Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Уравнения (13 (С1))

Логарифмические уравнения

 

1.Решить уравнение:

    \[2\log_8 2^{4x}=2^{\log_{\sqrt{2}} 2}\]

Решение: справа вполне можно получить число, применив простые приемы:

    \[2\log_8 2^{4x}=2^{2\log_2 2}\]

    \[2\log_8 2^{4x}=2^2\]

    \[\log_8 2^{4x}=2\]

Превращаем двойку справа в логарифм:

    \[\log_8 2^{4x}=\log_8 64\]

Приравниваем подлогарифмические выражения:

    \[2^{4x}=64\]

    \[2^{4x}=2^6\]

    \[4x=6\]

    \[x=1,5\]

Проверяем, подходит ли полученный корень по ОДЗ: да, вполне.

Ответ: x=1,5

 

2.Решить уравнение:

    \[10^{\lg_(\lg {\sqrt{x}})}-\lg x+\lg x^2 - 3=0\]

ОДЗ: x>0

Решение:

    \[\lg {\sqrt{x}}-\lg x+2\lg x - 3=0\]

    \[\frac{1}{2}\lg x-\lg x+2\lg x - 3=0\]

    \[1\frac{1}{2}\lg x= 3\]

    \[\lg x= 2\]

    \[x= 100\]

Корень положительный, полностью удовлетворяет ОДЗ – подлогарифмические выражения положительные.

Ответ: x= 100

 

3.Решить уравнение:

    \[\log_5 {\frac{x+1}{10}}=\log_5 {\frac{2}{x}}\]

ОДЗ:

    \[\begin{Bmatrix}{\frac{x+1}{10}>0}\\{\frac{2}{x}>0}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{x+1>0}\\{x>0}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{x>-1}\\{x>0}\end{matrix}\]

То есть нам подойдут только положительные корни.

Переходим к сравнению подлогарифмических выражений:

    \[\frac{x+1}{10}=\frac{2}{x}\]

    \[\frac{x(x+1)-20}{10x}=0\]

    \[x(x+1)-20=0\]

    \[x^2+x-20=0\]

По Виету: x_1=4, x_2=-5

Отрицательный корень – не подходит по ОДЗ. Поэтому ответ: x=4

 

4.Решить уравнение:

    \[\log_3 (x-1)+\log_3 (x+1)=1\]

ОДЗ:

    \[\begin{Bmatrix}{x+1>0}\\{x-1>0}\end{matrix}\]

Решение будет (ОДЗ): x>1

Сумма логарифмов есть логарифм произведения:

    \[\log_3 (x-1)(x+1)=1\]

Справа нужен тоже логарифм:

    \[\log_3 (x^2-1)=\log_3 3\]

Переходим к подлогарифмическим выражениям:

    \[x^2-1=3\]

    \[x^2=4\]

Решений два, но мы возьмем только положительный корень, удовлетворяющий ОДЗ: x=2

 

5.Решить уравнение:

    \[2\log_4 (4+x)=4-\log_2 (x-2)\]

ОДЗ:

    \[\begin{Bmatrix}{x-2>0}\\{4+x>0}\end{matrix}\]

Решение будет (ОДЗ): x>2

Решение неравенства:

    \[2\log_{2^2} (4+x)+ \log_2 (x-2)=4\]

    \[2 \cdot{\frac{1}{2}}\log_2 (4+x)+ \log_2 (x-2)=4\]

    \[\log_2 (4+x)(x-2)=\ log_2 16\]

Переходим к подлогарифмическим выражениям:

    \[(4+x)(x-2)= 16\]

    \[x^2+2x-24=0\]

По Виету: x_1=4, x_2=-6 – второй корень не пройдет по ОДЗ.

Ответ: x=4

 

6.Решить уравнение:

    \[\log_3 (x^2-4)=4\log_9 (2x+3)-\log_{\sqrt{5}} 5\]

ОДЗ:

    \[\begin{Bmatrix}{x^2-4>0}\\{2x+3>0}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{(x+2)(x-2)>0}\\{x>-1,5}\end{matrix}\]

ОДЗ: x>2

Решение:

    \[\log_3 (x^2-4)=4\log_9 (2x+3)-2\log_5 5\]

    \[\log_3 (x^2-4)=2\log_3 (2x+3)-2\]

    \[\log_3 (x^2-4)-\log_3 (2x+3)^2=-\log_3 9\]

    \[\log_3 {\frac{x^2-4}{(2x+3)^2}=-\log_3 9\]

    \[\frac{x^2-4}{(2x+3)^2}=\frac{1}{9}\]

    \[\frac{(x^2-4)9-(2x+3)^2}{9(2x+3)^2}=0\]

    \[\frac{9x^2-36-(4x^2+12x+9)}{9(2x+3)^2}=0\]

    \[\frac{5x^2-12x-45}{9(2x+3)^2}=0\]

    \[5x^2-12x-45=0\]

    \[D=144-4 \cdot5\cdot(-45)=144+900=1044=(6\sqrt{29})^2\]

Корни: x_1=\frac{12+6\sqrt{29}}{10}, x_2=\frac{12-6\sqrt{29}}{10}.

Или x_1=\frac{6+3\sqrt{29}}{5}, x_2=\frac{6-3\sqrt{29}}{5}.

Из этих корней второй – отрицательный, а первый точно больше 2, поэтому по ОДЗ годится только он.

Ответ: x_1=\frac{6+3\sqrt{29}}{5}.

 

7.Решить уравнение:

    \[2\log_8 (2x)+\log_8 (x^2+1-2x)=\frac{3}{4}\]

ОДЗ:

    \[\begin{Bmatrix}{x>0}\\{ x^2+1-2x>0}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{ x>0}\\{(x-1)^2>0}\end{matrix}\]

ОДЗ: x>0, x\neq 1.

Решение:

    \[\log_8 (4x^2)+\log_8 (x^2+1-2x)=\log_8 8^{\frac{3}{4}}\]

    \[\log_8 (4x^2)(x-1)^2=\log_8 16\]

    \[(4x^2)(x-1)^2- 16=0\]

    \[(2x(x-1)- 4)( 2x(x-1)+ 4)=0\]

    \[(2x^2-2x- 4)( 2x^2-2x+ 4)=0\]

Уравнение распадается: 2x^2-2x- 4=0 и 2x^2-2x+4=0

Решения первого: так как b=a+c, то x_1=-1, x_2=2 – по ОДЗ проходит второй корень. Уравнение 2x^2-2x+4=0 корней не имеет – его дискриминант отрицательный.

Ответ: x=2.

 

8.Решить уравнение:

    \[\log_{1-x} (x^2-x-6)^2=4\]

ОДЗ:

    \[\begin{Bmatrix}{1-x>0}\\{1-x \neq 1}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{ x<1}\\{x \neq 0}\end{matrix}\]

Решение:

    \[2\log_{1-x} {\left|x^2-x-6\right|}=4\]

    \[\log_{1-x} {\left|x^2-x-6\right|}=2\]

    \[(1-x)^2=\left|x^2-x-6\right|\]

Снимаем модуль. Если x^2-x-6>0, то

    \[(1-x)^2=x^2-x-6\]

    \[1-2x+x^2=x^2-x-6\]

    \[x=7\]

Это решение не подходит по ОДЗ, тогда, если x^2-x-6<0, то

    \[(1-x)^2=-x^2+x+6\]

    \[1-2x+x^2=-x^2+x+6\]

    \[2x^2-3x-5=0\]

Так как b=a+c, то x_1=-1, x_2=2,5 – по ОДЗ проходит только первый корень.

Ответ: x_1=-1

 

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *