Красивый график уравнения в задаче с параметром

[latexpage]

Предлагаю решить интересную задачу с параметрами: определить значения параметра $a$, при котором система имеет более двух решений.

$$\begin{Bmatrix}{\mid x^2-2x\mid+x^2=\mid y^2-2y\mid+y^2}\\{x+y=a}\end{matrix}$$

Если со вторым уравнением системы все понятно – это прямая с постоянным коэффициентом наклона, параллельная биссектрисе второго-четвертого квадрантов, скользящая вверх-вниз в зависимости от значения параметра, то с первым непонятно ничего, то есть трудно представить сразу, что же за кривая получится при построении. Уже прикидка показывает, что окружности не получаются… Поэтому я решила снять модули и посмотреть на результат. Приравняв первое подмодульное выражение к нулю, я получила точки 0 и 2: $x^2-2x=0$, $x(x-2)=0$. То есть в областях $x \in (-\infty; 0] \cup (2;+\infty)$ модуль должен быть снят со знаком плюс, а в области $x \in (0;2]$ – с минусом. Ту же операцию я проделала и со вторым подмодульным выражением, получила те же корни, которые разбили мне теперь уже ось $y$ на такие же интервалы. В итоге вышло, что координатная плоскость оказалась разбита на области, квадраты и прямоугольники, в каждой из которых я обозначила знаки, с которыми нужно будет снять модули:

Области смены знаков подмодульных выражений

Первый знак относится к первому модулю, второй – ко второму. Хорошо, что некоторые области обладали одинаковыми знаками: все-таки считать поменьше.

Итак, снимаем модули. Области $++$:

$$2x^2-2x=2y^2-2y$$

$$x^2-x=y^2-y$$

Понять, как это будет выглядеть – пока трудно.

Область $–$:

$$-x^2+2x+x^2=-y^2+2y+y^2$$

$$x=y$$

Это, по крайней мере, просто прямая, совпадающая с биссектрисой первого квадранта.

Области $+-$:

$$x^2-2x+x^2=2y$$

$$y=x^2-x$$

Это парабола, тоже знакомо.

Область $-+$:

$$2x=2y^2-2y$$

$$x=y^2-y$$

Попробуем построить то, что получилось. Тут нужно не забыть, что строим мы каждую кривую (или прямую) только в ее области.

В тех областях, где два плюса, я просто брала значение $x$ и, подставив в уравнение, определяла $y$. Каждый раз получалось квадратное уравнение, поэтому корней (и точек) получалось две. Вот что получилось:

Области с двумя “плюсами”

После этого я построила кусочек прямой в области, где два минуса, и кусочек параболы в области $+-$. Настала очередь последней области, $-+$. Вы уже догадались, как будет выглядеть там график этого уравнения? Да, это такая же парабола, но отраженная относительно биссектрисы первого-третьего квадрантов! Свою догадку я проверила, подставляя значения $x$ и решая уравнение. В итоге вот что получилось:

График всего уравнения

Решение теперь можно записывать прямо «с листа»:  все видно, как на  ладони.

При $a\leqslant 0$ один корень; в нуле наша скользящая прямая коснется графика первого уравнения;

При $0<a<1$ скользящая прямая пересечет график в дух точках – этот вариант берем в ответ, он нас устраивает;

При $a=1$ имеем бесконечно много корней, так как прямая совпадет с графиком уравнения во многих точках;

При $a>1$ – один корень.

Ответ: $a \in (0;1)$