашу досаду: сама не доверяю книгам, в которых много опечаток. Я Вам ОЧЕНЬ благодарна за потраченное на мой ресурс Ваше драгоценное время. Вы очень внимательно изучали материалы и благодаря Вам все опечатки и неточности будут устранены незамедлительно. Спасибо еще раз, и от меня, и от всех тех, кто придет после Вас и будет пользоваться качественным контентом. Ну и, перефразируя, “порядок на сайте определяется не наличием опечаток, а умением их обезвреживать”))

Ответить

Галина Владимировна

Теперь и я ошиблась! Речь идёт о последней формуле четвёртой задачи! Там появляется в конце величина e, которая не дана по условию!

Анна
|

2018-12-24

Спасибо, исправлено!

Ответить

Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Вс
« Окт
				1	2	3
4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17
18	19	20	21	22	23	24
25	26	27	28	29	30

Магнитное поле: частицы в поле-2

Для вас другие записи этой рубрики:

Комментариев - 3

Добавить комментарий Отменить ответ

Поиск

ПОСЛЕДНИЕ КОММЕНТАРИИ

Рекомендую

Рубрики

Центр обучения Фоксфорд

Облако меток

Подписка

Введите Ваши данные:

Последние записи

Архивы

Центр обучения Фоксфорд

Облако меток

Подписка

Введите Ваши данные:

Последние записи

Архивы

Автор сайта

Авторские права

Календарь