Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Планиметрия (16 (C4))

Красивая планиметрическая задача


В треугольнике JVH на стороне VH выбрана точка M, а на стороне JV – точка N.  Отрезки JM и HN пересекаются в точке C. Чему равна площадь треугольника VNM, если VM:HM=2:1, площадь треугольника JVH равна 12, а площадь треугольника JNC равна 3?

Задача о площади

Решение: так как VM:HM=2:1, то \frac{S_{JVM}}{S_{JMH}}=\frac{2}{1}. Тогда S_{JVM}=8, S_{JMH}=4. Площадь четырехугольника S_{NVMC}=5. Отрезок NH разделен точкой С в некотором отношении, которое нам неизвестно. Однако, если записать это отношение \frac{CH}{NC}=k, то можно записать отношение площадей \frac{S_{JCH}}{S_{JNC}}=k, а также \frac{S_{CMH}}{S_{CMN}}=k. Обозначим S_{CMN}=a, тогда S_{CMH}=ka, а S_{JCH}=3k.

Известна площадь треугольника JMH: S_{JMH}=3k+ka=4, тогда k=\frac{4}{a+3}

Поскольку \frac{S_{NVM}}{S_{NMH}}=\frac{VM}{MH}=\frac{2}{1}, то

    \[\frac{5-a}{2}=a+ka\]

Подставим ранее полученное значение k:

    \[\frac{5-a}{2}=a(1+k)\]

    \[\frac{5-a}{2}=a(1+\frac{4}{a+3})\]

    \[\frac{5-a}{2}=\frac{(a+3)a+4a}{a+3})\]

    \[3a^2+12a-15=0\]

    \[a=1\]

Тогда определяем площадь треугольника S_{NVM}=5-a=5-1=4

 

Ответ: 4

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *