Лунка и горка

Две задачи на движение под углом к горизонту, одна – с лункой, другая – с горкой.

Задача 1. В сферической лунке прыгает шарик, упруго ударяясь о ее стенки в двух точках, расположенных на одной горизонтали. Промежуток времени при движении шарика слева направо равен $T_1$ , справа налево – $T_2$ . Определить радиус $R$ лунки.

К задаче 1

Рассмотрим, например, синюю траекторию (движение справа налево). Время движения до наивысшей точки подъема определим из

$\upsilon_y=\upsilon_{y0}-gt$

$0=\upsilon_0\sin\alpha -gt$

$t=\frac{\upsilon_0\sin\alpha }{g}$

Полное время движения равно $T_1=2t$

$T_1=\frac{2\upsilon_0\sin\alpha }{g}~~~~~~~~~~~~~~(1)$

Расстояние между точками ударов тогда будет равно

$l=\upsilon_x \cdot T_1=\upsilon \cos \alpha\cdot \frac{2\upsilon_0\sin\alpha }{g}$

Но, совершенно аналогично, рассмотрев рыжую траекторию, можем записать

$l=\upsilon \cos \beta\cdot \frac{2\upsilon_0\sin\beta }{g}$

Приравняем правые части

$\upsilon \cos \alpha\cdot \frac{2\upsilon_0\sin\alpha }{g}=\upsilon \cos \beta\cdot \frac{2\upsilon_0\sin\beta }{g}$

Так как

$\sin\alpha \cos \alpha=\sin\beta \cos \beta$

Это означает, что $\alpha+\beta=90^{\circ}$ .

Из (1)

$\sin\alpha=\frac{T_1g}{2\upsilon_0}$

$\cos \alpha=\sin\beta=\frac{T_2g}{2\upsilon_0}$

Тогда

$l=2\upsilon_0^2\cdot \frac{T_1g}{2g\upsilon_0}\cdot \frac{T_2g}{2\upsilon_0}=\frac{gT_1T_2}{2}$

Треугольник $ABC$ прямоугольный с острыми углами $\varphi=\frac{\alpha+\beta}{2}=45^{\circ}$ , его медиана равна половине гипотенузы и является в нем высотой. Радиус лунки найдем из треугольника $BHC$ :

$R^2=\frac{l^2}{4}+\frac{l^2}{4}$

$R=\frac{l}{\sqrt{2}}$

$R=\frac{gT_1T_2}{2\sqrt{2}}$

Ответ: $R=\frac{gT_1T_2}{2\sqrt{2}}$ .

Задача 2. Сферическая горка имеет радиус $R$ . При какой наименьшей скорости $\upsilon_0$ камень, брошенный с поверхности земли, перелетит через горку, не коснувшись ее поверхности?

К задаче 2

Проекция начальной скорости камня на ось $y$ равна

$\upsilon_{y0}=\upsilon_0\sin\alpha$

Так как в наивысшей точке подъема эта проекция равна нулю, то по формуле «без времени» найдем максимальную высоту подъема:

$2H_{max}g=(\upsilon_0\sin\alpha)^2$

$H_{max}=\frac{\upsilon_0^2\sin^2\alpha }{2g}=R~~~~~~~~~(2)$

$\upsilon_0=\frac{\sqrt{2gR}}{\sin\alpha }$

$\sin\alpha=\frac{\sqrt{2gR}}{\upsilon_0}$

Радиус кривизны траектории в наивысшей точке подъема определим так:

$a_n=\frac{\upsilon_x^2}{R_{kr}}=g$

$R_{kr}=\frac{\upsilon_x^2}{g}=R=\frac{\upsilon_0^2\cos^2\alpha}{g}~~~~~(3)$

Приравняем (2) и (3):

$\frac{\upsilon_0^2\cos^2\alpha}{g}=\frac{\upsilon_0^2\sin^2\alpha }{2g}$

Откуда

$\cos \alpha=\frac{\sqrt{gR}}{\upsilon_0}$

$\sin \alpha=\frac{\sqrt{\upsilon_0^2-gR}}{\upsilon_0}$

$\upsilon_0=\frac{\sqrt{2gR}\upsilon_0}{\sqrt{\upsilon_0^2-gR}}$

Таким образом,

$\frac{2gR}{\upsilon_0^2-gR }=1$

$\upsilon_0^2-gR=2gR$

$\upsilon_0^2=3gR$

$\upsilon_0=\sqrt{3gR}$

Ответ: $\upsilon_0=\sqrt{3gR}$

Комментариев - 6

Александр

2019-12-11

Анна, проверьте ответ к задаче 1 про шарик в сферической лунке. Там размерности не совпадают.
Скорее всего погорячились со степенью g или где то накосячили при вычислении l. Там тоже размерности не совпадают.
У меня получился другой ответ (решал тоже по другому).

Ответить

Анна
|

2019-12-11

Спасибо, да, квадрат g был лишним. Опечаталась.

Ответить
- Александр
  |
  
  2019-12-12
  
  Вам спасибо, хороший подбор задач.
  
  Ответить

2020-07-02

Задача №2 Необходимо обосновать равенство радиуса у центростремительной силы и максимальной высоты подъёма. Радиус кривизны параболы в вершине?!, или найти дальность через степень точки..

2020-07-04

К моему предыдущему замечанию по задаче 2. Начать с того, что минимум модуля скорости при минимуме компонент скорости ортогонального разложения. Квадрат минимальной вертикальной компоненты равен (Vy)^2=2*g*R, А квадрат минимальной горизонтальной компоненты скорости равен
(Vx)^2= g*R т.к. R минимальная высота и радиус Отсюда полная скорость
V^2 = (Vx)^2 + (Vy)^2 И всё!

Анна
|

2020-07-04

Да, это хорошо!

Ответить

Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Вс
« Сен
			1	2	3	4
5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24	25
26	27	28	29	30	31

Лунка и горка

Для вас другие записи этой рубрики:

Комментариев - 6

Добавить комментарий Отменить ответ

Поиск

ПОСЛЕДНИЕ КОММЕНТАРИИ

Рекомендую

Рубрики

Профи.ру

Лучший хостинг в мире!

Последние записи

Облако меток

Подписка

Введите Ваши данные:

Архивы