Лучевая и тангенциальная скорости космических объектов

[latexpage]

В этой статье собраны задачи из сборника задач для учеников 179 школы Москвы. В этой школе астрономию преподают на очень высоком уровне, представленные задачи в большинстве своем из олимпиад прошлых лет городского и регионального уровня. Задачи подобраны Шатовской Натальей Евгеньевной, учителем школы 179 г. Москвы.

Задача 1. а) Процион ($\alpha$ Малого Пса) – двойная звезда, у которой период обращения спутника около 39 лет, а большая полуось орбиты 13 а.е. Какова сумма масс компонентов этой системы ( в единицах массы Солнца)?

Массы Μ звезд обычно выражаются в массах Солнца ( $M_{\odot} = 1$) и надежно определяются только для физических двойных звезд (с известным параллаксом $\pi$) по третьему обобщенному закону Кеплера: сумма масс компонентов двойной звезды

$$M_1+M_2=\frac{A^3}{T^2}=\frac{a^3}{\pi”^3T^2}$$

$T$ – период обращения, выраженный в годах (спутника вокруг главной звезды или двух звезд вокруг общего центра масс), $p$ – параллакс, $A$ – большая полуось орбиты звезды-спутника в а.е., $a$ – угловое значение большой полуоси.

$$M_1+M_2=\frac{A^3}{T^2}=\frac{13^3}{ 39^2}=1,4$$

Ответ: $1,4M_{\odot}$

б) Две звезды одинаковой массы движутся по круговым орбитам вокруг общего центра масс. Какова масса звёзд, если расстояние между ними 100 а.е., а период обращения системы – 1000 лет?

$$M_1+M_2=2M=\frac{A^3}{T^2}=\frac{100^3}{ 1000^2}=1$$

$$M=0,5 M_{\odot}$$

Ответ: $0,5M_{\odot}$.

Задача 2. а) Вычислите сумму масс двойной звезды $\alpha$  Центавра (годичный параллакс 0,76”) , если спутник,  находящийся на расстоянии 17,65” от главной звезды, имеет период обращения около 80 лет.

$$M_1+M_2=\frac{a^3}{\pi”^3T^2}=\frac{17,65^3}{ 0,76^3\cdot80^2}=1,96$$

$$M=1,96 M_{\odot}$$

Ответ: $1,96M_{\odot}$.

б) На каком расстоянии от нас находится двойная звезда, оба компонента которой имеют массу, примерно равную массе Солнца, если период обращения  компонентов вокруг центра масс равен 125 годам, а большая полуось их взаимной орбиты видна с Земли под углом 0,25″?

$$M_1+M_2=2M_{\odot}=\frac{A^3}{T^2}$$

$$A=\sqrt[3]{(M_1+M_2)T^2}=\sqrt[3]{2\cdot125^2}=31,5$$

$$r=\frac{1}{\pi’’}=\frac{A}{a}=\frac{31,5}{0,25}=126$$

Ответ: $126$ пк.

Задача 3. а) В спектре звезды линия, соответствующая длине волны 550 нм, смещена к фиолетовому краю спектра на 0,055 нм. Определите лучевую скорость звезды. Приближается звезда или удаляется?

Лучевую скорость (проекция скорости на луч зрения наблюдателя) можно найти как

$$\upsilon=\frac{\Delta \lambda}{\lambda} c=\frac{0,055}{550}\cdot3\cdot10^8=30000$$

Ответ: 30 км/с.

б) Где на небе расположены звёзды, у которых доплеровское смещение спектральных линий, обусловленное обращением Земли вокруг Солнца, максимально? Чему оно равно для зелёных лучей?

Орбитальная скорость земли максимальна в перигелии и равна 30,27 км/с, поэтому, если звезда находится на линии, совпадающей с мгновенным направлением скорости земли в перигелии, то звезда для земного наблюдателя приближается к нему со скоростью 30,27 км/с.

$$\frac{\Delta \lambda}{\lambda}=\frac{\upsilon}{c}=\frac{3\cdot10^4}{3\cdot10^8}=10^{-4}$$

$$\Delta \lambda=10^{-4}\cdot \lambda=10^{-4}\cdot5\cdot10^{-7}=5\cdot10^{-11}$$

Ответ: $\Delta \lambda=5\cdot10^{-11}$ м, или 0,5 А.

