Магнитное поле: частицы в поле-2

В этой статье мы рассмотрим задачи, в которых частицы перемещаются в магнитном поле.  Частицы  будут двигаться по спиралям и окружностям, тормозиться и разгоняться электрическими полями. Эта статья – вторая из серии статей о магнитном поле. В этой серии мы не только рассмотрим движение частиц по сложным траекториям, но и будем двигать рамки в магнитном поле, словом, самое интересное – впереди!

Задача 1. Прямолинейный проводник подвешен горизонтально на двух нитях в однородном магнитном поле с индукцией    мТл. Вектор магнитной индукции горизонтален и перпендикулярен проводнику.

Рисунок 1

Какой ток следует пропустить по проводнику, чтобы сила натяжения нитей увеличилась вдвое? Ответ выразить в А, округлив до целых.

В каком направлении для этого необходимо пропустить ток?

Масса единицы длины проводника   г/м. Ускорение свободного падения принять равным   м/с.

Запишем второй закон Ньютона для состояния до включения тока:

При пропускании тока возникнет сила Ампера, направленная, как мы можем догадаться, вниз – поскольку натяжение нитей возросло (для этого ток должен быть направлен от нас).

По условию, натяжение стало вдвое больше. Записываем второй закон Ньютона для состояния, когда ток в проводнике протекает:

Или

Ответ: А.

Задача 2. Однородные электрическое и магнитное поля расположены взаимно перпендикулярно. Напряженность электрического  поля  равна   кВ/м, а индукция магнитного поля    мТл. В каком направлении и с какой скоростью должен двигаться электрон, чтобы его движение в пространстве, занимаемом полями, было равномерным и прямолинейным? Ответ выразить в км/с, округлив до целых.

Рисунок 2

Сила Лоренца должна быть равна силе, с которой электрическое поле действует на электрон:

Откуда

Ответ: м/с, или км/с.

Задача 3. Электрон влетает в плоский слой однородного магнитного поля шириной   см со скоростью   м/с. Индукция магнитного поля   мТл. Скорость электрона перпендикулярна как направлению поля, так и границам слоя. Под каким углом к первоначальному направлению электрон вылетит из магнитного поля? В ответе записать синус угла, округлив до десятых. Элементарный заряд равен   Кл, масса электрона   кг.

Рисунок 3

В магнитном поле электрон начнет двигаться по окружности. Определим ее радиус.  По второму закону Ньютона:

Откуда

Получилось, что радиус 11,375 см. Но область магнитного поля (слой) имеет ширину 9,1 – следовательно, электрон не пройдет и четверти окружности и вылетит из области поля. Отметим, какой угол нам надо найти:

Рисунок 4

Даже не сам угол, а его синус:

Ответ: .

Задача 4. Пучок протонов, ускоренных напряжением , попадает в однородное магнитное поле с индукцией   Тл, перпендикулярное скорости протонов. После того, как пучок прошёл путь   см, скорость пучка изменилась по направлению на угол . Отношение заряда протона к его массе равно   Кл/кг. Найдите ускоряющее напряжение . Ответ выразить в кВ, округлив до целых.

Рисунок 5

В магнитном поле протоны  начнут двигаться по окружности. Определим ее радиус.  По второму закону Ньютона:

Откуда

По условию, пучок прошел путь 10 см – а это длина дуги окружности. Найдем всю длину – из нее можно определить радиус: так как 10 см соответствуют , то будет соответствовать длина дуги см. Тогда

Работа электрического поля равна кинетической энергии протонов пучка:

Ответ: 73 кВ.

Задача 5. Частица массой   мг с положительным зарядом   нКл находится в однородном электрическом и магнитном полях. Линии индукции магнитного поля параллельны силовым линиям электрического поля (см. рис.). В начальный момент частице сообщают скорость   м/с, направленную под углом  к линиям индукции. Через время   с частица возвращается в исходную точку. Чему равна напряженность электрического поля ?  Ответ выразить в  В/м, округлив до целых. При каком минимальном значении индукции магнитного поля это возможно?

Рисунок 6

На частицу будут действовать две силы: сила со стороны электрического поля ,  и сила Лоренца со стороны магнитного поля. Эта сила будет перпендикулярна  линиям магнитной индукции и скорости частицы, найдем ее:

Под действием электрической силы частица движется сначала равнозамедленно, а потом (после остановки) равноускоренно с тем же по величине ускорением. Запишем второй закон Ньютона и формулы кинематики для частицы. Второй закон Ньютона в проекции на ось, направленную горизонтально вправо, имеет вид

Из кинематики горизонтальная скорость частицы

После возвращения в первоначальную точку горизонтальная составляющая скорости частицы по величине будет совпадать с первоначальной, но будет направлена в противоположную сторону. Таким образом, получаем, что

Где

откуда

В плоскости, перпендикулярной силовым линиям E и B, под действием силы Лоренца частица совершает круговые движения. Найдем период обращения частицы  по окружности радиуса . Из второго закона Ньютона получаем, что

Отсюда радиус окружности

Период обращения

Подставим радиус:

Для того,  чтобы частица вернулась в начальную точку, необходимо, чтобы она совершила целое число оборотов по окружности в плоскости, перпендикулярной силовым линиям E и B, за время τ, то есть

где N − любое натуральное число. Отсюда получается, что частица возвращается в начальную точку при значениях B, равных

Поскольку в условии просят найти минимальную индукцию поля, подставляем в эту формулу минимальное  и окончательно получаем, что

Ответ: В/м, мТл.