[latexpage]
Решим интересное уравнение. Оно логарифмическое, но оно – тригонометрическое!
Задача. Решить уравнение.
$$\log_{\cos 2x-\sin 2x} (1-\cos x-\sin x)=1$$
Уравнение равносильно системе
$$\begin{Bmatrix}{ \cos 2x-\sin 2x >0}\\{ \cos 2x-\sin 2x \neq 1}\\{\cos 2x-\sin 2x =1-\cos x-\sin x }\end{matrix}$$
$$\cos^2x-\sin^2x-2\sin x\cos x =\cos^2x+\sin^2x -\cos x-\sin x$$
$$2\sin^2x+2\sin x\cos x-\cos x-\sin x=0$$
$$2\sin x(\sin x + \cos x)-(\cos x+\sin x)=0$$
$$(2\sin x-1)(\sin x + \cos x)=0$$
Уравнение распадается на два, или:
$$2\sin x-1=0$$
$$\sin x=\frac{1}{2}$$
$$x=\frac{\pi}{6}+2 \pi n, n \in Z$$
$$x=\frac{5\pi}{6}+2 \pi n, n \in Z$$
Или:
$$\sin x + \cos x=0$$
$$\operatorname{tg} x=-1$$
$$x=-\frac{\pi}{4}+2 \pi n, n \in Z$$
Рассмотрим полученные корни.
При $x=-\frac{\pi}{4}+2 \pi n, n \in Z$
$$\cos 2x-\sin 2x=\cos(-\frac{\pi}{2}+2\pi n)-\sin(-\frac{\pi}{2}+2\pi n)=0+1=1$$
У нас условие $\cos 2x-\sin 2x \neq 1$ – поэтому данный корень долой.
При $x=\frac{\pi}{6}+2 \pi n, n \in Z$
$$\cos 2x-\sin 2x=\cos(\frac{\pi}{3}+4\pi n)-\sin(\frac{\pi}{3}+4\pi n)=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}<0$$
У нас условие $\cos 2x-\sin 2x >0$ – поэтому данный корень тоже долой.
При $x=\frac{5\pi}{6}+2 \pi n, n \in Z$
$$\cos 2x-\sin 2x=\cos(\frac{5\pi}{3}+4\pi n)-\sin(\frac{5\pi}{3}+4\pi n)=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}>0$$
У нас условие $\cos 2x-\sin 2x >0$ – поэтому данный корень подошел.
Ответ: $x=\frac{5\pi}{6}+2 \pi n, n \in Z$
Ждем-с. Скоро...
Скоро сайт заработает нормально. Сама жду-не...
Спасибо за раздел "Олимпиадная физика". Ваш сайт-лучший сайт на эту...
Пример 2. При х=2.5,...
Уважаемая Анна Валерьевна! Можно еще раз спросить Вас, почему формулы в Ваших...