Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Геометрическая оптика

Линзы -3

Этой статьей продолжается серия статей по геометрической оптике, связанных с построением в линзе и задачами на уравнение тонкой линзы. Начало здесь и здесь.

Задача 1. Высота пламени свечи 5 см. Линза дает на экране изображение этого пламени высотой 15 см. Не трогая линзы, свечу отодвигают на 1,5 см дальше от линзы и, передвинув экран, вновь получают четкое изображение пламени высотой 10 см. Определите главное фокусное расстояние линзы.

Рассеивающая линза всегда дает уменьшенное изображение. Поэтому в нашем случае линза собирающая.

Запишем формулу линзы для первого положения свечи:

    \[\frac{1}{F}=\frac{1}{d_1}+\frac{1}{f_1}\]

Также можно записать отношение расстояний d_1 и f_1:

    \[\frac{d_1}{f_1}=\frac{h}{H_1}\]

    \[f_1=\frac{d_1\cdot H_1}{h}\]

Для второго положения линзы

    \[\frac{1}{F}=\frac{1}{d_2}+\frac{1}{f_2}\]

Также можно записать отношение расстояний d_2 и f_2:

    \[\frac{d_2}{f_2}=\frac{h}{H_2}\]

    \[f_2=\frac{d_2\cdot H_2}{h}\]

Так как в обеих формулах линзы левая часть одинакова, то приравняем правые части:

    \[\frac{1}{d_1}+\frac{1}{f_1}=\frac{1}{d_2}+\frac{1}{f_2}\]

Подставим сюда d_2=d_1+1,5 и f_1=\frac{d_1\cdot H_1}{h}=3d_1, f_2=\frac{d_2\cdot H_2}{h}=2d_2.

    \[\frac{1}{d_1}+\frac{1}{3d_1}=\frac{1}{d_1+1,5}+\frac{1}{2(d_1+1,5)}\]

Решим это уравнение:

    \[\frac{3}{3d_1}+\frac{1}{3d_1}=\frac{2}{2(d_1+1,5)}+\frac{1}{2(d_1+1,5)}\]

    \[\frac{4}{3d_1}=\frac{3}{2(d_1+1,5)}\]

    \[8(d_1+1,5)= 9d_1\]

    \[d_1=12\]

Тогда f_1=36 см, а фокусное расстояние

    \[\frac{1}{F}=\frac{1}{12}+\frac{1}{36}=\frac{1}{9}\]

    \[F=9\]

Ответ: F=9 см.

Задача 2. Источник света находится на расстоянии 1,5 м от экрана, на котором с помощью собирающей линзы получают увеличенное изображение источника. Затем экран отодвигают еще на 3 м и снова получают увеличенное изображение источника. Чему равны фокусное расстояние линзы и размеры источника, если размер изображения в первом случае 18 мм, а во втором 96 мм?

К задаче 2

Надо заметить, что получить второй раз изображение, не передвигая линзы – невозможно. Поэтому после перестановки экрана линзу также передвинули. Поэтому для первого положения:

    \[d_1+f_1=1,5\]

Запишем отношение расстояний d_1 и f_1:

    \[\frac{d_1}{f_1}=\frac{h}{H_1}\]

    \[h=\frac{d_1\cdot H_1}{f_1}\]

Формула линзы:

    \[\frac{1}{F}=\frac{1}{d_1}+\frac{1}{f_1}\]

    \[f_1=1,5-d_1\]

Для второго положения экрана

    \[d_2+f_2=4,5\]

    \[\frac{d_2}{f_2}=\frac{h}{H_2}\]

    \[h =\frac{d_2\cdot H_2}{ f_2}\]

Формула линзы:

    \[\frac{1}{F}=\frac{1}{d_2}+\frac{1}{f_2}\]

Если считать, что линзу передвинули по направлению к экрану на расстояние x, то d_2=d_1+x, а f_2=4,5-d_1-x.

Приравняем правые части выражений для высоты предмета:

    \[\frac{d_1\cdot H_1}{f_1}=\frac{d_2\cdot H_2}{ f_2}\]

    \[\frac{d_1\cdot H_1}{1,5-d_1}=\frac{(d_1+x)\cdot H_2}{ 4,5-d_1-x }~~~~(1)\]

Приравняем правые части формулы линзы для обоих положений:

    \[\frac{1}{d_1}+\frac{1}{f_1}=\frac{1}{d_2}+\frac{1}{f_2}\]

    \[\frac{1}{d_1}+\frac{1}{1,5-d_1}=\frac{1}{d_1+x}+\frac{1}{4,5-d_1-x }\]

Приведем к общему знаменателю справа и слева:

    \[\frac{1,5}{d_1(1,5-d_1)}= \frac{4,5}{(d_1+x)(4,5-d_1-x) }~~~~~~(2)\]

