[latexpage]
В этой статье собраны задачи из сборника задач для учеников 179 школы Москвы. В этой школе астрономию преподают на очень высоком уровне, представленные задачи в большинстве своем из олимпиад прошлых лет городского и регионального уровня. Задачи подобраны Шатовской Натальей Евгеньевной, учителем школы 179 г. Москвы.
Задача 1. а) Процион ($\alpha$ Малого Пса) – двойная звезда, у которой период обращения спутника около 39 лет, а большая полуось орбиты 13 а.е. Какова сумма масс компонентов этой системы ( в единицах массы Солнца)?
Массы Μ звезд обычно выражаются в массах Солнца ( $M_{\odot} = 1$) и надежно определяются только для физических двойных звезд (с известным параллаксом $\pi$) по третьему обобщенному закону Кеплера: сумма масс компонентов двойной звезды
$$M_1+M_2=\frac{A^3}{T^2}=\frac{a^3}{\pi”^3T^2}$$
$T$ – период обращения, выраженный в годах (спутника вокруг главной звезды или двух звезд вокруг общего центра масс), $p$ – параллакс, $A$ – большая полуось орбиты звезды-спутника в а.е., $a$ – угловое значение большой полуоси.
$$M_1+M_2=\frac{A^3}{T^2}=\frac{13^3}{ 39^2}=1,4$$
Ответ: $1,4M_{\odot}$
б) Две звезды одинаковой массы движутся по круговым орбитам вокруг общего центра масс. Какова масса звёзд, если расстояние между ними 100 а.е., а период обращения системы – 1000 лет?
$$M_1+M_2=2M=\frac{A^3}{T^2}=\frac{100^3}{ 1000^2}=1$$
$$M=0,5 M_{\odot}$$
Ответ: $0,5M_{\odot}$.
Задача 2. а) Вычислите сумму масс двойной звезды $\alpha$ Центавра (годичный параллакс 0,76”) , если спутник, находящийся на расстоянии 17,65” от главной звезды, имеет период обращения около 80 лет.
$$M_1+M_2=\frac{a^3}{\pi”^3T^2}=\frac{17,65^3}{ 0,76^3\cdot80^2}=1,96$$
$$M=1,96 M_{\odot}$$
Ответ: $1,96M_{\odot}$.
б) На каком расстоянии от нас находится двойная звезда, оба компонента которой имеют массу, примерно равную массе Солнца, если период обращения компонентов вокруг центра масс равен 125 годам, а большая полуось их взаимной орбиты видна с Земли под углом 0,25″?
$$M_1+M_2=2M_{\odot}=\frac{A^3}{T^2}$$
$$A=\sqrt[3]{(M_1+M_2)T^2}=\sqrt[3]{2\cdot125^2}=31,5$$
$$r=\frac{1}{\pi’’}=\frac{A}{a}=\frac{31,5}{0,25}=126$$
Ответ: $126$ пк.
Задача 3. а) В спектре звезды линия, соответствующая длине волны 550 нм, смещена к фиолетовому краю спектра на 0,055 нм. Определите лучевую скорость звезды. Приближается звезда или удаляется?
Лучевую скорость (проекция скорости на луч зрения наблюдателя) можно найти как
$$\upsilon=\frac{\Delta \lambda}{\lambda} c=\frac{0,055}{550}\cdot3\cdot10^8=30000$$
Ответ: 30 км/с.
б) Где на небе расположены звёзды, у которых доплеровское смещение спектральных линий, обусловленное обращением Земли вокруг Солнца, максимально? Чему оно равно для зелёных лучей?
Орбитальная скорость земли максимальна в перигелии и равна 30,27 км/с, поэтому, если звезда находится на линии, совпадающей с мгновенным направлением скорости земли в перигелии, то звезда для земного наблюдателя приближается к нему со скоростью 30,27 км/с.
$$\frac{\Delta \lambda}{\lambda}=\frac{\upsilon}{c}=\frac{3\cdot10^4}{3\cdot10^8}=10^{-4}$$
$$\Delta \lambda=10^{-4}\cdot \lambda=10^{-4}\cdot5\cdot10^{-7}=5\cdot10^{-11}$$
Ответ: $\Delta \lambda=5\cdot10^{-11}$ м, или 0,5 А.
