Лучевая и тангенциальная скорости космических объектов

В этой статье собраны задачи из сборника задач для учеников 179 школы Москвы. В этой школе астрономию преподают на очень высоком уровне, представленные задачи в большинстве своем из олимпиад прошлых лет городского и регионального уровня.

Задача 1. а) Процион ( Малого Пса) – двойная звезда, у которой период обращения спутника около 39 лет, а большая полуось орбиты 13 а.е. Какова сумма масс компонентов этой системы ( в единицах массы Солнца)?

Массы Μ звезд обычно выражаются в массах Солнца ( ) и надежно определяются только для физических двойных звезд (с известным параллаксом ) по третьему обобщенному закону Кеплера: сумма масс компонентов двойной звезды

– период обращения, выраженный в годах (спутника вокруг главной звезды или двух звезд вокруг общего центра масс), – параллакс, – большая полуось орбиты звезды-спутника в а.е., – угловое значение большой полуоси.

Ответ:

б) Две звезды одинаковой массы движутся по круговым орбитам вокруг общего центра масс. Какова масса звёзд, если расстояние между ними 100 а.е., а период обращения системы – 1000 лет?

Ответ: .

Задача 2. а) Вычислите сумму масс двойной звезды  Центавра (годичный параллакс 0,76”) , если спутник,  находящийся на расстоянии 17,65” от главной звезды, имеет период обращения около 80 лет.

Ответ: .

б) На каком расстоянии от нас находится двойная звезда, оба компонента которой имеют массу, примерно равную массе Солнца, если период обращения  компонентов вокруг центра масс равен 125 годам, а большая полуось их взаимной орбиты видна с Земли под углом 0,25″?

Ответ: а.е.

Задача 3. а) В спектре звезды линия, соответствующая длине волны 550 нм, смещена к фиолетовому краю спектра на 0,055 нм. Определите лучевую скорость звезды. Приближается звезда или удаляется?

Лучевую скорость (проекция скорости на луч зрения наблюдателя) можно найти как

Ответ: 30 км/с.

б) Где на небе расположены звёзды, у которых доплеровское смещение спектральных линий, обусловленное обращением Земли вокруг Солнца, максимально? Чему оно равно для зелёных лучей?

Орбитальная скорость земли максимальна в перигелии и равна 30,27 км/с, поэтому, если звезда находится на линии, совпадающей с мгновенным направлением скорости земли в перигелии, то звезда для земного наблюдателя приближается к нему со скоростью 30,27 км/с.

Ответ: м, или 0,5 А.

Задача 4. Звезда, параллакс которой составляет 0,1”, приближается к нам со скоростью 100 км/с. На сколько процентов уменьшится расстояние до этой звезды за 100 лет?

Расстояние до звезды в парсеках равно

Определим расстояние до звезды в км: 10 пк это 32,6 св. лет, или км.

За сто лет звезда приблизится на км. Это расстояние составляет 0,1% от исходного.

Ответ: 0,1%.

Задача 5. Звезда, находясь на расстоянии 10 пк, имеет тангенциальную (перпендикулярную лучу зрения) скорость 20 км/с. За сколько лет она переместится по небу на угловой диаметр Луны ()?

Тангенциальная скорость звезды в километрах в секунду определяется по ее годичному параллаксу и собственному движению , т. е. по дуге, на которую смещается звезда на небе за 1 год:

причем и выражены в секундах дуги (“), а расстояние до звезды — в парсеках.

– собственное движение звезды.

Если за год звезда смещается на 0,42” за год, то на 30’ – 1800” – она сместится за

Ответ: 4266 лет.

Задача 6. Определите модуль тангенциальной составляющей скорости звезды Канопус ( Киля), если её параллакс 0,01″, а собственное движение 0,02″/год.

Ответ: 9,48 км/с.

Задача 7. Вычислите пространственную скорость Альдебарана, если параллакс этой звезды 0,05”, собственное движение 0,2” в год, а лучевая скорость + 54 км/с.

Определим тангенциальную скорость:

Теперь, зная обе составляющие скорости, определим пространственную скорость:

Ответ: 57,23 км/c

Задача 8. У Альтаира ( Орла) годичный параллакс 0,198″, собственное движение 0,658″/год, лучевая скорость v_r = – 26 км/с. Когда и на какое наименьшее расстояние Альтаир сблизится с Солнцем? Каким будет тогда его видимая звёздная величина, если сейчас она равна ?

Определим тангенциальную скорость:

Теперь, зная обе составляющие скорости, определим пространственную скорость:

Расстояние до Альтаира

Так как тангенциальная скорость вдвое меньше пространственной, угол между этими векторами . Наименьшим расстояние до звезды будет, когда этот угол станет равным нулю. Тогда расстояние до звезды станет равным

Остается определить видимую звездную величину звезды к этому моменту:

Ответ: .