Из (1) получим

    \[\frac{4,5-d_1-x }{1,5-d_1}=\frac{(d_1+x)\cdot H_2}{d_1\cdot H_1}\]

Из (2) получим

    \[\frac{4,5-d_1-x }{1,5-d_1}=\frac{3d_1}{d_1+x}\]

В последних двух выражениях левые части равны, следовательно, равны и правые:

    \[\frac{(d_1+x)\cdot H_2}{d_1\cdot H_1}=\frac{3d_1}{d_1+x}\]

    \[\frac{(d_1+x)^2}{d_1^2}=\frac{3H_1}{H_2}\]

    \[\frac{(d_1+x)}{d_1}=\sqrt{\frac{3H_1}{H_2}}=\sqrt{\frac{3\cdot 18}{96}}=\frac{3}{4}\]

Определим отсюда x – смещение линзы от первоначального положения. Получается, линзу  сместили на \frac{d_1}{4}, причем не в ту сторону, куда мы предположили, а в обратную – к предмету.

Теперь, воспользуемся  уравнениями линзы, чтобы определить d_1:

    \[\frac{1,5}{d_1(1,5-d_1)}= \frac{4,5}{(d_1+x)(4,5-d_1-x) }~~~~~~(2)\]

    \[\frac{1,5}{d_1(1,5-d_1)}= \frac{4,5}{(d_1-\frac{d_1}{4})(4,5-d_1+\frac{d_1}{4}) }\]

    \[\frac{1}{d_1(1,5-d_1)}= \frac{3}{(\frac{3d_1}{4})(4,5-\frac{3d_1}{4}) }\]

    \[\frac{1}{1,5-d_1}= \frac{3}{(\frac{3}{4})(4,5-\frac{3d_1}{4}) }\]

    \[\frac{1}{4}(4,5-\frac{3d_1}{4})=1,5-d_1\]

    \[4,5-\frac{3d_1}{4}=6-4d_1\]

    \[d_1=\frac{6}{13}=0,462\]

Тогда

    \[f_1=1,5-d_1=1,038\]

А фокусное расстояние линзы равно

    \[F=\frac{f_1\cdot d_1}{d_1+f_1}=0,32\]

Определим высоту предмета:

    \[h=\frac{d_1\cdot H_1}{f_1}=\frac{0,462\cdot0,018}{1,038}=0,008\]

Ответ: F=32 см, h=8 мм.

Задача 3. От предмета высотой 3 см получили с помощью линзы действительное изображение высотой 18 см. Когда предмет передвинули на 6 см, то получили мнимое изображение высотой 9 см. Определите фокусное расстояние и оптическую силу линзы.

Запишем формулу линзы для первого положения предмета:

    \[\frac{1}{F}=\frac{1}{d_1}+\frac{1}{f_1}\]

Также можно записать отношение расстояний d_1 и f_1:

    \[\frac{d_1}{f_1}=\frac{h}{H_1}\]

    \[f_1=\frac{d_1\cdot H_1}{h}=6d_1\]

Запишем формулу линзы для второго положения предмета (изображение теперь мнимое, не забудем «минус»):

    \[\frac{1}{F}=\frac{1}{d_2}-\frac{1}{f_2}\]

Также можно записать отношение расстояний d_2 и f_2:

    \[\frac{d_2}{f_2}=\frac{h}{H_2}\]

    \[f_2=\frac{d_2\cdot H_2}{h}=3d_2\]

Приравняем правые части обоих уравнений линзы:

    \[\frac{1}{d_1}+\frac{1}{f_1}=\frac{1}{d_2}-\frac{1}{f_2}\]

Подставим f_1, d_2=d_1-6, f_2.

    \[\frac{1}{d_1}+\frac{1}{6d_1}=\frac{1}{d_1-6}-\frac{1}{3(d_1-6)}\]

Решаем:

    \[\frac{6}{6d_1}+\frac{1}{6d_1}=\frac{3}{3(d_1-6)}-\frac{1}{3(d_1-6)}\]

    \[\frac{7}{6d_1}=\frac{2}{3(d_1-6)}\]

    \[21(d_1-6)=12d_1\]

    \[9d_1=126\]

    \[d_1=14\]

Тогда f_1=84 см, а фокусное расстояние линзы равно

    \[\frac{1}{F}=\frac{1}{14}+\frac{1}{84}=\frac{7}{84}=\frac{1}{12}\]

Откуда F=12 см.

Оптическая сила линзы равна D=\frac{1}{F}=\frac{1}{0,12}=8,3 дптр.

Ответ: F=12 см, D=8,3 дптр.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *