[latexpage]
В этой статье задачи со сложными условиями возврата кредита. Поэтому разберем по шагам.
Задача 1. В июле 2019 года планируется взять кредит на 1 000 000 рублей. Условия возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 5% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле 2020, 2022, 2024, 2026 годах долг должен быть на 100 000 рублей меньше долга на июль предыдущего года;
— в остальные годы необходимо чтобы долг уменьшался на суммы, отличающиеся друг от друга на 50 000 рублей (в 2021 самое крупное уменьшение, в 2023 – на 50 000 рублей меньше и т.д.);
—в июле 2027 года сумма долга должна равняться нулю.
Какую сумму необходимо выплатить банку в течение всего срока кредитования?
Решение. Составим таблицу:
год | Долг | Процент | Платеж |
---|---|---|---|
20 | 1000 | 1000*0,05 | 50+100 |
21 | 900 | 900*0,05 | 45+x |
22 | 900-x | (900-x)*0,05 | (900-x)*0,05+100 |
23 | 800-x | (800-x)*0,05 | (800-x)*0,05+(x-50) |
24 | 850-2x | (850-2x)*0,05 | (850-2x)*0,05+100 |
25 | 750-2x | (750-2x)*0,05 | (750-2x)*0,05+(x-100) |
26 | 850-3x | (850-3x)*0,05 | (850-3x)*0,05+100 |
27 | 750-3x=0 |
Получается (по последней строке таблицы), что
$$750-3x=0$$
$$x=250$$
Теперь мы точно знаем все выплаты и можем составить таблицу, в которой сосчитать, сколько было уплачено в качестве процентов:
Год | Долг | Процент | Платеж |
---|---|---|---|
20 | 1000 | 50 | 150 |
21 | 900 | 45 | 295 |
22 | 650 | 32,5 | 132,5 |
23 | 550 | 27,5 | 227,5 |
24 | 350 | 17,5 | 117,5 |
25 | 250 | 12,5 | 162,5 |
26 | 100 | 5 | 105 |
Теперь можем определить сумму, уплаченную банку. Можно сложить все проценты и добавить к ним известную сумму кредита, а можно сосчитать сумму всех выплат из последнего столбца – это кому как удобнее.
$$A=1000+50+45+32,5+27,5+17,5+12,5+5=1190$$
Или так:
$$A=150+295+132,5+227,5+117,5+162,5+105=1190$$
Ответ: 1190 тыс. рублей.
Задача 2. В банке в честь Дня труда действует следующее предложение по выдаче кредита:
— кредит выдается сроком на 5 лет под 10%;
— в первый, третий и пятый годы после начисления процентов на текущую сумму долга клиент обязан внести некоторый платеж, одинаковый во все эти три года;
— во второй и четвертый годы после начисления процентов на текущую сумму долга выплачивает только проценты по кредиту.
Какое максимальное целое число тысяч рублей в кредит может позволить себе взять трудоголик Лера, если она знает, что переплата по кредиту не должна превысить 100 тысяч рублей?
Решение. Распишем задачу по шагам:
Первый год. Лера взяла сумму $S$ и банк начислил на эту сумму проценты – $0,1S$, поэтому к середине года долг Леры – $1,1S$. По условию задачи, Лера должна в первый год внести фиксированную сумму – пусть $x$. Тогда долг Леры на конец первого года равен $1,1S-x$.
Второй год. Банк начисляет Лере проценты – $0,1(1,1S-x)$ – и Лера их и выплачивает. Поэтому на конец года долг тот же – $1,1S-x$.
Третий год. Банк начисляет Лере проценты – $0,1(1,1S-x)$ и сумма долга Леры к середине года равна $1,1(1,1S-x)$. По условию, в этом году Лера вносит платеж $x$, поэтому к концу года она должна банку $1,1(1,1S-x)-x$.
Четвертый год. Банк начисляет Лере проценты – $0,1(1,1(1,1S-x)-x)$ – и Лера их и выплачивает. Поэтому на конец года долг тот же – $1,1(1,1S-x)-x$.