Задача 4. Звезда, параллакс которой составляет 0,1”, приближается к нам со скоростью 100 км/с. На сколько процентов уменьшится расстояние до этой звезды за 100 лет?

Расстояние до звезды в парсеках равно

$$r=\frac{1}{\pi’’}=10$$

Определим расстояние до звезды в км: 10 пк это 32,6 св. лет, или $3,1\cdot10^{14}$ км.

За сто лет звезда приблизится на $3,1\cdot10^{11}$ км. Это расстояние составляет 0,1% от исходного.

Ответ: 0,1%.

Задача 5. Звезда, находясь на расстоянии 10 пк, имеет тангенциальную (перпендикулярную лучу зрения) скорость 20 км/с. За сколько лет она переместится по небу на угловой диаметр Луны ($0,5^{\circ}$)?

Тангенциальная скорость $\upsilon_{\tau}$ звезды в километрах в секунду определяется по ее годичному параллаксу $\pi$ и собственному движению $\mu$, т. е. по дуге, на которую смещается звезда на небе за 1 год:

$$\upsilon_{\tau}=4,74\cdot \frac{\mu}{\pi}=4,74\mu r$$

причем $\mu$ и $\pi$ выражены в секундах дуги (“), а расстояние $r$ до звезды — в парсеках.

$\mu$ – собственное движение звезды.

$$\mu=\frac{\upsilon_{\tau}}{4,74r}=\frac{20}{4,74\cdot10}=0,42$$

Если за год звезда смещается на 0,42” за год, то на 30’ – 1800” – она сместится за

$$t=\frac{D}{\mu}=\frac{1800}{0,42}=4266$$

Ответ: 4266 лет.

Задача 6. Определите модуль тангенциальной составляющей скорости звезды Канопус ($\alpha$ Киля), если её параллакс 0,01″, а собственное движение 0,02″/год.

$$\upsilon_{\tau}=4,74\cdot \frac{\mu}{\pi}=4,74\frac{0,02}{0,01}=9,48$$

Ответ: 9,48 км/с.

Задача 7. Вычислите пространственную скорость Альдебарана, если параллакс этой звезды 0,05”, собственное движение 0,2” в год, а лучевая скорость + 54 км/с.

Определим тангенциальную скорость:

$$\upsilon_{\tau}=4,74\cdot \frac{\mu}{\pi}=4,74\frac{0,2}{0,05}=18,96$$

Теперь, зная обе составляющие скорости, определим пространственную скорость:

$$\upsilon=\sqrt{\upsilon_{\tau}^2+\upsilon_l^2}=\sqrt{18,96^2+54^2}=57,23$$

Ответ: 57,23 км/c

Задача 8. У Альтаира ($\alpha$ Орла) годичный параллакс 0,198″, собственное движение 0,658″/год, лучевая скорость v_r = – 26 км/с. Когда и на какое наименьшее расстояние Альтаир сблизится с Солнцем? Каким будет тогда его видимая звёздная величина, если сейчас она равна $+0,89^m$?

Определим тангенциальную скорость:

$$\upsilon_{\tau}=4,74\cdot \frac{\mu}{\pi}=4,74\frac{0,658}{0,198}=15,75$$

Теперь, зная обе составляющие скорости, определим пространственную скорость:

$$\upsilon=\sqrt{\upsilon_{\tau}^2+\upsilon_l^2}=\sqrt{15,75^2+26^2}=30,4$$

Расстояние до Альтаира

$$r=\frac{1}{\pi}=\frac{1}{0,198}=5,05$$

Так как тангенциальная скорость вдвое меньше пространственной, угол между этими векторами $60^{\circ}$. Наименьшим расстояние до звезды будет, когда этот угол станет равным нулю. Тогда расстояние до звезды станет равным

$$x=r\cos{60^{\circ}}=5,05\frac{1}{2}=2,5$$

Остается определить видимую звездную величину звезды к этому моменту:

$$M=m_1+5-5\lg r$$

$$M= m_2+5-5\lg x$$

$$m_2= m_1-5\lg r+5\lg x=m_1+5\lg\frac{x}{r}=0,89+5\lg\frac{2,5}{5,05}=-0,62$$

Ответ: $m=-0,62$.