[latexpage]
Этой статьей продолжается серия статей по геометрической оптике, связанных с построением в линзе и задачами на уравнение тонкой линзы. Начало здесь, более сложные – в следующих статьях.
Задача 1. Предмет расположен на расстоянии 40 см от линзы с оптической силой 2 дптр. Как изменится расстояние до изображения предмета, если его придвинуть к линзе на 15 см?
Запишем формулу линзы для первого случая (фокусное расстояние равно 0,5 м – это следует из данной оптической силы, а предмет находится на расстоянии, меньшем фокусного, следовательно, изображение в обоих случаях мнимое):
$$\frac{1}{F}=\frac{1}{d_1}-\frac{1}{f_1}$$
А теперь для второго:
$$\frac{1}{F}=\frac{1}{d_2}-\frac{1}{f_2}$$
Нам нужно найти $f_2-f_1$.
Тогда
$$\frac{1}{f_1}=\frac{1}{d_1} -\frac{1}{F}=\frac{1}{0,4}-2=0,5$$
$$\frac{1}{f_2}=\frac{1}{d_2}-\frac{1}{F}=\frac{1}{0,4-0,15}-2=2$$
То есть $ f_1=2$, $ f_2=0,5$, то есть определим $f_2-f_1=1,5$
Ответ: приблизится на 1,5 м.
Задача 2. Светящийся предмет находится на расстоянии 12,5 м от линзы, а его действительное изображение-на расстоянии 85 см от нее. Где получится изображение, если предмет придвинуть к линзе на 2,5 м?
Составим формулу линзы:
$$\frac{1}{F}=\frac{1}{d_1}+\frac{1}{f_1}$$
А теперь для второго:
$$\frac{1}{F}=\frac{1}{d_2}+\frac{1}{f_2}$$
Приравняем правые части:
$$\frac{1}{d_1}+\frac{1}{f_1}=\frac{1}{d_2}+\frac{1}{f_2}$$
Подставим числа:
$$\frac{1}{12,5}+\frac{1}{0,85}=\frac{1}{10}+\frac{1}{f_2}$$
$$\frac{1}{f_2}=\frac{1}{12,5}+\frac{1}{0,85}-\frac{1}{10}=1,16$$
$$f_2=\frac{1}{1,16}=0,864$$
Ответ: 86,4 см.
Задача 3. Расстояние между предметом и экраном 120 см. Где нужно поместить собирающую линзу с фокусным расстоянием 25 см, чтобы на экране получилось четкое изображение предмета?
Составим систему:
$$d+f=1,2$$
$$\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}$$
Или, подставляя во второе уравнение, имеем:
$$\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{1,2-d}$$
Приводим к общему знаменателю правую часть:
$$\frac{1}{F}=\frac{1,2-d +d}{d(1,2-d)}= \frac{1,2}{d(1,2-d)}$$
Подставляем числа и решаем относительно $d$:
$$0,25\cdot1,2= d(1,2-d)$$
$$d^2-1,2d+0,3=0$$
$$d_1=0,855$$
$$d_2=0,355$$
Ответ: 85,5 см или 35,5 см.
Задача 4. Расстояние между электрической лампочкой и экраном 1 м. При каких положениях собирающей линзы с фокусным расстоянием 21 см изображение нити лампочки будет отчетливым? Можно ли получить четкое изображение, если фокусное расстояние другой линзы 26 см?
Составим систему:
$$d+f=1$$
$$\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}$$
Или, подставляя во второе уравнение, имеем:
$$\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{1-d}$$
Приводим к общему знаменателю правую часть:
$$\frac{1}{F}=\frac{1-d +d}{d(1-d)}= \frac{1}{d(1-d)}$$
Подставляем числа и решаем относительно $d$:
$$0,21\cdot1= d(1-d)$$
$$d^2-d+0,21=0$$
$$d_1=0,7$$
$$d_2=0,3$$
Ответ: 70 см или 30 см.
Теперь попробуем заменить линзу на другую:
$$0,26\cdot1= d(1-d)$$
$$d^2-d+0,26=0$$
У этого уравнения корней нет, следовательно, четкое изображение не получится.
Задача 5. Главное фокусное расстояние двояковыпуклой линзы 50 см. Предмет высотой 1,2 см помещен на расстоянии 60 см от линзы. Где и какой высоты изображение получится?
Определим сначала, где получится изображение:
$$\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}$$
$$\frac{1}{f}=\frac{1}{F}-\frac{1}{d}$$
$$\frac{1}{f}=\frac{1}{0,5}-\frac{1}{0,6}=2-\frac{10}{6}=\frac{1}{3}$$
$$f=3$$
Высота изображения и высота предмета относятся так же, как и расстояния от предмета до линзы и от линзы до изображения:
$$\frac{H}{h}=\frac{f}{d}$$
Откуда
$$H=\frac{f\cdot h}{d}=\frac{3\cdot 0,012}{0,6}=0,06$$
Ответ: 6 см.
Задача 6. Определите главное фокусное расстояние рассеивающей линзы, если известно, что изображение предмета, помещенного перед ней на расстоянии 50 см, получилось уменьшенным в 5 раз.
Так как $\frac{h}{H}=5$, то $\frac{d}{f}=5$, и тогда можно записать формулу линзы:
$$-\frac{1}{F}=\frac{1}{d}-\frac{1}{f}$$
$$-\frac{1}{F}=\frac{1}{d}-\frac{5}{d}=-\frac{4}{d}=-\frac{4}{0,5}=8$$
Тогда фокусное расстояние равно $F=-12,5$ см.
Ответ: 12,5 см.
Задача 7. Мнимое изображение предмета, получаемое с помощью линзы, в 4,5 раза больше самого предмета. Чему равна оптическая сила линзы, если предмет находится от нее на расстоянии 3,8 см?
Оптическая сила линзы равна
$$D=\frac{1}{F}$$
$$D=\frac{1}{d}-\frac{1}{f}$$
По условию $\frac{f}{d}=\frac{H}{h}=4,5$, перепишем формулу линзы:
$$D=\frac{1}{d}-\frac{1}{4,5d}$$
$$D=\frac{3,5}{4,5d}=\frac{3,5}{4,5\cdot0,038}=20,5$$
Ответ: 20 дптр.
Задача 8. Расстояния от предмета до линзы и от линзы до действительного изображения предмета одинаковы и равны 60 см. Во сколько раз увеличится изображение, если предмет поместить на 20 см ближе к линзе?
Определим фокусное расстояние линзы:
$$\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}$$
$$\frac{1}{F}=\frac{2}{d}=\frac{2}{0,6}$$
$$F=0,3$$
То есть сначала предмет находился в двойном фокусе, и его изображение по размеру было равно самому предмету.
Теперь предмет переместили, найдем, где его изображение:
$$\frac{1}{F}=\frac{1}{d_1}+\frac{1}{f_1}$$
$$\frac{1}{f_1}=\frac{1}{F}-\frac{1}{d_1}=\frac{1}{0,3}-\frac{1}{0,4}=\frac{5}{6}$$
$$f=\frac{6}{5}=1,2$$
Расстояния от линзы до предмета и от линзы до изображения относятся как размеры предмета к размерам изображения и наоборот:
$$\frac{f_1}{d_1}=\frac{H}{h}=3$$
Таким образом, изображение увеличится втрое.
Пример 2. При х=2.5,...
В 14-ой нашел отношение q1\q2 + q2\q1 = 7 а дальше никак не...
Почему в 13 задании объем воды уменьшается? У нас же плавится...
А как решается 6-й...
Понял,...