Логарифмические неравенства

1.Решить неравенство:

$\log_{11} (3x-1)>1$

ОДЗ:

$3x-1>0$

$x>\frac{1}{3}$

Решение:

$\log_{11} (3x-1)> \log_{11} 11$

Так как основание логарифма больше 1, то знак неравенства сохраняем:

$3x-1> 11$

$3x> 12$

$x> 4$

Ответ: $x \in (4; +\infty)$

2.Решить неравенство:

$\log_{\frac{1}{3}} (7x-1)>0$

ОДЗ:

$\begin{Bmatrix}{7x-1>0}\end{matrix}$

$x>\frac{1}{7}$

Решение:

$\log_{\frac{1}{3}} (7x-1)> \log_{\frac{1}{3}} 1$

Так как основание логарифма меньше 1, то знак неравенства меняем:

$7x-1< 1$

$7x< 2$

$x< \frac{2}{7}$

Пересекаем решение и ОДЗ, имеем: $x \in (\frac{1}{7}; \frac{2}{7})$

3.Решить неравенство:

$2\log_{\frac{1}{9}} \frac{2-3x}{x}\geqslant -1$

ОДЗ:

$\begin{Bmatrix}{\frac{2-3x}{x}>0}\end{matrix}$

Решим методом интервалов. Корень числителя – $x=\frac{2}{3}$ , корень знаменателя $x=0$ – эта точка выколота всегда, корень числителя – тоже выколотая точка, так как знак строгий. Таким образом, $x \in (0; \frac{2}{3})$ .

Решение:

$-\log_3 \frac{2-3x}{x}\geqslant -\log_3 3$

$\log_3 \frac{2-3x}{x}\leqslant \log_3 3$

Переходим к сравнению подлогарифмических выражений, знак сохраняем: основание больше 1:

$\frac{2-3x}{x}\leqslant 3$

$\frac{2-3x}{x}-3\leqslant 0$

$\frac{2-3x}{x}-\frac{3x}{x}\leqslant 0$

$\frac{2-6x}{x}\leqslant 0$

Корень числителя – $x=\frac{1}{3}$ , корень знаменателя $x=0$ – эта точка выколота всегда, корень числителя – точка закрашенная, она войдет в решение, так как знак неравенства не строгий. Таким образом, $x \in [\frac{1}{3}; +\infty)$ .

При наложении решения на ОДЗ получим:

Ответ: $x \in [\frac{1}{3}; \frac{2}{3})$ .

4.Решить неравенство:

$2\log_3 (-x) -\log_{\frac{1}{3}}(4+x)\leqslant \log_3 (x+1)^2+2\log_9 (10+x)$

ОДЗ:

$\begin{Bmatrix}{-x>0}\\{4+x>0}\\{10+x}\end{matrix}$

$\begin{Bmatrix}{x<0}\\{x>-4}\\{x>-10}\end{matrix}$

Решение этой системы – $x \in(-4;0)$

Решение:

$\log_3 x^2 +\log_3 (4+x)\leqslant \log_3 (x+1)^2+\log_3 (10+x)$

$x^2(4+x)\leqslant (x+1)^2 (10+x)$

$4x^2+x^3\leqslant (x^2+2x+1)(10+x)$

$-8x^2-21x-10\leqslant 0$

$8x^2+21x+10\geqslant 0$

Корни: $D=21^2-4\cdot8\cdot10=121$

$x_{1,2}=\frac{-21 \pm 11}{16}$

$x_1=-2, x_2=-\frac{5}{8}$

Поскольку знак неравенства нестрогий, то точки входят в решение: на рисунке их нужно изобразить закрашенными. Решение неравенства: $x \in (-\infty; -2] \cup [-\frac{5}{8};+\infty)$ .

Накладывая решение на область допустимых значений, получаем:

Ответ: $x \in (-4; -2] \cup [-\frac{5}{8};0)$

5.Решить неравенство:

$2\log_2 x -\log_2 (2x-2)>1$

ОДЗ:

$\begin{Bmatrix}{x>0}\\{2x-2>0}\end{matrix}$

Решение этой системы – $x \in(1;+\infty)$

Решение:

$\log_2 x^2 -\log_2 (2x-2)>\log_2 2$

$\log_2 \frac{x^2}{2x-2}>\log_2 2$

$\frac{x^2}{2x-2}>2$

$\frac{x^2-2(2x-2)}{2x-2}>0$

$\frac{(x-2)^2}{2(x-1)}>0$

Точка 1 является выколотой – это корень знаменателя, точка 2 – корень четной кратности, а мы помним, что в таких точках знак интервала не изменяется! Поэтому решение будет выглядеть так: