Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Параметры (18 (С5))

Красивый график уравнения в задаче с параметром

Предлагаю решить интересную задачу с параметрами: определить значения параметра a, при котором система имеет более двух решений.

    \[\begin{Bmatrix}{\mid x^2-2x\mid+x^2=\mid y^2-2y\mid+y^2}\\{x+y=a}\end{matrix}\]

Если со вторым уравнением системы все понятно – это прямая с постоянным коэффициентом наклона, параллельная биссектрисе второго-четвертого квадрантов, скользящая вверх-вниз в зависимости от значения параметра, то с первым непонятно ничего, то есть трудно представить сразу, что же за кривая получится при построении. Уже прикидка показывает, что окружности не получаются… Поэтому я решила снять модули и посмотреть на результат. Приравняв первое подмодульное выражение к нулю, я получила точки 0 и 2: x^2-2x=0, x(x-2)=0. То есть в областях x \in (-\infty; 0] \cup (2;+\infty) модуль должен быть снят со знаком плюс, а в области x \in (0;2] – с минусом. Ту же операцию я проделала и со вторым подмодульным выражением, получила те же корни, которые разбили мне теперь уже ось y на такие же интервалы. В итоге вышло, что координатная плоскость оказалась разбита на области, квадраты и прямоугольники, в каждой из которых я обозначила знаки, с которыми нужно будет снять модули:

Области смены знаков подмодульных выражений

Первый знак относится к первому модулю, второй – ко второму. Хорошо, что некоторые области обладали одинаковыми знаками: все-таки считать поменьше.

Итак, снимаем модули. Области ++:

    \[2x^2-2x=2y^2-2y\]

    \[x^2-x=y^2-y\]

Понять, как это будет выглядеть – пока трудно.

Область --:

    \[-x^2+2x+x^2=-y^2+2y+y^2\]

    \[x=y\]

Это, по крайней мере, просто прямая, совпадающая с биссектрисой первого квадранта.

Области +-:

    \[x^2-2x+x^2=2y\]

    \[y=x^2-x\]

Это парабола, тоже знакомо.

Область -+:

    \[2x=2y^2-2y\]

    \[x=y^2-y\]

Попробуем построить то, что получилось. Тут нужно не забыть, что строим мы каждую кривую (или прямую) только в ее области.

В тех областях, где два плюса, я просто брала значение x и, подставив в уравнение, определяла y. Каждый раз получалось квадратное уравнение, поэтому корней (и точек) получалось две. Вот что получилось:

Области с двумя “плюсами”

После этого я построила кусочек прямой в области, где два минуса, и кусочек параболы в области +-. Настала очередь последней области, -+. Вы уже догадались, как будет выглядеть там график этого уравнения? Да, это такая же парабола, но отраженная относительно биссектрисы первого-третьего квадрантов! Свою догадку я проверила, подставляя значения x и решая уравнение. В итоге вот что получилось:

График всего уравнения

Решение теперь можно записывать прямо «с листа»:  все видно, как на  ладони.

При a\leqslant 0 один корень; в нуле наша скользящая прямая коснется графика первого уравнения;

При 0<a<1 скользящая прямая пересечет график в дух точках – этот вариант берем в ответ, он нас устраивает;

При a=1 имеем бесконечно много корней, так как прямая совпадет с графиком уравнения во многих точках;

При a>1 – один корень.

Ответ: a \in (0;1)

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *