Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Неравенства (15 (С3))

Логарифмическое неравенство с трудно различимой лазейкой

Неравенство очень интересное, довольно сложное, и с небольшим подвохом. А может, и не подвохом, а «запасным выходом». Потому как, если при решении вы «залезли в дебри», все сложно, дискриминанты не находятся или из них корни не извлекаются, то, возможно, есть лазейка, которую не видно «невооруженным глазом», и неравенство придется «препарировать», чтобы ее отыскать.

Задача. Решите неравенство:

    \[\frac{\log_{2x-1}^2 (9x^2-12x+4)-10\log_{2x-1} (3x-2)+18}{3\log_{2x-1} (6x^2-7x+2)-2} \leqslant 2\]

Сразу хочется разложить трехчлены на множители:

    \[9x^2-12x+4=0\]

    \[D=0\]

    \[9x^2-12x+4=(3x-2)^2\]

И

    \[6x^2-7x+2=0\]

    \[D=1\]

    \[6x^2-7x+2=6(x-\frac{2}{3})(x-\frac{1}{2})=(2x-1)(3x-2)\]

Неравенство приобретает вид:

    \[\frac{\log_{2x-1}^2 (3x-2)^2-10\log_{2x-1} (3x-2)+18}{3\log_{2x-1} (2x-1)(3x-2)-2} \leqslant 2\]

Можно переписать так:

    \[\frac{\log_{2x-1}^2 (3x-2)^2-10\log_{2x-1} (3x-2)+18}{3\log_{2x-1} (2x-1)+ 3\log_{2x-1} (3x-2)-2} \leqslant 2\]

    \[\frac{\log_{2x-1}^2 (3x-2)^2-10\log_{2x-1} (3x-2)+18}{3+ 3\log_{2x-1} (3x-2)-2} \leqslant 2\]

    \[\frac{\log_{2x-1}^2 (3x-2)^2-10\log_{2x-1} (3x-2)+18}{1+ 3\log_{2x-1} (3x-2)} \leqslant 2\]

Уже видна замена, но не торопитесь. Если сейчас произвести замену, то вот что произойдет:

    \[\frac{(2\log_{2x-1} (3x-2))^2-10\log_{2x-1} (3x-2)+18}{1+ 3\log_{2x-1} (3x-2)} \leqslant 2\]

    \[t=\log_{2x-1} (3x-2)\]

    \[\frac{4t^2-10t+18}{1+ 3t} \leqslant 2\]

    \[\frac{4t^2-10t+18-2(1+3t)}{1+ 3t} \leqslant 0\]

    \[\frac{4t^2-16t+16)}{1+ 3t} \leqslant 0\]

    \[\frac{t^2-4t+4)}{1+ 3t} \leqslant 0\]

    \[\frac{(t-2)^2}{1+ 3t} \leqslant 0\]

Дальше выплывет t<-\frac{1}{3}, обратная замена даст

    \[\log_{2x-1} (3x-2)<-\frac{1}{3}\]

И… все. Здравствуйте, дебри. Когда так случается, нужно искать «боковой ход», есть что-то такое, какая-то дверца, которую мы сразу не увидели. Давайте «прощупаем» логарифм \log_{2x-1} (3x-2).

Просто возьмем несколько значений x из допустимых и посчитаем, каково подлогарифмическое выражение и основание логарифма.

При x=1,5 2x-1=2, а 3x-2=2,5.

При x=2 2x-1=3, а 3x-2=4.

При x=2,5 2x-1=4, а 3x-2=5,5.

А логарифм-то всегда положителен! Кстати, особо внимательные могут заметить, что выражения 2x-1 и 3x-2 равны при x=1. И их значения всегда по одну сторону от 1.

Короче, на положительный знаменатель можно домножить без вреда для знака неравенства. И получить

    \[t=\log_{2x-1} (3x-2)\]

    \[4t^2-10t+18 \leqslant 2(1+ 3t)\]

    \[4t^2-10t+18-2(1+3t) \leqslant 0\]

    \[4t^2-16t+16\leqslant 0\]

    \[( t-2)^2\leqslant 0\]

То есть может выполняться только равенство

    \[t-2=0\]

Обратная замена даст

    \[\log_{2x-1} (3x-2)=2\]

    \[(2x-1)^2=3x-2\]

    \[4x^2-4x+1=3x-2\]

    \[4x^2-7x+3=0\]

Корни 1 и 0,75.

По ограничениям имеем

    \[2x-1>0\]

    \[x>\frac{1}{2}\]

И

    \[2x-1\neq 1\]

    \[2x\neq 2\]

    \[x\neq 1\]

Последнее исключает точку 1 из решения.

По остальным логарифмам ограничения

    \[3x-2>0\]

    \[x>\frac{2}{3}\]

И

    \[6x^2-7x+2>0\]

То есть тоже x>\frac{2}{3}.

Одно из решений, полученных нами, удовлетворяет ограничениям.

Ответ: 0,75

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *