Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Геометрическая оптика

Линзы 2: оптическая сила

Этой статьей продолжается серия статей по геометрической оптике, связанных с построением в линзе и задачами на уравнение тонкой линзы. Начало здесь,  более сложные  – в следующих статьях.

Задача 1. Предмет расположен на расстоянии 40 см от линзы с оптической силой 2 дптр. Как изменится расстояние до изображения предмета, если его придвинуть к линзе на 15 см?

Запишем формулу линзы для первого случая (фокусное расстояние равно 0,5 м – это следует из данной оптической силы, а предмет находится на расстоянии, меньшем фокусного, следовательно, изображение в обоих случаях мнимое):

    \[\frac{1}{F}=\frac{1}{d_1}-\frac{1}{f_1}\]

А теперь для второго:

    \[\frac{1}{F}=\frac{1}{d_2}-\frac{1}{f_2}\]

Нам нужно найти f_2-f_1.

Тогда

    \[\frac{1}{f_1}=\frac{1}{d_1} -\frac{1}{F}=\frac{1}{0,4}-2=0,5\]

    \[\frac{1}{f_2}=\frac{1}{d_2}-\frac{1}{F}=\frac{1}{0,4-0,15}-2=2\]

То есть f_1=2, f_2=0,5, то есть определим f_2-f_1=1,5

Ответ: приблизится на 1,5 м.

Задача 2. Светящийся предмет находится на расстоянии 12,5 м от линзы, а его действительное изображение-на расстоянии 85 см от нее. Где получится изображение, если предмет придвинуть к линзе на 2,5 м?

Составим формулу линзы:

    \[\frac{1}{F}=\frac{1}{d_1}+\frac{1}{f_1}\]

А теперь для второго:

    \[\frac{1}{F}=\frac{1}{d_2}+\frac{1}{f_2}\]

Приравняем правые части:

    \[\frac{1}{d_1}+\frac{1}{f_1}=\frac{1}{d_2}+\frac{1}{f_2}\]

Подставим числа:

    \[\frac{1}{12,5}+\frac{1}{0,85}=\frac{1}{10}+\frac{1}{f_2}\]

    \[\frac{1}{f_2}=\frac{1}{12,5}+\frac{1}{0,85}-\frac{1}{10}=1,16\]

    \[f_2=\frac{1}{1,16}=0,864\]

Ответ: 86,4 см.

Задача 3.  Расстояние между предметом и экраном 120 см. Где нужно поместить собирающую линзу с фокусным расстоянием 25 см, чтобы на экране получилось четкое изображение предмета?

Составим систему:

    \[d+f=1,2\]

    \[\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}\]

Или, подставляя во второе уравнение, имеем:

    \[\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{1,2-d}\]

Приводим к общему знаменателю правую часть:

    \[\frac{1}{F}=\frac{1,2-d +d}{d(1,2-d)}= \frac{1,2}{d(1,2-d)}\]

Подставляем числа и решаем относительно d:

    \[0,25\cdot1,2= d(1,2-d)\]

    \[d^2-1,2d+0,3=0\]

    \[d_1=0,855\]

    \[d_2=0,355\]

Ответ: 85,5 см или 35,5 см.


Задача 4. Расстояние между электрической лампочкой и экраном 1 м. При каких положениях собирающей линзы с фокусным расстоянием 21 см изображение нити лампочки будет отчетливым? Можно ли получить четкое изображение, если фокусное расстояние другой линзы 26 см?

Составим систему:

    \[d+f=1\]

    \[\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}\]

Или, подставляя во второе уравнение, имеем:

    \[\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{1-d}\]

Приводим к общему знаменателю правую часть:

    \[\frac{1}{F}=\frac{1-d +d}{d(1-d)}= \frac{1}{d(1-d)}\]

Подставляем числа и решаем относительно d:

    \[0,21\cdot1= d(1-d)\]

    \[d^2-d+0,21=0\]

    \[d_1=0,7\]

    \[d_2=0,3\]

Ответ: 70 см или 30 см.

Теперь попробуем заменить линзу на другую:

    \[0,26\cdot1= d(1-d)\]

    \[d^2-d+0,26=0\]

У этого уравнения корней нет, следовательно, четкое изображение не получится.

Задача 5. Главное фокусное расстояние двояковыпуклой линзы 50 см. Предмет высотой 1,2 см помещен на расстоянии 60 см от линзы. Где и какой высоты изображение получится?

Определим сначала, где получится изображение:

    \[\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}\]

    \[\frac{1}{f}=\frac{1}{F}-\frac{1}{d}\]

    \[\frac{1}{f}=\frac{1}{0,5}-\frac{1}{0,6}=2-\frac{10}{6}=\frac{1}{3}\]

    \[f=3\]

Высота изображения и высота предмета относятся так же, как и расстояния от предмета до линзы и от линзы до изображения:

    \[\frac{H}{h}=\frac{f}{d}\]

Откуда

    \[H=\frac{f\cdot h}{d}=\frac{3\cdot 0,012}{0,6}=0,06\]

Ответ: 6 см.

Задача 6. Определите главное фокусное расстояние рассеивающей линзы, если известно, что изображение предмета, помещенного перед ней на расстоянии 50 см, получилось уменьшенным в 5 раз.

Так как \frac{h}{H}=5, то \frac{d}{f}=5, и тогда можно записать формулу линзы:

    \[-\frac{1}{F}=\frac{1}{d}-\frac{1}{f}\]

    \[-\frac{1}{F}=\frac{1}{d}-\frac{5}{d}=-\frac{4}{d}=-\frac{4}{0,5}=8\]

Тогда фокусное расстояние равно F=-12,5 см.

Ответ: 12,5 см.

Задача 7. Мнимое изображение предмета, получаемое с помощью линзы, в 4,5 раза больше самого предмета. Чему равна оптическая сила линзы, если предмет находится от нее на расстоянии 3,8 см?

Оптическая сила линзы равна

    \[D=\frac{1}{F}\]

    \[D=\frac{1}{d}-\frac{1}{f}\]

По условию \frac{f}{d}=\frac{H}{h}=4,5, перепишем формулу линзы:

    \[D=\frac{1}{d}-\frac{1}{4,5d}\]

    \[D=\frac{3,5}{4,5d}=\frac{3,5}{4,5\cdot0,038}=20,5\]

Ответ: 20 дптр.

Задача 8. Расстояния от предмета до линзы и от линзы до действительного изображения предмета одинаковы и равны 60 см. Во сколько раз увеличится изображение, если предмет поместить на 20 см ближе к линзе?

Определим фокусное расстояние линзы:

    \[\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}\]

    \[\frac{1}{F}=\frac{2}{d}=\frac{2}{0,6}\]

    \[F=0,3\]

То есть сначала предмет находился в двойном фокусе, и его изображение по размеру было равно самому предмету.

Теперь предмет переместили, найдем, где его изображение:

    \[\frac{1}{F}=\frac{1}{d_1}+\frac{1}{f_1}\]

    \[\frac{1}{f_1}=\frac{1}{F}-\frac{1}{d_1}=\frac{1}{0,3}-\frac{1}{0,4}=\frac{5}{6}\]

    \[f=\frac{6}{5}=1,2\]

Расстояния от линзы до предмета и от линзы до изображения относятся как размеры предмета к размерам изображения и наоборот:

    \[\frac{f_1}{d_1}=\frac{H}{h}=3\]

Таким образом, изображение увеличится втрое.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *