Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Уравнения (13 (С1))

Логарифмическое тригонометрическое уравнение

Решим интересное уравнение. Оно логарифмическое, но оно –  тригонометрическое!

Задача. Решить уравнение.

    \[\log_{\cos 2x-\sin 2x} (1-\cos x-\sin x)=1\]

Уравнение равносильно системе

    \[\begin{Bmatrix}{ \cos 2x-\sin 2x >0}\\{ \cos 2x-\sin 2x \neq 1}\\{\cos 2x-\sin 2x =1-\cos x-\sin x }\end{matrix}\]

 

    \[\cos^2x-\sin^2x-2\sin x\cos x =\cos^2x+\sin^2x -\cos x-\sin x\]

    \[2\sin^2x+2\sin x\cos x-\cos x-\sin x=0\]

    \[2\sin x(\sin x + \cos x)-(\cos x+\sin x)=0\]

    \[(2\sin x-1)(\sin x + \cos x)=0\]

Уравнение распадается на два, или:

    \[2\sin x-1=0\]

    \[\sin x=\frac{1}{2}\]

    \[x=\frac{\pi}{6}+2 \pi n, n \in Z\]

    \[x=\frac{5\pi}{6}+2 \pi n, n \in Z\]

Или:

    \[\sin x + \cos x=0\]

    \[\operatorname{tg} x=-1\]

    \[x=-\frac{\pi}{4}+2 \pi n, n \in Z\]

Рассмотрим полученные корни.

При  x=-\frac{\pi}{4}+2 \pi n, n \in Z

    \[\cos 2x-\sin 2x=\cos(-\frac{\pi}{2}+2\pi n)-\sin(-\frac{\pi}{2}+2\pi n)=0+1=1\]

У нас условие \cos 2x-\sin 2x \neq 1 – поэтому данный корень долой.

 

При  x=\frac{\pi}{6}+2 \pi n, n \in Z

    \[\cos 2x-\sin 2x=\cos(\frac{\pi}{3}+4\pi n)-\sin(\frac{\pi}{3}+4\pi n)=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}<0\]

У нас условие \cos 2x-\sin 2x >0 – поэтому данный корень тоже долой.

При  x=\frac{5\pi}{6}+2 \pi n, n \in Z

    \[\cos 2x-\sin 2x=\cos(\frac{5\pi}{3}+4\pi n)-\sin(\frac{5\pi}{3}+4\pi n)=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}>0\]

У нас условие \cos 2x-\sin 2x >0 – поэтому данный корень подошел.

Ответ: x=\frac{5\pi}{6}+2 \pi n, n \in Z

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *