Логарифмическое неравенство с трудно различимой лазейкой

Неравенство очень интересное, довольно сложное, и с небольшим подвохом. А может, и не подвохом, а «запасным выходом». Потому как, если при решении вы «залезли в дебри», все сложно, дискриминанты не находятся или из них корни не извлекаются, то, возможно, есть лазейка, которую не видно «невооруженным глазом», и неравенство придется «препарировать», чтобы ее отыскать.

Задача. Решите неравенство:

$\frac{\log_{2x-1}^2 (9x^2-12x+4)-10\log_{2x-1} (3x-2)+18}{3\log_{2x-1} (6x^2-7x+2)-2} \leqslant 2$

Сразу хочется разложить трехчлены на множители:

$9x^2-12x+4=0$

$D=0$

$9x^2-12x+4=(3x-2)^2$

$6x^2-7x+2=0$

$D=1$

$6x^2-7x+2=6(x-\frac{2}{3})(x-\frac{1}{2})=(2x-1)(3x-2)$

Неравенство приобретает вид:

$\frac{\log_{2x-1}^2 (3x-2)^2-10\log_{2x-1} (3x-2)+18}{3\log_{2x-1} (2x-1)(3x-2)-2} \leqslant 2$

Можно переписать так:

$\frac{\log_{2x-1}^2 (3x-2)^2-10\log_{2x-1} (3x-2)+18}{3\log_{2x-1} (2x-1)+ 3\log_{2x-1} (3x-2)-2} \leqslant 2$

$\frac{\log_{2x-1}^2 (3x-2)^2-10\log_{2x-1} (3x-2)+18}{3+ 3\log_{2x-1} (3x-2)-2} \leqslant 2$

$\frac{\log_{2x-1}^2 (3x-2)^2-10\log_{2x-1} (3x-2)+18}{1+ 3\log_{2x-1} (3x-2)} \leqslant 2$

Уже видна замена, но не торопитесь. Если сейчас произвести замену, то вот что произойдет:

$\frac{(2\log_{2x-1} (3x-2))^2-10\log_{2x-1} (3x-2)+18}{1+ 3\log_{2x-1} (3x-2)} \leqslant 2$

$t=\log_{2x-1} (3x-2)$

$\frac{4t^2-10t+18}{1+ 3t} \leqslant 2$

$\frac{4t^2-10t+18-2(1+3t)}{1+ 3t} \leqslant 0$

$\frac{4t^2-16t+16)}{1+ 3t} \leqslant 0$

$\frac{t^2-4t+4)}{1+ 3t} \leqslant 0$

$\frac{(t-2)^2}{1+ 3t} \leqslant 0$

Дальше выплывет $t<-\frac{1}{3}$ , обратная замена даст

$\log_{2x-1} (3x-2)<-\frac{1}{3}$

И… все. Здравствуйте, дебри. Когда так случается, нужно искать «боковой ход», есть что-то такое, какая-то дверца, которую мы сразу не увидели. Давайте «прощупаем» логарифм $\log_{2x-1} (3x-2)$ .

Просто возьмем несколько значений $x$ из допустимых и посчитаем, каково подлогарифмическое выражение и основание логарифма.

При $x=1,5$ $2x-1=2$ , а $3x-2=2,5$ .

При $x=2$ $2x-1=3$ , а $3x-2=4$ .

При $x=2,5$ $2x-1=4$ , а $3x-2=5,5$ .

А логарифм-то всегда положителен! Кстати, особо внимательные могут заметить, что выражения $2x-1$ и $3x-2$ равны при $x=1$ . И их значения всегда по одну сторону от 1.