[latexpage]
Две задачи на движение под углом к горизонту, одна – с лункой, другая – с горкой.
Задача 1. В сферической лунке прыгает шарик, упруго ударяясь о ее стенки в двух точках, расположенных на одной горизонтали. Промежуток времени при движении шарика слева направо равен $T_1$, справа налево – $T_2$. Определить радиус $R$ лунки.

К задаче 1
Рассмотрим, например, синюю траекторию (движение справа налево). Время движения до наивысшей точки подъема определим из
$$\upsilon_y=\upsilon_{y0}-gt$$
$$0=\upsilon_0\sin\alpha -gt$$
$$t=\frac{\upsilon_0\sin\alpha }{g}$$
Полное время движения равно $T_1=2t$
$$T_1=\frac{2\upsilon_0\sin\alpha }{g}~~~~~~~~~~~~~~(1)$$
Расстояние между точками ударов тогда будет равно
$$l=\upsilon_x \cdot T_1=\upsilon \cos \alpha\cdot \frac{2\upsilon_0\sin\alpha }{g}$$
Но, совершенно аналогично, рассмотрев рыжую траекторию, можем записать
$$l=\upsilon \cos \beta\cdot \frac{2\upsilon_0\sin\beta }{g}$$
Приравняем правые части
$$\upsilon \cos \alpha\cdot \frac{2\upsilon_0\sin\alpha }{g}=\upsilon \cos \beta\cdot \frac{2\upsilon_0\sin\beta }{g}$$
Так как
$$\sin\alpha \cos \alpha=\sin\beta \cos \beta$$
Это означает, что $\alpha+\beta=90^{\circ}$.
Из (1)
$$\sin\alpha=\frac{T_1g}{2\upsilon_0}$$
$$\cos \alpha=\sin\beta=\frac{T_2g}{2\upsilon_0}$$
Тогда
$$l=2\upsilon_0^2\cdot \frac{T_1g}{2g\upsilon_0}\cdot \frac{T_2g}{2\upsilon_0}=\frac{gT_1T_2}{2}$$
Треугольник $ABC$ прямоугольный с острыми углами $\varphi=\frac{\alpha+\beta}{2}=45^{\circ}$, его медиана равна половине гипотенузы и является в нем высотой. Радиус лунки найдем из треугольника $BHC$:
$$R^2=\frac{l^2}{4}+\frac{l^2}{4}$$
$$R=\frac{l}{\sqrt{2}}$$
$$R=\frac{gT_1T_2}{2\sqrt{2}}$$
Ответ: $R=\frac{gT_1T_2}{2\sqrt{2}}$.
Задача 2. Сферическая горка имеет радиус $R$. При какой наименьшей скорости $\upsilon_0$ камень, брошенный с поверхности земли, перелетит через горку, не коснувшись ее поверхности?

К задаче 2
Проекция начальной скорости камня на ось $y$ равна
$$\upsilon_{y0}=\upsilon_0\sin\alpha$$
Так как в наивысшей точке подъема эта проекция равна нулю, то по формуле «без времени» найдем максимальную высоту подъема:
$$2H_{max}g=(\upsilon_0\sin\alpha)^2$$
$$ H_{max}=\frac{\upsilon_0^2\sin^2\alpha }{2g}=R~~~~~~~~~(2)$$
$$\upsilon_0=\frac{\sqrt{2gR}}{\sin\alpha }$$
$$\sin\alpha=\frac{\sqrt{2gR}}{\upsilon_0}$$
Радиус кривизны траектории в наивысшей точке подъема определим так:
$$a_n=\frac{\upsilon_x^2}{R_{kr}}=g$$
$$ R_{kr}=\frac{\upsilon_x^2}{g}=R=\frac{\upsilon_0^2\cos^2\alpha}{g}~~~~~(3)$$
Приравняем (2) и (3):
$$\frac{\upsilon_0^2\cos^2\alpha}{g}=\frac{\upsilon_0^2\sin^2\alpha }{2g}$$
Откуда
$$\cos \alpha=\frac{\sqrt{gR}}{\upsilon_0}$$
$$\sin \alpha=\frac{\sqrt{\upsilon_0^2-gR}}{\upsilon_0}$$
$$\upsilon_0=\frac{\sqrt{2gR}\upsilon_0}{\sqrt{\upsilon_0^2-gR}}$$
Таким образом,
$$\frac{2gR}{\upsilon_0^2-gR }=1$$
$$\upsilon_0^2-gR=2gR$$
$$\upsilon_0^2=3gR$$
$$\upsilon_0=\sqrt{3gR}$$
Ответ: $\upsilon_0=\sqrt{3gR}$
Комментариев - 10
Анна, проверьте ответ к задаче 1 про шарик в сферической лунке. Там размерности не совпадают.
Скорее всего погорячились со степенью g или где то накосячили при вычислении l. Там тоже размерности не совпадают.
У меня получился другой ответ (решал тоже по другому).
Спасибо, да, квадрат g был лишним. Опечаталась.
Вам спасибо, хороший подбор задач.
Задача №2 Необходимо обосновать равенство радиуса у центростремительной силы и максимальной высоты подъёма. Радиус кривизны параболы в вершине?!, или найти дальность через степень точки..
К моему предыдущему замечанию по задаче 2. Начать с того, что минимум модуля скорости при минимуме компонент скорости ортогонального разложения. Квадрат минимальной вертикальной компоненты равен (Vy)^2=2*g*R, А квадрат минимальной горизонтальной компоненты скорости равен
(Vx)^2= g*R т.к. R минимальная высота и радиус Отсюда полная скорость
V^2 = (Vx)^2 + (Vy)^2 И всё!
Да, это хорошо!
Анна, всё-таки в задаче 2
vmin = √(2gR√2)
Вы решали №2047, где две точки касания. В задаче 2 – тот же подход. Посмотрите, пожалуйста.
В задаче 2 приведена картинка. Я решала задачу именно для этого случая. Я не поняла, что такое 2047. Ответ верен.
В №2047 угол можно довести до более красивого ответа arctg (1+√2) = 67,5 град (ответ точный!)
Посмотрите, пожалуйста.
Спасибо Вам за Ваш великий труд!
Не понимаю, о какой задаче Вы говорите. В моих про угол не спрашивают.