Пятый год. Снова банк начислит проценты, а Лера внесет платеж $x$:
$$1,1(1,1(1,1S-x)-x)-x=0$$
$$1,331S=3,31x$$
$$x=\frac{1,331S }{3,31}$$
Пока оставим это уравнение – оно позволило связать $x$ и $S$ и дальше нам обязательно пригодится. Посчитаем переплату Леры. Сколько всего денег она заплатила банку? Три раза по $x$, а еще были проценты во втором и четвертом годах:
$$A=3x+0,1(1,1S-x)+ 0,1(1,1(1,1S-x)-x)=3x+0,11S-0,1x+0,121S-0,21x=2,69x+0,231S$$
Переплата – это общее количество выплаченных банку денег без самой суммы кредита:
$$P=A-S=2,69x-0,769S$$
И эта переплата должна быть меньше, чем 100 тыс.:
$$2,69x-0,769S<100$$
Подставим $x$:
$$2,69\cdot \frac{1,331S }{3,31}-0,769S<100$$
Считать придется примерно, потому что здесь не делится «хорошо».
$$0,313S<100$$
$$S<319,8$$
$$S=319$$
Ответ: 319 тысяч Лера может взять в кредит.
Задача 3. В банке «Слава труду» один день в году в честь Дня трудоголика действует следующее льготное предложение по условиям кредита:
– кредит выдается сроком на 4 года, при этом первые три года кредитования действует пониженная ставка годовых 10$\%$, в последний год действует уже стандартная ставка годовых 20$\%$;
– в конце первого и третьего года после начисления процентов на текущую сумму долга клиент выплачивает только проценты по кредиту, набежавшие за предшествующий год;
– в конце второго и четвертого года после начисления процентов на текущую сумму долга клиент обязан внести некоторый платеж, причем в конце четвертого года — в два раза больший, чем в конце второго.
Какую наибольшую сумму (в тысячах рублей) может позволить себе взять в
кредит трудоголик Клава, если для нее важно, чтобы переплата по кредиту
не превысила 81250 руб.
Решение.
Снова распишем по годам:
Первый год. Долг Клавы – $S$ (столько она взяла в кредит), и банк начислит проценты на эту сумму: $0,1S$. Клава выплачивает в данном году только проценты, поэтому ее долг остается равным $S$.
Второй год. Банк снова начисляет проценты и долг Клавы в середине года равен $0,1S+S=1,1S$. В этом году Клава вносит платеж $x$. Поэтому к концу года она должна $1,1S-x$.
Третий год. Банк начисляет Клаве проценты и она выплачивает только их, ее платеж в этом году равен $0,1(1,1S-x)$. Сумма долга осталась прежней и равна $1,1S-x$.
Четвертый год. Процент вырос! Банк начислит процент, сумма долга в середине года равна $0,2(1,1S-x)+ 1,1S-x=1,2(1,1S-x)$. Клава в этом году внесет платеж $2x$, и вернет кредит полностью:
$$1,2(1,1S-x)-2x=0$$
$$1,32S-3,2x=0$$
$$x=\frac{1,32S}{3,2}$$
Мы связали $S$ и $x$. Посчитаем переплату: $A=2x+x+0,1S+0,1(1,1S-x)$ – такова полная сумма, уплаченная банку. Переплата составила
$$P=A-S=3x+0,1S+0,11S-0,1x-S=2,9x-0,79S\leqslant81250$$
Подставим $x$:
$$2,9\cdot \frac{1,32S}{3,2} -0,79S\leqslant 81250$$
$$0,40625S\leqslant 81250$$
$$S\leqslant 200000$$
Ответ: Клава может взять в кредит 200 тыс. рублей.
Через недельку...
и за этот ответ спасибо. Теперь уж...
Огромное спасибо...
А почему я не вижу нормального текста ? Половина текст ,а другая половина символы ...
Ждем-с. Скоро...