Красное смещение

[latexpage]

В этой статье собраны задачи из сборника задач для учеников 179 школы Москвы. В этой школе астрономию преподают на очень высоком уровне, представленные задачи в большинстве своем из олимпиад прошлых лет городского и регионального уровня. Задачи подобраны Шатовской Натальей Евгеньевной, учителем школы 179 г. Москвы.

Задача 1. Галактика, находящаяся на расстоянии 150 Мпк, имеет видимый угловой диаметр 21”. Сравните её линейные размеры с размерами нашей Галактики.

$$D=\frac{rd}{206265’’}=\frac{150\cdot10^6\cdot21}{206265’’}=15000$$

Размер нашей галактики $10^5$ парсек, следовательно, исследуемая  примерно в 6 раз меньше.

Ответ: 15 кпк.

Задача 2. Туманность Андромеды – самая близкая к нам из галактик, сходных с нашей по размерам и форме. Она находится на расстоянии примерно 2 млн. световых  лет.   Чтобы   уяснить   себе,   что   значит   “близко”   для   галактик, вычислите, сколько таких галактик, как наша, можно выстроить в ряд одну за другой между нами и галактикой Андромеды.

Разделим 2 млн. световых  лет на 3,26 св. лет, что составляет 1 пк. Получим расстояние в 613 500 парсек. Следовательно, можно выстроить в ряд 6 таких галактик, как наша, между нашей и туманностью Андромеды.

Ответ: 6.

Задача 3. На каком расстоянии находится галактика, если скорость её удаления составляет $2\cdot10^4$ км/с? Постоянную Хаббла принять равной 75 км/сМпк.

$$r=\frac{\upsilon}{H}=\frac{20000}{75}=267$$

Ответ: 267 Мпк.

Задача 4. Галактика удаляется со скоростью 10000 км/с и имеет видимый размер 1′. Сколько времени потребуется лучу света, чтобы пересечь её по диаметру?

С одной стороны,

$$r=\frac{\upsilon}{H}=\frac{10000}{68}=147,5$$

То есть расстояние до галактики 147,5 Мпк.

С другой,

$$D=\frac{rd}{3438}=\frac{ 147,5\cdot10^6 \cdot 1’}{ 3438’}=42757$$

Определим, сколько это в световых годах: $42757\cdot3,26=139390$.

Ответ: 139390 лет.

Задача 5. На какой длине волны приходит к нам излучение атомов межзвёздного водорода от галактики, удалённой на расстояние 1300 Мпк? (Длина волны неподвижного источника – 21 см).

Расстояние до галактики может быть определено как

$$r=\frac{\upsilon}{H}=\frac{cz}{H}$$

Где

$$z=\frac{\Delta \lambda}{\lambda}$$

Откуда

$$z=\frac{rH}{c}=\frac{1300\cdot68}{300000}=0,29$$

Теперь определим изменение длины линии:

$$\Delta \lambda=\lambda z=21\cdot0,29=6,09$$

Таким образом, длина линии становится равной 27,1 см.

Ответ: 27,1 см.

Задача 6. Из-за красного смещения длина волны спектральных линий галактики увеличена в 1,2 раза. Каково расстояние до галактики в парсеках и световых годах?

По условию

$$z=\frac{\Delta \lambda}{\lambda}=0,2$$

Соответственно,

$$r=\frac{cz}{H}=\frac{300000\cdot0,2}{68}=896$$

Ответ: 896 Мпк.

Задача 7. Самый яркий и один из самых близких квазаров выглядит как звёздочка 13-й величины и имеет при этом красное смещение $\frac{\Delta \lambda}{\lambda}=0,16$. Определите расстояние до квазара (в пк и световых годах) и его светимость.

Расстояние равно

$$r=\frac{cz}{H}=\frac{300000\cdot0,16}{68}=717$$

Абсолютная звездная  величина квазара

$$M=m+5-5\lg r=13+5-5\lg 717=-23,3$$

Светимость можно определить по формуле Погсона

$$\lg L=0,4(M_{\odot}-M)=0,4(4,77+23,3)=11,22$$

$$L=10^{11}$$

Ответ: $10^{11}$ светимостей Солнца.

Задача 8. Галактика A имеет красное смещение 0,05. Галактика B, расположенная на небе в 90 градусах от галактики A, имеет красное смещение 0,1. Какое красное смещение будет иметь галактика B для наблюдателя в галактике A?

Расстояние до галактики А

$$r_A=\frac{cz_A}{H}$$

А до галактики В

$$r_B=\frac{cz_B}{H}$$

По теореме Пифагора определим расстояние между галактиками:

$$r_{AB}=\frac{c}{H}\sqrt{r_A^2+r_B^2}=\frac{300000}{68}\sqrt{0,05^2+0,1^2}=501$$

Тогда можем определить красное смещение:

$$z_{AB}=\frac{rH}{c}=\frac{501\cdot68}{300000}=0,112$$

Ответ: 0,112.