[latexpage]
1.Решить уравнение:
$$2\log_8 2^{4x}=2^{\log_{\sqrt{2}} 2}$$
Решение: справа вполне можно получить число, применив простые приемы:
$$2\log_8 2^{4x}=2^{2\log_2 2}$$
$$2\log_8 2^{4x}=2^2$$
$$\log_8 2^{4x}=2$$
Превращаем двойку справа в логарифм:
$$\log_8 2^{4x}=\log_8 64$$
Приравниваем подлогарифмические выражения:
$$2^{4x}=64$$
$$2^{4x}=2^6$$
$$4x=6$$
$$x=1,5$$
Проверяем, подходит ли полученный корень по ОДЗ: да, вполне.
Ответ: $x=1,5$
2.Решить уравнение:
$$10^{\lg_(\lg {\sqrt{x}})}-\lg x+\lg x^2 – 3=0$$
ОДЗ: $x>0$
Решение:
$$\lg {\sqrt{x}}-\lg x+2\lg x – 3=0$$
$$\frac{1}{2}\lg x-\lg x+2\lg x – 3=0$$
$$1\frac{1}{2}\lg x= 3$$
$$\lg x= 2$$
$$x= 100$$
Корень положительный, полностью удовлетворяет ОДЗ – подлогарифмические выражения положительные.
Ответ: $x= 100$
3.Решить уравнение:
$$\log_5 {\frac{x+1}{10}}=\log_5 {\frac{2}{x}}$$
ОДЗ:
$$\begin{Bmatrix}{\frac{x+1}{10}>0}\\{\frac{2}{x}>0}\end{matrix}$$
$$\begin{Bmatrix}{x+1>0}\\{x>0}\end{matrix}$$
$$\begin{Bmatrix}{x>-1}\\{x>0}\end{matrix}$$
То есть нам подойдут только положительные корни.
Переходим к сравнению подлогарифмических выражений:
$$\frac{x+1}{10}=\frac{2}{x}$$
$$\frac{x(x+1)-20}{10x}=0$$
$$x(x+1)-20=0$$
$$x^2+x-20=0$$
По Виету: $x_1=4, x_2=-5$
Отрицательный корень – не подходит по ОДЗ. Поэтому ответ: $x=4$
4.Решить уравнение:
$$\log_3 (x-1)+\log_3 (x+1)=1$$
ОДЗ:
$$\begin{Bmatrix}{x+1>0}\\{x-1>0}\end{matrix}$$
Решение будет (ОДЗ): $x>1$
Сумма логарифмов есть логарифм произведения:
$$\log_3 (x-1)(x+1)=1$$
Справа нужен тоже логарифм:
$$\log_3 (x^2-1)=\log_3 3$$
Переходим к подлогарифмическим выражениям:
$$x^2-1=3$$
$$x^2=4$$
Решений два, но мы возьмем только положительный корень, удовлетворяющий ОДЗ: $x=2$
5.Решить уравнение:
$$2\log_4 (4+x)=4-\log_2 (x-2)$$
ОДЗ:
$$\begin{Bmatrix}{x-2>0}\\{4+x>0}\end{matrix}$$
Решение будет (ОДЗ): $x>2$
Решение неравенства:
$$2\log_{2^2} (4+x)+ \log_2 (x-2)=4$$
$$2 \cdot{\frac{1}{2}}\log_2 (4+x)+ \log_2 (x-2)=4$$
$$\log_2 (4+x)(x-2)=\ log_2 16$$
Переходим к подлогарифмическим выражениям:
$$(4+x)(x-2)= 16$$
$$x^2+2x-24=0$$
По Виету: $x_1=4, x_2=-6$ – второй корень не пройдет по ОДЗ.
