Логарифмические уравнения

[latexpage]

 

1.Решить уравнение:

$$2\log_8 2^{4x}=2^{\log_{\sqrt{2}} 2}$$

Решение: справа вполне можно получить число, применив простые приемы:

$$2\log_8 2^{4x}=2^{2\log_2 2}$$

$$2\log_8 2^{4x}=2^2$$

$$\log_8 2^{4x}=2$$

Превращаем двойку справа в логарифм:

$$\log_8 2^{4x}=\log_8 64$$

Приравниваем подлогарифмические выражения:

$$2^{4x}=64$$

$$2^{4x}=2^6$$

$$4x=6$$

$$x=1,5$$

Проверяем, подходит ли полученный корень по ОДЗ: да, вполне.

Ответ: $x=1,5$

 

2.Решить уравнение:

$$10^{\lg_(\lg {\sqrt{x}})}-\lg x+\lg x^2 – 3=0$$

ОДЗ: $x>0$

Решение:

$$\lg {\sqrt{x}}-\lg x+2\lg x – 3=0$$

$$\frac{1}{2}\lg x-\lg x+2\lg x – 3=0$$

$$1\frac{1}{2}\lg x= 3$$

$$\lg x= 2$$

$$x= 100$$

Корень положительный, полностью удовлетворяет ОДЗ – подлогарифмические выражения положительные.

Ответ: $x= 100$

 

3.Решить уравнение:

$$\log_5 {\frac{x+1}{10}}=\log_5 {\frac{2}{x}}$$

ОДЗ:

$$\begin{Bmatrix}{\frac{x+1}{10}>0}\\{\frac{2}{x}>0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{x+1>0}\\{x>0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{x>-1}\\{x>0}\end{matrix}$$

То есть нам подойдут только положительные корни.

Переходим к сравнению подлогарифмических выражений:

$$\frac{x+1}{10}=\frac{2}{x}$$

$$\frac{x(x+1)-20}{10x}=0$$

$$x(x+1)-20=0$$

$$x^2+x-20=0$$

По Виету: $x_1=4, x_2=-5$

Отрицательный корень – не подходит по ОДЗ. Поэтому ответ: $x=4$

 

4.Решить уравнение:

$$\log_3 (x-1)+\log_3 (x+1)=1$$

ОДЗ:

$$\begin{Bmatrix}{x+1>0}\\{x-1>0}\end{matrix}$$

Решение будет (ОДЗ): $x>1$

Сумма логарифмов есть логарифм произведения:

$$\log_3 (x-1)(x+1)=1$$

Справа нужен тоже логарифм:

$$\log_3 (x^2-1)=\log_3 3$$

Переходим к подлогарифмическим выражениям:

$$x^2-1=3$$

$$x^2=4$$

Решений два, но мы возьмем только положительный корень, удовлетворяющий ОДЗ: $x=2$

 

5.Решить уравнение:

$$2\log_4 (4+x)=4-\log_2 (x-2)$$

ОДЗ:

$$\begin{Bmatrix}{x-2>0}\\{4+x>0}\end{matrix}$$

Решение будет (ОДЗ): $x>2$

Решение неравенства:

$$2\log_{2^2} (4+x)+ \log_2 (x-2)=4$$

$$2 \cdot{\frac{1}{2}}\log_2 (4+x)+ \log_2 (x-2)=4$$

$$\log_2 (4+x)(x-2)=\ log_2 16$$

Переходим к подлогарифмическим выражениям:

$$(4+x)(x-2)= 16$$

$$x^2+2x-24=0$$

По Виету: $x_1=4, x_2=-6$ – второй корень не пройдет по ОДЗ.

Ответ: $x=4$

 

6.Решить уравнение:

$$\log_3 (x^2-4)=4\log_9 (2x+3)-\log_{\sqrt{5}} 5$$

ОДЗ:

$$\begin{Bmatrix}{x^2-4>0}\\{2x+3>0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{(x+2)(x-2)>0}\\{x>-1,5}\end{matrix}$$

ОДЗ: $x>2$

Решение:

$$\log_3 (x^2-4)=4\log_9 (2x+3)-2\log_5 5$$

$$\log_3 (x^2-4)=2\log_3 (2x+3)-2$$

$$\log_3 (x^2-4)-\log_3 (2x+3)^2=-\log_3 9$$

$$\log_3 {\frac{x^2-4}{(2x+3)^2}=-\log_3 9$$

$$\frac{x^2-4}{(2x+3)^2}=\frac{1}{9}$$

$$\frac{(x^2-4)9-(2x+3)^2}{9(2x+3)^2}=0$$

$$\frac{9x^2-36-(4x^2+12x+9)}{9(2x+3)^2}=0$$

$$\frac{5x^2-12x-45}{9(2x+3)^2}=0$$

$$5x^2-12x-45=0$$

$$D=144-4 \cdot5\cdot(-45)=144+900=1044=(6\sqrt{29})^2$$

Корни: $x_1=\frac{12+6\sqrt{29}}{10}$, $x_2=\frac{12-6\sqrt{29}}{10}$.

Или $x_1=\frac{6+3\sqrt{29}}{5}$, $x_2=\frac{6-3\sqrt{29}}{5}$.

Из этих корней второй – отрицательный, а первый точно больше 2, поэтому по ОДЗ годится только он.

Ответ: $x_1=\frac{6+3\sqrt{29}}{5}$.

 

7.Решить уравнение:

$$2\log_8 (2x)+\log_8 (x^2+1-2x)=\frac{3}{4}$$

ОДЗ:

$$\begin{Bmatrix}{x>0}\\{ x^2+1-2x>0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{ x>0}\\{(x-1)^2>0}\end{matrix}$$

ОДЗ: $x>0$, $x\neq 1$.

Решение:

$$\log_8 (4x^2)+\log_8 (x^2+1-2x)=\log_8 8^{\frac{3}{4}}$$

$$\log_8 (4x^2)(x-1)^2=\log_8 16$$

$$(4x^2)(x-1)^2- 16=0$$

$$(2x(x-1)- 4)( 2x(x-1)+ 4)=0$$

$$(2x^2-2x- 4)( 2x^2-2x+ 4)=0$$

Уравнение распадается: $2x^2-2x- 4=0$ и $2x^2-2x+4=0$

Решения первого: так как $b=a+c$, то $x_1=-1, x_2=2$ – по ОДЗ проходит второй корень. Уравнение $2x^2-2x+4=0$ корней не имеет – его дискриминант отрицательный.

Ответ: $x=2$.

 

8.Решить уравнение:

$$\log_{1-x} (x^2-x-6)^2=4$$

ОДЗ:

$$\begin{Bmatrix}{1-x>0}\\{1-x \neq 1}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{ x<1}\\{x \neq 0}\end{matrix}$$

Решение:

$$2\log_{1-x} {\left|x^2-x-6\right|}=4$$

$$\log_{1-x} {\left|x^2-x-6\right|}=2$$

$$(1-x)^2=\left|x^2-x-6\right|$$

Снимаем модуль. Если $ x^2-x-6>0$, то

$$(1-x)^2=x^2-x-6$$

$$1-2x+x^2=x^2-x-6$$

$$x=7$$

Это решение не подходит по ОДЗ, тогда, если $ x^2-x-6<0$, то

$$(1-x)^2=-x^2+x+6$$

$$1-2x+x^2=-x^2+x+6$$

$$2x^2-3x-5=0$$

Так как $b=a+c$, то $x_1=-1, x_2=2,5$ – по ОДЗ проходит только первый корень.

Ответ: $x_1=-1$