Логарифмическое тригонометрическое уравнение

Решим интересное уравнение. Оно логарифмическое, но оно – тригонометрическое!

Задача. Решить уравнение.

$\log_{\cos 2x-\sin 2x} (1-\cos x-\sin x)=1$

Уравнение равносильно системе

$\begin{Bmatrix}{ \cos 2x-\sin 2x >0}\\{ \cos 2x-\sin 2x \neq 1}\\{\cos 2x-\sin 2x =1-\cos x-\sin x }\end{matrix}$

$\cos^2x-\sin^2x-2\sin x\cos x =\cos^2x+\sin^2x -\cos x-\sin x$

$2\sin^2x+2\sin x\cos x-\cos x-\sin x=0$

$2\sin x(\sin x + \cos x)-(\cos x+\sin x)=0$

$(2\sin x-1)(\sin x + \cos x)=0$

Уравнение распадается на два, или:

$2\sin x-1=0$

$\sin x=\frac{1}{2}$

$x=\frac{\pi}{6}+2 \pi n, n \in Z$

$x=\frac{5\pi}{6}+2 \pi n, n \in Z$

Или:

$\sin x + \cos x=0$

$\operatorname{tg} x=-1$

$x=-\frac{\pi}{4}+2 \pi n, n \in Z$

Рассмотрим полученные корни.

При $x=-\frac{\pi}{4}+2 \pi n, n \in Z$

$\cos 2x-\sin 2x=\cos(-\frac{\pi}{2}+2\pi n)-\sin(-\frac{\pi}{2}+2\pi n)=0+1=1$

У нас условие $\cos 2x-\sin 2x \neq 1$ – поэтому данный корень долой.

При $x=\frac{\pi}{6}+2 \pi n, n \in Z$

$\cos 2x-\sin 2x=\cos(\frac{\pi}{3}+4\pi n)-\sin(\frac{\pi}{3}+4\pi n)=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}<0$

У нас условие $\cos 2x-\sin 2x >0$ – поэтому данный корень тоже долой.

При $x=\frac{5\pi}{6}+2 \pi n, n \in Z$

$\cos 2x-\sin 2x=\cos(\frac{5\pi}{3}+4\pi n)-\sin(\frac{5\pi}{3}+4\pi n)=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}>0$

У нас условие $\cos 2x-\sin 2x >0$ – поэтому данный корень подошел.

Ответ: $x=\frac{5\pi}{6}+2 \pi n, n \in Z$

Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Вс
« Окт
						1
2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15
16	17	18	19	20	21	22
23	24	25	26	27	28	29
30

Логарифмическое тригонометрическое уравнение

Для вас другие записи этой рубрики:

Добавить комментарий Отменить ответ

Поиск

ПОСЛЕДНИЕ КОММЕНТАРИИ

Рекомендую

Рубрики

Профи.ру

Лучший хостинг в мире!

Последние записи

Облако меток

Подписка

Введите Ваши данные:

Архивы