Линзы 2: оптическая сила

[latexpage]

Этой статьей продолжается серия статей по геометрической оптике, связанных с построением в линзе и задачами на уравнение тонкой линзы. Начало здесь,  более сложные  – в следующих статьях.

Задача 1. Предмет расположен на расстоянии 40 см от линзы с оптической силой 2 дптр. Как изменится расстояние до изображения предмета, если его придвинуть к линзе на 15 см?

Запишем формулу линзы для первого случая (фокусное расстояние равно 0,5 м – это следует из данной оптической силы, а предмет находится на расстоянии, меньшем фокусного, следовательно, изображение в обоих случаях мнимое):

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{d_1}-\frac{1}{f_1}$$

А теперь для второго:

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{d_2}-\frac{1}{f_2}$$

Нам нужно найти $f_2-f_1$.

Тогда

$$\frac{1}{f_1}=\frac{1}{d_1} -\frac{1}{F}=\frac{1}{0,4}-2=0,5$$

$$\frac{1}{f_2}=\frac{1}{d_2}-\frac{1}{F}=\frac{1}{0,4-0,15}-2=2$$

То есть $ f_1=2$, $ f_2=0,5$, то есть определим $f_2-f_1=1,5$

Ответ: приблизится на 1,5 м.

Задача 2. Светящийся предмет находится на расстоянии 12,5 м от линзы, а его действительное изображение-на расстоянии 85 см от нее. Где получится изображение, если предмет придвинуть к линзе на 2,5 м?

Составим формулу линзы:

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{d_1}+\frac{1}{f_1}$$

А теперь для второго:

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{d_2}+\frac{1}{f_2}$$

Приравняем правые части:

$$\frac{1}{d_1}+\frac{1}{f_1}=\frac{1}{d_2}+\frac{1}{f_2}$$

Подставим числа:

$$\frac{1}{12,5}+\frac{1}{0,85}=\frac{1}{10}+\frac{1}{f_2}$$

$$\frac{1}{f_2}=\frac{1}{12,5}+\frac{1}{0,85}-\frac{1}{10}=1,16$$

$$f_2=\frac{1}{1,16}=0,864$$

Ответ: 86,4 см.

Задача 3.  Расстояние между предметом и экраном 120 см. Где нужно поместить собирающую линзу с фокусным расстоянием 25 см, чтобы на экране получилось четкое изображение предмета?

Составим систему:

$$d+f=1,2$$

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}$$

Или, подставляя во второе уравнение, имеем:

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{1,2-d}$$

Приводим к общему знаменателю правую часть:

$$\frac{1}{F}=\frac{1,2-d +d}{d(1,2-d)}= \frac{1,2}{d(1,2-d)}$$
Подставляем числа и решаем относительно $d$:

$$0,25\cdot1,2= d(1,2-d)$$

$$d^2-1,2d+0,3=0$$

$$d_1=0,855$$

$$d_2=0,355$$

Ответ: 85,5 см или 35,5 см.

Задача 4. Расстояние между электрической лампочкой и экраном 1 м. При каких положениях собирающей линзы с фокусным расстоянием 21 см изображение нити лампочки будет отчетливым? Можно ли получить четкое изображение, если фокусное расстояние другой линзы 26 см?

Составим систему:

$$d+f=1$$

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}$$

Или, подставляя во второе уравнение, имеем:

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{1-d}$$

Приводим к общему знаменателю правую часть:

$$\frac{1}{F}=\frac{1-d +d}{d(1-d)}= \frac{1}{d(1-d)}$$
Подставляем числа и решаем относительно $d$:

$$0,21\cdot1= d(1-d)$$

$$d^2-d+0,21=0$$

$$d_1=0,7$$

$$d_2=0,3$$

Ответ: 70 см или 30 см.

Теперь попробуем заменить линзу на другую:

$$0,26\cdot1= d(1-d)$$

$$d^2-d+0,26=0$$

У этого уравнения корней нет, следовательно, четкое изображение не получится.

Задача 5. Главное фокусное расстояние двояковыпуклой линзы 50 см. Предмет высотой 1,2 см помещен на расстоянии 60 см от линзы. Где и какой высоты изображение получится?

Определим сначала, где получится изображение:

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}$$

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{F}-\frac{1}{d}$$

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{0,5}-\frac{1}{0,6}=2-\frac{10}{6}=\frac{1}{3}$$

$$f=3$$

Высота изображения и высота предмета относятся так же, как и расстояния от предмета до линзы и от линзы до изображения:

$$\frac{H}{h}=\frac{f}{d}$$

Откуда

$$H=\frac{f\cdot h}{d}=\frac{3\cdot 0,012}{0,6}=0,06$$

Ответ: 6 см.

Задача 6. Определите главное фокусное расстояние рассеивающей линзы, если известно, что изображение предмета, помещенного перед ней на расстоянии 50 см, получилось уменьшенным в 5 раз.

Так как $\frac{h}{H}=5$, то $\frac{d}{f}=5$, и тогда можно записать формулу линзы:

$$-\frac{1}{F}=\frac{1}{d}-\frac{1}{f}$$

$$-\frac{1}{F}=\frac{1}{d}-\frac{5}{d}=-\frac{4}{d}=-\frac{4}{0,5}=8$$

Тогда фокусное расстояние равно $F=-12,5$ см.

Ответ: 12,5 см.

Задача 7. Мнимое изображение предмета, получаемое с помощью линзы, в 4,5 раза больше самого предмета. Чему равна оптическая сила линзы, если предмет находится от нее на расстоянии 3,8 см?

Оптическая сила линзы равна

$$D=\frac{1}{F}$$

$$D=\frac{1}{d}-\frac{1}{f}$$

По условию $\frac{f}{d}=\frac{H}{h}=4,5$, перепишем формулу линзы:

$$D=\frac{1}{d}-\frac{1}{4,5d}$$

$$D=\frac{3,5}{4,5d}=\frac{3,5}{4,5\cdot0,038}=20,5$$

Ответ: 20 дптр.

Задача 8. Расстояния от предмета до линзы и от линзы до действительного изображения предмета одинаковы и равны 60 см. Во сколько раз увеличится изображение, если предмет поместить на 20 см ближе к линзе?

Определим фокусное расстояние линзы:

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}$$

$$\frac{1}{F}=\frac{2}{d}=\frac{2}{0,6}$$

$$F=0,3$$

То есть сначала предмет находился в двойном фокусе, и его изображение по размеру было равно самому предмету.

Теперь предмет переместили, найдем, где его изображение:

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{d_1}+\frac{1}{f_1}$$

$$\frac{1}{f_1}=\frac{1}{F}-\frac{1}{d_1}=\frac{1}{0,3}-\frac{1}{0,4}=\frac{5}{6}$$
$$f=\frac{6}{5}=1,2$$

Расстояния от линзы до предмета и от линзы до изображения относятся как размеры предмета к размерам изображения и наоборот:

$$\frac{f_1}{d_1}=\frac{H}{h}=3$$

Таким образом, изображение увеличится втрое.