Ответ: $x=4$
6.Решить уравнение:
$$\log_3 (x^2-4)=4\log_9 (2x+3)-\log_{\sqrt{5}} 5$$
ОДЗ:
$$\begin{Bmatrix}{x^2-4>0}\\{2x+3>0}\end{matrix}$$
$$\begin{Bmatrix}{(x+2)(x-2)>0}\\{x>-1,5}\end{matrix}$$
ОДЗ: $x>2$
Решение:
$$\log_3 (x^2-4)=4\log_9 (2x+3)-2\log_5 5$$
$$\log_3 (x^2-4)=2\log_3 (2x+3)-2$$
$$\log_3 (x^2-4)-\log_3 (2x+3)^2=-\log_3 9$$
$$\log_3 {\frac{x^2-4}{(2x+3)^2}=-\log_3 9$$
$$\frac{x^2-4}{(2x+3)^2}=\frac{1}{9}$$
$$\frac{(x^2-4)9-(2x+3)^2}{9(2x+3)^2}=0$$
$$\frac{9x^2-36-(4x^2+12x+9)}{9(2x+3)^2}=0$$
$$\frac{5x^2-12x-45}{9(2x+3)^2}=0$$
$$5x^2-12x-45=0$$
$$D=144-4 \cdot5\cdot(-45)=144+900=1044=(6\sqrt{29})^2$$
Корни: $x_1=\frac{12+6\sqrt{29}}{10}$, $x_2=\frac{12-6\sqrt{29}}{10}$.
Или $x_1=\frac{6+3\sqrt{29}}{5}$, $x_2=\frac{6-3\sqrt{29}}{5}$.
Из этих корней второй – отрицательный, а первый точно больше 2, поэтому по ОДЗ годится только он.
Ответ: $x_1=\frac{6+3\sqrt{29}}{5}$.
7.Решить уравнение:
$$2\log_8 (2x)+\log_8 (x^2+1-2x)=\frac{3}{4}$$
ОДЗ:
$$\begin{Bmatrix}{x>0}\\{ x^2+1-2x>0}\end{matrix}$$
$$\begin{Bmatrix}{ x>0}\\{(x-1)^2>0}\end{matrix}$$
ОДЗ: $x>0$, $x\neq 1$.
Решение:
$$\log_8 (4x^2)+\log_8 (x^2+1-2x)=\log_8 8^{\frac{3}{4}}$$
$$\log_8 (4x^2)(x-1)^2=\log_8 16$$
$$(4x^2)(x-1)^2- 16=0$$
$$(2x(x-1)- 4)( 2x(x-1)+ 4)=0$$
$$(2x^2-2x- 4)( 2x^2-2x+ 4)=0$$
Уравнение распадается: $2x^2-2x- 4=0$ и $2x^2-2x+4=0$
Решения первого: так как $b=a+c$, то $x_1=-1, x_2=2$ – по ОДЗ проходит второй корень. Уравнение $2x^2-2x+4=0$ корней не имеет – его дискриминант отрицательный.
Ответ: $x=2$.
8.Решить уравнение:
$$\log_{1-x} (x^2-x-6)^2=4$$
ОДЗ:
$$\begin{Bmatrix}{1-x>0}\\{1-x \neq 1}\end{matrix}$$
$$\begin{Bmatrix}{ x<1}\\{x \neq 0}\end{matrix}$$
Решение:
$$2\log_{1-x} {\left|x^2-x-6\right|}=4$$
$$\log_{1-x} {\left|x^2-x-6\right|}=2$$
$$(1-x)^2=\left|x^2-x-6\right|$$
Снимаем модуль. Если $ x^2-x-6>0$, то
$$(1-x)^2=x^2-x-6$$
$$1-2x+x^2=x^2-x-6$$
$$x=7$$
Это решение не подходит по ОДЗ, тогда, если $ x^2-x-6<0$, то
$$(1-x)^2=-x^2+x+6$$
$$1-2x+x^2=-x^2+x+6$$
$$2x^2-3x-5=0$$
Так как $b=a+c$, то $x_1=-1, x_2=2,5$ – по ОДЗ проходит только первый корень.
Ответ: $x_1=-1$
Через недельку...
и за этот ответ спасибо. Теперь уж...
Огромное спасибо...
А почему я не вижу нормального текста ? Половина текст ,а другая половина символы ...
Ждем-с. Скоро...