Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Неравенства (15 (С3))

Логарифмические неравенства


1.Решить неравенство:

    \[\log_{11} (3x-1)>1\]

ОДЗ:

    \[3x-1>0\]

    \[x>\frac{1}{3}\]

Решение:

    \[\log_{11} (3x-1)> \log_{11} 11\]

Так как основание логарифма больше 1, то знак неравенства сохраняем:

    \[3x-1> 11\]

    \[3x> 12\]

    \[x> 4\]

Ответ: x \in (4; +\infty)

 

2.Решить неравенство:

    \[\log_{\frac{1}{3}} (7x-1)>0\]

ОДЗ:

    \[\begin{Bmatrix}{7x-1>0}\end{matrix}\]

    \[x>\frac{1}{7}\]

Решение:

    \[\log_{\frac{1}{3}} (7x-1)> \log_{\frac{1}{3}} 1\]

Так как основание логарифма меньше 1, то знак неравенства меняем:

    \[7x-1< 1\]

    \[7x< 2\]

    \[x< \frac{2}{7}\]

Пересекаем решение и ОДЗ, имеем: x \in (\frac{1}{7}; \frac{2}{7})

 

3.Решить неравенство:

    \[2\log_{\frac{1}{9}} \frac{2-3x}{x}\geqslant -1\]

ОДЗ:

    \[\begin{Bmatrix}{\frac{2-3x}{x}>0}\end{matrix}\]

Решим методом интервалов. Корень числителя – x=\frac{2}{3}, корень знаменателя x=0 – эта точка выколота всегда, корень числителя – тоже выколотая точка, так как знак строгий. Таким образом, x \in (0; \frac{2}{3}).

Решение:

    \[-\log_3 \frac{2-3x}{x}\geqslant -\log_3 3\]

    \[\log_3 \frac{2-3x}{x}\leqslant \log_3 3\]

Переходим к сравнению подлогарифмических выражений, знак сохраняем: основание больше 1:

    \[\frac{2-3x}{x}\leqslant 3\]

    \[\frac{2-3x}{x}-3\leqslant 0\]

    \[\frac{2-3x}{x}-\frac{3x}{x}\leqslant 0\]

    \[\frac{2-6x}{x}\leqslant 0\]

Корень числителя – x=\frac{1}{3}, корень знаменателя x=0 – эта точка выколота всегда, корень числителя – точка закрашенная, она войдет в решение, так как знак неравенства не строгий. Таким образом, x \in [\frac{1}{3}; +\infty).

При наложении решения на ОДЗ получим:

Ответ: x \in [\frac{1}{3}; \frac{2}{3}).

 

4.Решить неравенство:

    \[2\log_3 (-x) -\log_{\frac{1}{3}}(4+x)\leqslant \log_3 (x+1)^2+2\log_9 (10+x)\]

ОДЗ:

    \[\begin{Bmatrix}{-x>0}\\{4+x>0}\\{10+x}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{x<0}\\{x>-4}\\{x>-10}\end{matrix}\]

Решение этой системы – x \in(-4;0)

Решение:

    \[\log_3 x^2 +\log_3 (4+x)\leqslant \log_3 (x+1)^2+\log_3 (10+x)\]

    \[x^2(4+x)\leqslant (x+1)^2 (10+x)\]

    \[4x^2+x^3\leqslant (x^2+2x+1)(10+x)\]

    \[-8x^2-21x-10\leqslant 0\]

    \[8x^2+21x+10\geqslant 0\]

    \[8x^2+21x+10\geqslant 0\]

Корни: D=21^2-4\cdot8\cdot10=121

    \[x_{1,2}=\frac{-21 \pm 11}{16}\]

    \[x_1=-2, x_2=-\frac{5}{8}\]

Поскольку знак неравенства нестрогий, то точки входят в решение: на рисунке их нужно изобразить закрашенными. Решение неравенства: x \in (-\infty; -2] \cup [-\frac{5}{8};+\infty).

Накладывая решение на область допустимых значений, получаем:

Ответ: x \in (-4; -2] \cup [-\frac{5}{8};0)

 

5.Решить неравенство:

    \[2\log_2 x -\log_2 (2x-2)>1\]

ОДЗ:

    \[\begin{Bmatrix}{x>0}\\{2x-2>0}\end{matrix}\]

Решение этой системы – x \in(1;+\infty)

Решение:

    \[\log_2 x^2 -\log_2 (2x-2)>\log_2 2\]

    \[\log_2 \frac{x^2}{2x-2}>\log_2 2\]

    \[\frac{x^2}{2x-2}>2\]

    \[\frac{x^2-2(2x-2)}{2x-2}>0\]

    \[\frac{(x-2)^2}{2(x-1)}>0\]

Точка 1 является выколотой – это корень знаменателя, точка 2 – корень четной кратности, а мы помним, что в таких точках знак интервала не изменяется! Поэтому решение будет выглядеть так:

Решение неравенства

Решение неравенства:

    \[x \in (1;2) \cup (2; +\infty)\]

Это полностью укладывается в ОДЗ, поэтому ответ таким и будет:

Ответ: x \in (1;2) \cup (2; +\infty)

 

6.Решить неравенство:

    \[\log_x{\frac{6-5x}{4x+5}}>1\]

ОДЗ:

    \[\begin{Bmatrix}{\frac{6-5x}{4x+5}>0}\\{4x+5 \neq 0}\\{x\neq 1}\\ {x>0}\end{matrix}\]

Допустимые значения x: x \in (0;1) \cup(1; \frac{6}{5})

Решение неравенства проведем методом рационализации:

    \[\log_x{\frac{6-5x}{4x+5}}>\log_x x\]

    \[(x-1)\left(\frac{6-5x}{4x+5}}- x\right)>0\]

    \[(x-1)\left(\frac{6-5x-x(4x+5)}{4x+5}}\right)>0\]

Упрощаем:

    \[(x-1)\left(\frac{-4x^2-10x+6}{4(x+\frac{5}{4})}\right)>0\]

    \[(x-1)\left(\frac{2x^2+5x-3}{2(x+\frac{5}{4})}\right)<0\]

Раскладываем на множители:

    \[\frac{(x-1)(x+3)(x-\frac{1}{2})}{2(x+\frac{5}{4})}<0\]

Отмечаем полученные точки на координатной прямой:

Решение неравенства

Наложив это решение на ОДЗ, имеем: x \in (\frac{1}{2};1)

Ответ: x \in (\frac{1}{2};1)

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *