Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Емкости

Куб из конденсаторов

Вашему вниманию предлагается задача, в которой необходимо определить эквивалентную емкость куба, в ребра которого включены конденсаторы одинаковой емкости С.

Задача 1. Определим емкость получившейся батареи конденсаторов, если включить такой куб в цепь в точках A и C.

Дано

В дальнейшем я не буду рисовать сами конденсаторы, чтобы не загружать излишне рисунок.

Шаг 1. Сначала пересчитаем звезды из емкостей BDCE, BLCH и EFHC в треугольники. Звезды я выделила различными цветами, чтобы их было хорошо видно: красным, зеленым, голубым.

Шаг 1

Результат пересчета звезды  BDCE с геометрических позиций таков:

Шаг 1. Перерасчет звезды в треугольник

Емкости новых ветвей рассчитываются по формулам:

Переход от треугольника емкостей к звезде и обратно

Тогда для нашего случая:

    \[C_{BE}=C_{EC}=C_{BC}=\frac{C^2}{3C}=\frac{C}{3}\]

Аналогично будут пересчитаны и две другие звезды:

    \[C_{BH}=C_{HC}=C_{BC}=\frac{C^2}{3C}=\frac{C}{3}\]

    \[C_{HE}=C_{EC}=C_{HC}=\frac{C^2}{3C}=\frac{C}{3}\]

Шаг 2. Видим, что между точками B и C включены параллельно две емкости \frac{C}{3} (красное и голубое ребро), аналогично – две такие же емкости включены между точками E и C – красное и зеленое ребра, и между точками H и C – зеленое и голубое ребра. Так как параллельно соединенные емкости складываются, то преобразуем пары этих ребер в единичные, сложив их емкости:

    \[C_{BC1}=C_{HC1}=C_{EC1}=\frac{C}{3}+\frac{C}{3}=\frac{2C}{3}\]

Шаг 2.

Образовались рыжие ребра с емкостями по \frac{2C}{3}.

Шаг 3. Посмотрим теперь внимательно на схему: видно, что потенциалы точек B, E, H равны. Таким образом, емкости, оказавшиеся включенными в голубое, красное и зеленое ребра окажутся незаряженными: q=C(\varphi-\varphi)=0. Поэтому просто исключим их из схемы, получив при этом очень простую конструкцию:

Шаг 3.

Рассчитаем емкость ребра ABC:

    \[C_{ABC}=\frac{C_{AB}\cdot C_{BC}}{C_{AB}+C_{BC}}=\frac{C\cdot\frac{C}{3}}{C+\frac{C}{3}}=\frac{2C}{5}\]

Так как ребра ABC, AEC и AHC включены параллельно, их емкости можно сложить:

    \[C_{ekv}=C_{ABC}+C_{AEC}+C_{AHC}=3\cdotC_{ABC}=\frac{6C}{5}\]

Ответ: C_{ekv}=\frac{6C}{5}.

 

Задача 2. Определим емкость получившейся батареи конденсаторов, если включить куб в цепь в точках A и B.

Задача 2. Дано

Шаги 1-3 абсолютно идентичны, поэтому не повторяюсь. Получаем такую картину:

Задача 2. После шага 3.

Шаг 4. Произведем теперь перерасчет звезды BCEH в треугольник:

Шаг 4.

    \[C_{BH}=C_{EH}=C_{BE}=\frac{\left(\frac{2C}{3}\right)^2}{\frac{2C}{3}\cdot3}=\frac{2C}{9}\]

Шаг 5. Теперь точки подключения – A и B, следовательно, в этом случае одинаков потенциал точек E и H. Поэтому эквивалентная емкость в ветви EH окажется незаряженной, удалим ее:

Шаг 5.

Картина стала совсем простой:

Шаг 6.

Осталось определить емкости в ветвях AHB и AEB и затем сложить:

    \[C_{AHB}=\frac{C\cdot\frac{5C}{9}}{C+\frac{5C}{9}}=\frac{5C}{14}\]

    \[C_{ekv}=\frac{5C}{14}+\frac{5C}{14}+C=\frac{12C}{7}\]

Ответ: C_{ekv}=\frac{12C}{7}

 

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *