Логарифмическое тригонометрическое уравнение

[latexpage]

Решим интересное уравнение. Оно логарифмическое, но оно –  тригонометрическое!

Задача. Решить уравнение.

$$\log_{\cos 2x-\sin 2x} (1-\cos x-\sin x)=1$$

Уравнение равносильно системе

$$\begin{Bmatrix}{ \cos 2x-\sin 2x >0}\\{ \cos 2x-\sin 2x \neq 1}\\{\cos 2x-\sin 2x =1-\cos x-\sin x }\end{matrix}$$

$$\cos^2x-\sin^2x-2\sin x\cos x =\cos^2x+\sin^2x -\cos x-\sin x$$

$$2\sin^2x+2\sin x\cos x-\cos x-\sin x=0$$

$$2\sin x(\sin x + \cos x)-(\cos x+\sin x)=0$$

$$(2\sin x-1)(\sin x + \cos x)=0$$

Уравнение распадается на два, или:

$$2\sin x-1=0$$

$$\sin x=\frac{1}{2}$$

$$x=\frac{\pi}{6}+2 \pi n, n \in Z$$

$$x=\frac{5\pi}{6}+2 \pi n, n \in Z$$

Или:

$$\sin x + \cos x=0$$

$$\operatorname{tg} x=-1$$

$$x=-\frac{\pi}{4}+2 \pi n, n \in Z$$

Рассмотрим полученные корни.

При  $x=-\frac{\pi}{4}+2 \pi n, n \in Z$

$$\cos 2x-\sin 2x=\cos(-\frac{\pi}{2}+2\pi n)-\sin(-\frac{\pi}{2}+2\pi n)=0+1=1$$

У нас условие $\cos 2x-\sin 2x \neq 1$ – поэтому данный корень долой.

При  $x=\frac{\pi}{6}+2 \pi n, n \in Z$

$$\cos 2x-\sin 2x=\cos(\frac{\pi}{3}+4\pi n)-\sin(\frac{\pi}{3}+4\pi n)=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}<0$$

У нас условие $\cos 2x-\sin 2x >0$ – поэтому данный корень тоже долой.

При  $x=\frac{5\pi}{6}+2 \pi n, n \in Z$

$$\cos 2x-\sin 2x=\cos(\frac{5\pi}{3}+4\pi n)-\sin(\frac{5\pi}{3}+4\pi n)=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}>0$$

У нас условие $\cos 2x-\sin 2x >0$ – поэтому данный корень подошел.

Ответ: $x=\frac{5\pi}{6}+2 \pi n, n \in Z$