Логарифмические уравнения

1.Решить уравнение:

$2\log_8 2^{4x}=2^{\log_{\sqrt{2}} 2}$

Решение: справа вполне можно получить число, применив простые приемы:

$2\log_8 2^{4x}=2^{2\log_2 2}$

$2\log_8 2^{4x}=2^2$

$\log_8 2^{4x}=2$

Превращаем двойку справа в логарифм:

$\log_8 2^{4x}=\log_8 64$

Приравниваем подлогарифмические выражения:

$2^{4x}=64$

$2^{4x}=2^6$

$4x=6$

$x=1,5$

Проверяем, подходит ли полученный корень по ОДЗ: да, вполне.

Ответ: $x=1,5$

2.Решить уравнение:

$10^{\lg_(\lg {\sqrt{x}})}-\lg x+\lg x^2 - 3=0$

ОДЗ: $x>0$

Решение:

$\lg {\sqrt{x}}-\lg x+2\lg x - 3=0$

$\frac{1}{2}\lg x-\lg x+2\lg x - 3=0$

$1\frac{1}{2}\lg x= 3$

$\lg x= 2$

$x= 100$

Корень положительный, полностью удовлетворяет ОДЗ – подлогарифмические выражения положительные.

Ответ: $x= 100$

3.Решить уравнение:

$\log_5 {\frac{x+1}{10}}=\log_5 {\frac{2}{x}}$

ОДЗ:

$\begin{Bmatrix}{\frac{x+1}{10}>0}\\{\frac{2}{x}>0}\end{matrix}$

$\begin{Bmatrix}{x+1>0}\\{x>0}\end{matrix}$

$\begin{Bmatrix}{x>-1}\\{x>0}\end{matrix}$

То есть нам подойдут только положительные корни.

Переходим к сравнению подлогарифмических выражений:

$\frac{x+1}{10}=\frac{2}{x}$

$\frac{x(x+1)-20}{10x}=0$

$x(x+1)-20=0$

$x^2+x-20=0$

По Виету: $x_1=4, x_2=-5$

Отрицательный корень – не подходит по ОДЗ. Поэтому ответ: $x=4$

4.Решить уравнение:

$\log_3 (x-1)+\log_3 (x+1)=1$

ОДЗ:

$\begin{Bmatrix}{x+1>0}\\{x-1>0}\end{matrix}$

Решение будет (ОДЗ): $x>1$

Сумма логарифмов есть логарифм произведения:

$\log_3 (x-1)(x+1)=1$

Справа нужен тоже логарифм:

$\log_3 (x^2-1)=\log_3 3$

Переходим к подлогарифмическим выражениям:

$x^2-1=3$

$x^2=4$

Решений два, но мы возьмем только положительный корень, удовлетворяющий ОДЗ: $x=2$

5.Решить уравнение:

$2\log_4 (4+x)=4-\log_2 (x-2)$

ОДЗ:

$\begin{Bmatrix}{x-2>0}\\{4+x>0}\end{matrix}$

Решение будет (ОДЗ): $x>2$

Решение неравенства:

$2\log_{2^2} (4+x)+ \log_2 (x-2)=4$

$2 \cdot{\frac{1}{2}}\log_2 (4+x)+ \log_2 (x-2)=4$

$\log_2 (4+x)(x-2)=\ log_2 16$

Переходим к подлогарифмическим выражениям:

$(4+x)(x-2)= 16$

$x^2+2x-24=0$

По Виету: $x_1=4, x_2=-6$ – второй корень не пройдет по ОДЗ.

Ответ: $x=4$

6.Решить уравнение:

$\log_3 (x^2-4)=4\log_9 (2x+3)-\log_{\sqrt{5}} 5$

ОДЗ:

$\begin{Bmatrix}{x^2-4>0}\\{2x+3>0}\end{matrix}$

$\begin{Bmatrix}{(x+2)(x-2)>0}\\{x>-1,5}\end{matrix}$

ОДЗ: $x>2$

Решение:

$\log_3 (x^2-4)=4\log_9 (2x+3)-2\log_5 5$

$\log_3 (x^2-4)=2\log_3 (2x+3)-2$

$\log_3 (x^2-4)-\log_3 (2x+3)^2=-\log_3 9$

$\log_3 {\frac{x^2-4}{(2x+3)^2}=-\log_3 9$

$\frac{x^2-4}{(2x+3)^2}=\frac{1}{9}$

$\frac{(x^2-4)9-(2x+3)^2}{9(2x+3)^2}=0$

$\frac{9x^2-36-(4x^2+12x+9)}{9(2x+3)^2}=0$

$\frac{5x^2-12x-45}{9(2x+3)^2}=0$

$5x^2-12x-45=0$

$D=144-4 \cdot5\cdot(-45)=144+900=1044=(6\sqrt{29})^2$

Корни: $x_1=\frac{12+6\sqrt{29}}{10}$ , $x_2=\frac{12-6\sqrt{29}}{10}$ .

Или $x_1=\frac{6+3\sqrt{29}}{5}$ , $x_2=\frac{6-3\sqrt{29}}{5}$ .

Из этих корней второй – отрицательный, а первый точно больше 2, поэтому по ОДЗ годится только он.

Ответ: $x_1=\frac{6+3\sqrt{29}}{5}$ .

7.Решить уравнение:

$2\log_8 (2x)+\log_8 (x^2+1-2x)=\frac{3}{4}$

ОДЗ:

$\begin{Bmatrix}{x>0}\\{ x^2+1-2x>0}\end{matrix}$

$\begin{Bmatrix}{ x>0}\\{(x-1)^2>0}\end{matrix}$

ОДЗ: $x>0$ , $x\neq 1$ .

Решение:

$\log_8 (4x^2)+\log_8 (x^2+1-2x)=\log_8 8^{\frac{3}{4}}$

$\log_8 (4x^2)(x-1)^2=\log_8 16$

$(4x^2)(x-1)^2- 16=0$

$(2x(x-1)- 4)( 2x(x-1)+ 4)=0$

$(2x^2-2x- 4)( 2x^2-2x+ 4)=0$

Уравнение распадается: $2x^2-2x- 4=0$ и $2x^2-2x+4=0$

Решения первого: так как $b=a+c$ , то $x_1=-1, x_2=2$ – по ОДЗ проходит второй корень. Уравнение $2x^2-2x+4=0$ корней не имеет – его дискриминант отрицательный.