Кредиты, кредиты, кредиты. Усложненные условия

[latexpage]

В этой статье задачи со сложными условиями возврата кредита. Поэтому разберем по шагам.

Задача 1.  В июле 2019 года планируется взять кредит на 1 000 000 рублей. Условия возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 5% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле 2020, 2022, 2024, 2026 годах долг должен быть на 100 000 рублей меньше долга на июль предыдущего года;

— в остальные годы необходимо чтобы долг уменьшался на суммы, отличающиеся друг от друга на 50 000 рублей (в 2021 самое крупное уменьшение, в 2023 – на 50 000 рублей меньше и  т.д.);

—в июле 2027 года сумма долга должна равняться нулю.

Какую сумму необходимо выплатить банку в течение всего срока кредитования?

Решение. Составим таблицу:

Получается (по последней строке таблицы), что

$$750-3x=0$$

$$x=250$$

Теперь мы точно знаем все выплаты и можем составить таблицу, в которой сосчитать, сколько было уплачено в качестве процентов:

Теперь можем определить сумму, уплаченную банку. Можно сложить все проценты и добавить к ним известную сумму кредита, а можно сосчитать сумму всех выплат из последнего столбца – это кому как удобнее.

$$A=1000+50+45+32,5+27,5+17,5+12,5+5=1190$$

Или так:

$$A=150+295+132,5+227,5+117,5+162,5+105=1190$$

Ответ: 1190 тыс. рублей.

Задача 2. В банке в честь Дня труда действует следующее предложение по выдаче кредита:

— кредит выдается сроком на 5 лет под 10%;

— в первый, третий и пятый годы после начисления процентов на текущую сумму долга клиент обязан внести некоторый платеж, одинаковый во все эти три года;

— во второй и четвертый годы после начисления процентов на текущую сумму долга выплачивает только проценты по кредиту.

Какое максимальное целое число тысяч рублей в кредит может позволить себе взять трудоголик Лера, если она знает, что переплата по кредиту не должна превысить 100 тысяч рублей?

Решение. Распишем задачу по шагам:

Первый год. Лера взяла сумму $S$ и банк начислил на эту сумму проценты – $0,1S$, поэтому к середине года долг Леры  – $1,1S$. По условию задачи, Лера должна в первый год внести фиксированную сумму – пусть $x$. Тогда долг Леры на конец первого года равен $1,1S-x$.

Второй год. Банк начисляет Лере проценты – $0,1(1,1S-x)$ – и Лера их и выплачивает. Поэтому на конец года долг тот же – $1,1S-x$.

Третий год. Банк начисляет Лере проценты – $0,1(1,1S-x)$ и сумма долга Леры к середине года равна $1,1(1,1S-x)$. По условию, в этом году Лера вносит платеж $x$, поэтому к концу года она должна банку $1,1(1,1S-x)-x$.

Четвертый год. Банк начисляет Лере проценты – $0,1(1,1(1,1S-x)-x)$ – и Лера их и выплачивает. Поэтому на конец года долг тот же – $1,1(1,1S-x)-x$.

Пятый год. Снова банк начислит проценты, а Лера внесет платеж $x$:

$$1,1(1,1(1,1S-x)-x)-x=0$$

$$1,331S=3,31x$$

$$x=\frac{1,331S }{3,31}$$

Пока оставим это уравнение – оно позволило связать $x$ и $S$ и дальше нам обязательно пригодится. Посчитаем переплату Леры. Сколько всего денег она заплатила банку? Три раза по $x$, а еще были проценты во втором и четвертом годах:

$$A=3x+0,1(1,1S-x)+ 0,1(1,1(1,1S-x)-x)=3x+0,11S-0,1x+0,121S-0,21x=2,69x+0,231S$$

Переплата – это общее количество выплаченных банку денег без самой суммы кредита:

$$P=A-S=2,69x-0,769S$$

И эта переплата должна быть меньше, чем 100 тыс.:

$$2,69x-0,769S<100$$

Подставим $x$:

$$2,69\cdot \frac{1,331S }{3,31}-0,769S<100$$

Считать придется примерно, потому что здесь не делится «хорошо».

$$0,313S<100$$

$$S<319,8$$

$$S=319$$

Ответ: 319 тысяч Лера может взять в кредит.

Задача 3. В банке «Слава труду» один день в году в честь Дня трудоголика действует следующее льготное предложение по условиям кредита:

– кредит выдается сроком на 4 года, при этом первые три года кредитования действует пониженная ставка годовых 10$\%$, в последний год действует уже стандартная ставка годовых 20$\%$;

– в конце первого и третьего года после начисления процентов на текущую сумму долга клиент выплачивает только проценты по кредиту, набежавшие за предшествующий год;

– в конце второго и четвертого года после начисления процентов на текущую сумму долга клиент обязан внести некоторый платеж, причем в конце четвертого года — в два раза больший, чем в конце второго.

Какую наибольшую сумму (в тысячах рублей) может позволить себе взять в

кредит трудоголик Клава, если для нее важно, чтобы переплата по кредиту

не превысила 81250 руб.

Решение.

Снова распишем по годам:

Первый год. Долг Клавы – $S$ (столько она взяла в кредит), и банк начислит проценты на эту сумму: $0,1S$. Клава выплачивает в данном году только проценты, поэтому ее долг остается равным $S$.

Второй год. Банк снова начисляет проценты и долг Клавы в середине года равен $0,1S+S=1,1S$. В этом году Клава вносит платеж $x$. Поэтому к концу года она должна $1,1S-x$.

Третий год. Банк начисляет Клаве проценты и она выплачивает только их, ее платеж в этом году равен $0,1(1,1S-x)$. Сумма долга осталась прежней и равна $1,1S-x$.

Четвертый год. Процент вырос! Банк начислит процент, сумма долга в середине года равна $0,2(1,1S-x)+ 1,1S-x=1,2(1,1S-x)$. Клава в этом году внесет платеж $2x$, и вернет кредит полностью:

$$1,2(1,1S-x)-2x=0$$

$$1,32S-3,2x=0$$

$$x=\frac{1,32S}{3,2}$$

Мы связали $S$ и $x$. Посчитаем переплату: $A=2x+x+0,1S+0,1(1,1S-x)$ – такова полная сумма, уплаченная банку. Переплата составила

$$P=A-S=3x+0,1S+0,11S-0,1x-S=2,9x-0,79S\leqslant81250$$

Подставим $x$:

$$2,9\cdot \frac{1,32S}{3,2} -0,79S\leqslant 81250$$

$$0,40625S\leqslant 81250$$

$$S\leqslant 200000$$

Ответ: Клава может взять в кредит 200 тыс. рублей.