Задача 4. Звезда, параллакс которой составляет 0,1”, приближается к нам со скоростью 100 км/с. На сколько процентов уменьшится расстояние до этой звезды за 100 лет?
Расстояние до звезды в парсеках равно
$$r=\frac{1}{\pi’’}=10$$
Определим расстояние до звезды в км: 10 пк это 32,6 св. лет, или $3,1\cdot10^{14}$ км.
За сто лет звезда приблизится на $3,1\cdot10^{11}$ км. Это расстояние составляет 0,1% от исходного.
Ответ: 0,1%.
Задача 5. Звезда, находясь на расстоянии 10 пк, имеет тангенциальную (перпендикулярную лучу зрения) скорость 20 км/с. За сколько лет она переместится по небу на угловой диаметр Луны ($0,5^{\circ}$)?
Тангенциальная скорость $\upsilon_{\tau}$ звезды в километрах в секунду определяется по ее годичному параллаксу $\pi$ и собственному движению $\mu$, т. е. по дуге, на которую смещается звезда на небе за 1 год:
$$\upsilon_{\tau}=4,74\cdot \frac{\mu}{\pi}=4,74\mu r$$
причем $\mu$ и $\pi$ выражены в секундах дуги (“), а расстояние $r$ до звезды — в парсеках.
$\mu$ – собственное движение звезды.
$$\mu=\frac{\upsilon_{\tau}}{4,74r}=\frac{20}{4,74\cdot10}=0,42$$
Если за год звезда смещается на 0,42” за год, то на 30’ – 1800” – она сместится за
$$t=\frac{D}{\mu}=\frac{1800}{0,42}=4266$$
Ответ: 4266 лет.
Задача 6. Определите модуль тангенциальной составляющей скорости звезды Канопус ($\alpha$ Киля), если её параллакс 0,01″, а собственное движение 0,02″/год.
$$\upsilon_{\tau}=4,74\cdot \frac{\mu}{\pi}=4,74\frac{0,02}{0,01}=9,48$$
Ответ: 9,48 км/с.
Задача 7. Вычислите пространственную скорость Альдебарана, если параллакс этой звезды 0,05”, собственное движение 0,2” в год, а лучевая скорость + 54 км/с.
Определим тангенциальную скорость:
$$\upsilon_{\tau}=4,74\cdot \frac{\mu}{\pi}=4,74\frac{0,2}{0,05}=18,96$$
Теперь, зная обе составляющие скорости, определим пространственную скорость:
$$\upsilon=\sqrt{\upsilon_{\tau}^2+\upsilon_l^2}=\sqrt{18,96^2+54^2}=57,23$$
Ответ: 57,23 км/c
Задача 8. У Альтаира ($\alpha$ Орла) годичный параллакс 0,198″, собственное движение 0,658″/год, лучевая скорость vr = – 26 км/с. Когда и на какое наименьшее расстояние Альтаир сблизится с Солнцем? Каким будет тогда его видимая звёздная величина, если сейчас она равна $+0,89^m$?
Определим тангенциальную скорость:
$$\upsilon_{\tau}=4,74\cdot \frac{\mu}{\pi}=4,74\frac{0,658}{0,198}=15,75$$
Теперь, зная обе составляющие скорости, определим пространственную скорость:
$$\upsilon=\sqrt{\upsilon_{\tau}^2+\upsilon_l^2}=\sqrt{15,75^2+26^2}=30,4$$
Расстояние до Альтаира
$$r=\frac{1}{\pi}=\frac{1}{0,198}=5,05$$
Так как тангенциальная скорость вдвое меньше пространственной, угол между этими векторами $60^{\circ}$. Наименьшим расстояние до звезды будет, когда этот угол станет равным нулю. Тогда расстояние до звезды станет равным
$$x=r\cos{60^{\circ}}=5,05\frac{1}{2}=2,5$$
Остается определить видимую звездную величину звезды к этому моменту:
$$M=m_1+5-5\lg r$$
$$M= m_2+5-5\lg x$$
$$m_2= m_1-5\lg r+5\lg x=m_1+5\lg\frac{x}{r}=0,89+5\lg\frac{2,5}{5,05}=-0,62$$
Ответ: $m=-0,62$.
Через недельку...
и за этот ответ спасибо. Теперь уж...
Огромное спасибо...
А почему я не вижу нормального текста ? Половина текст ,а другая половина символы ...
Ждем-с. Скоро...