Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Экономическая задача (15)

Кредиты, кредиты, кредиты. Усложненные условия

В этой статье задачи со сложными условиями возврата кредита. Поэтому разберем по шагам.

Задача 1.  В июле 2019 года планируется взять кредит на 1 000 000 рублей. Условия возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 5% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле 2020, 2022, 2024, 2026 годах долг должен быть на 100 000 рублей меньше долга на июль предыдущего года;

— в остальные годы необходимо чтобы долг уменьшался на суммы, отличающиеся друг от друга на 50 000 рублей (в 2021 самое крупное уменьшение, в 2023 – на 50 000 рублей меньше и  т.д.);

—в июле 2027 года сумма долга должна равняться нулю.

Какую сумму необходимо выплатить банку в течение всего срока кредитования?

Решение. Составим таблицу:

годДолгПроцентПлатеж
2010001000*0,0550+100
21900900*0,0545+x
22900-x(900-x)*0,05(900-x)*0,05+100
23800-x(800-x)*0,05(800-x)*0,05+(x-50)
24850-2x(850-2x)*0,05(850-2x)*0,05+100
25750-2x(750-2x)*0,05(750-2x)*0,05+(x-100)
26850-3x(850-3x)*0,05(850-3x)*0,05+100
27750-3x=0

Получается (по последней строке таблицы), что

    \[750-3x=0\]

    \[x=250\]

Теперь мы точно знаем все выплаты и можем составить таблицу, в которой сосчитать, сколько было уплачено в качестве процентов:

ГодДолгПроцентПлатеж
20100050150
2190045295
2265032,5132,5
2355027,5227,5
2435017,5117,5
2525012,5162,5
261005105

Теперь можем определить сумму, уплаченную банку. Можно сложить все проценты и добавить к ним известную сумму кредита, а можно сосчитать сумму всех выплат из последнего столбца – это кому как удобнее.

    \[A=1000+50+45+32,5+27,5+17,5+12,5+5=1190\]

Или так:

    \[A=150+295+132,5+227,5+117,5+162,5+105=1190\]

Ответ: 1190 тыс. рублей.

 

Задача 2. В банке в честь Дня труда действует следующее предложение по выдаче кредита:

— кредит выдается сроком на 5 лет под 10%;

— в первый, третий и пятый годы после начисления процентов на текущую сумму долга клиент обязан внести некоторый платеж, одинаковый во все эти три года;

— во второй и четвертый годы после начисления процентов на текущую сумму долга выплачивает только проценты по кредиту.

Какое максимальное целое число тысяч рублей в кредит может позволить себе взять трудоголик Лера, если она знает, что переплата по кредиту не должна превысить 100 тысяч рублей?

Решение. Распишем задачу по шагам:

Первый год. Лера взяла сумму S и банк начислил на эту сумму проценты – 0,1S, поэтому к середине года долг Леры  – 1,1S. По условию задачи, Лера должна в первый год внести фиксированную сумму – пусть x. Тогда долг Леры на конец первого года равен 1,1S-x.

Второй год. Банк начисляет Лере проценты – 0,1(1,1S-x) – и Лера их и выплачивает. Поэтому на конец года долг тот же – 1,1S-x.

Третий год. Банк начисляет Лере проценты – 0,1(1,1S-x) и сумма долга Леры к середине года равна 1,1(1,1S-x). По условию, в этом году Лера вносит платеж x, поэтому к концу года она должна банку 1,1(1,1S-x)-x.

Четвертый год. Банк начисляет Лере проценты – 0,1(1,1(1,1S-x)-x) – и Лера их и выплачивает. Поэтому на конец года долг тот же – 1,1(1,1S-x)-x.

Пятый год. Снова банк начислит проценты, а Лера внесет платеж x:

    \[1,1(1,1(1,1S-x)-x)-x=0\]

    \[1,331S=3,31x\]

    \[x=\frac{1,331S }{3,31}\]

Пока оставим это уравнение – оно позволило связать x и S и дальше нам обязательно пригодится. Посчитаем переплату Леры. Сколько всего денег она заплатила банку? Три раза по x, а еще были проценты во втором и четвертом годах:

    \[A=3x+0,1(1,1S-x)+ 0,1(1,1(1,1S-x)-x)=3x+0,11S-0,1x+0,121S-0,21x=2,69x+0,231S\]

Переплата – это общее количество выплаченных банку денег без самой суммы кредита:

    \[P=A-S=2,69x-0,769S\]

И эта переплата должна быть меньше, чем 100 тыс.:

    \[2,69x-0,769S<100\]

Подставим x:

    \[2,69\cdot \frac{1,331S }{3,31}-0,769S<100\]

Считать придется примерно, потому что здесь не делится «хорошо».

    \[0,313S<100\]

    \[S<319,8\]

    \[S=319\]

Ответ: 319 тысяч Лера может взять в кредит.

Задача 3. В банке «Слава труду» один день в году в честь Дня трудоголика действует следующее льготное предложение по условиям кредита:

– кредит выдается сроком на 4 года, при этом первые три года кредитования действует пониженная ставка годовых 10\%, в последний год действует уже стандартная ставка годовых 20\%;

– в конце первого и третьего года после начисления процентов на текущую сумму долга клиент выплачивает только проценты по кредиту, набежавшие за предшествующий год;

– в конце второго и четвертого года после начисления процентов на текущую сумму долга клиент обязан внести некоторый платеж, причем в конце четвертого года — в два раза больший, чем в конце второго.

Какую наибольшую сумму (в тысячах рублей) может позволить себе взять в

кредит трудоголик Клава, если для нее важно, чтобы переплата по кредиту

не превысила 81250 руб.

Решение.

Снова распишем по годам:

Первый год. Долг Клавы – S (столько она взяла в кредит), и банк начислит проценты на эту сумму: 0,1S. Клава выплачивает в данном году только проценты, поэтому ее долг остается равным S.

Второй год. Банк снова начисляет проценты и долг Клавы в середине года равен 0,1S+S=1,1S. В этом году Клава вносит платеж x. Поэтому к концу года она должна 1,1S-x.

Третий год. Банк начисляет Клаве проценты и она выплачивает только их, ее платеж в этом году равен 0,1(1,1S-x). Сумма долга осталась прежней и равна 1,1S-x.

Четвертый год. Процент вырос! Банк начислит процент, сумма долга в середине года равна 0,2(1,1S-x)+ 1,1S-x=1,2(1,1S-x). Клава в этом году внесет платеж 2x, и вернет кредит полностью:

    \[1,2(1,1S-x)-2x=0\]

    \[1,32S-3,2x=0\]

    \[x=\frac{1,32S}{3,2}\]

Мы связали S и x. Посчитаем переплату: A=2x+x+0,1S+0,1(1,1S-x) – такова полная сумма, уплаченная банку. Переплата составила

    \[P=A-S=3x+0,1S+0,11S-0,1x-S=2,9x-0,79S\leqslant81250\]

Подставим x:

    \[2,9\cdot \frac{1,32S}{3,2} -0,79S\leqslant 81250\]

    \[0,40625S\leqslant 81250\]

    \[S\leqslant 200000\]

Ответ: Клава может взять в кредит 200 тыс. рублей.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *