Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Тепловые двигатели

КПД теплового двигателя

В этой статье разобраны задачи на КПД тепловой машины. Статья пригодится как школьникам 8-го, так и школьникам 11-го классов при подготовке к ЕГЭ по физике.

Задача 1. На спир­тов­ке на­гре­ва­ют воду. Взяли 175 г  воды и на­гре­ли от 15^{\circ} С до 75^{\circ} С. При этом масса спир­тов­ки умень­ши­лась с 163 г до 157 г. Найти КПД теп­ло­вой уста­нов­ки.

Запишем формулу, по которой определяется КПД:

    \[\eta=\frac{Q_{polez}}{Q_{zatr}}\cdot 100\%\]

Определим «полезное» тепло. Это то тепло, которое пошло на нагрев воды (c_v=4200 Дж/(кг К) – удельная теплоемкость воды, табличная величина):

    \[Q_{polez}=c_v m \Delta t= c_v m(t_2-t_1)=4200\cdot 175\cdot10^{-3}\cdot(75-15)=44100\]

Теперь определим, сколько энергии было на это потрачено. Эта энергия выделилась при сгорании спирта (q Дж/кг – удельная теплота сгорания спирта, табличная величина):

    \[Q_{zatr}=q m=27\cdot10^6\cdot(163-157)=162\cdot10^3\]

Определяем КПД:

    \[\eta=\frac{Q_{polez}}{Q_{zatr}}\cdot 100\%=\frac{44100 }{162000}\cdot 100\%=27\%\]

Ответ: 27 %

 

Задача 2. Теп­ло­вой дви­га­тель со­вер­шил по­лез­ную ра­бо­ту 23000 кДж и из­рас­хо­до­вал при этом 2 кг бен­зи­на. Найти КПД теп­ло­во­го дви­га­те­ля.

Задача эта похожа на предыдущую, только проще. Здесь уже определена полезная работа, поэтому нам осталось определить затраченную (сколько джоулей получили при сгорании бензина):

    \[\eta=\frac{Q_{polez}}{Q_{zatr}}\cdot 100\%\]

Удельную теплоту сгорания бензина посмотрим в таблице – она равна 46 МДж/кг, поэтому

    \[Q_{zatr}=q m=46\cdot10^6\cdot2=92\cdot10^6\]

Определяем КПД:

    \[\eta=\frac{Q_{polez}}{Q_{zatr}}\cdot 100\%=\frac{23000000 }{92000000}\cdot 100\%=25\%\]

Ответ: 25 %

 

Задача 3. Тепловой двигатель совершает за цикл работу 800 Дж. При этом холодильнику передается количество теплоты 1000 Дж. Определите количество теплоты, получаемое от нагревателя за один цикл и КПД двигателя.

КПД двигателя можно найти как отношение работы к полученному количеству теплоты:

    \[\eta=\frac{A }{ Q_{pol}}\cdot 100\%\]

При этом работа, совершенная двигателем, равна разности полученного и отданного количеств теплоты:

    \[A= Q_{pol}- Q_{otd}\]

Тогда

    \[Q_{pol}- Q_{otd}=800\]

    \[Q_{otd}=1000\]

Следовательно, можем найти полученное двигателем количество теплоты:

    \[Q_{pol}= Q_{otd}+800=1800\]

Тогда КПД машины:

    \[\eta=\frac{A }{ Q_{pol}}\cdot 100\%=\frac{800}{1800}\cdot100\%=44\%\]

Ответ: Q_{pol}=1800 Дж, \eta=44\%.

 

Задача 4. КПД теплового двигателя равно 40 %. Какое количество теплоты получает этот двигатель от нагревателя за один цикл, если холодильнику при этом передается количество теплоты 400 Дж? Какую работу совершает двигатель за цикл?

КПД двигателя можно найти, как отношение разности полученного и отданного количеств теплоты к полученному количеству теплоты:

    \[\eta=\frac{ Q_{pol}-Q_{otd}}{ Q_{pol}}\cdot 100\%\]

Тогда

    \[Q_{pol}- Q_{otd}=\eta \cdot Q_{pol}\]

    \[Q_{otd}=400\]

Следовательно, можем найти полученное двигателем количество теплоты:

    \[Q_{pol}- Q_{otd}=0,4 Q_{pol}\]

    \[0,6Q_{pol}= Q_{otd}=400\]

    \[Q_{pol}=666\]

Тогда работа машины:

    \[A= Q_{pol}-Q_{otd}=666-400=266\]

Ответ: A=266 Дж, Q_{pol}=666.

 

Задача 5. Вычислите КПД теплового двигателя, если количество теплоты, отдаваемое холодильнику в 1,5 раза больше работы, совершенной двигателем за то же время. Найдите отношение количества теплоты, полученного от нагревателя за один цикл, к количеству теплоты, отданному холодильнику.

    \[\eta=\frac{ Q_{pol}-Q_{otd}}{ Q_{pol}}\cdot 100\%\]

Тогда

    \[Q_{pol}- Q_{otd}=\eta \cdot Q_{pol}\]

По условию

    \[Q_{otd}=1,5A=1,5(Q_{pol}- Q_{otd})\]

Откуда

    \[2,5Q_{otd}=1,5Q_{pol}\]

    \[Q_{pol}=\frac{5}{3}Q_{otd}\]

Тогда КПД машины:

    \[\eta=\frac{ Q_{pol}- Q_{otd} }{ Q_{pol}}\cdot 100\%=\frac{\frac{5}{3}Q_{otd}- Q_{otd}}{ \frac{5}{3}Q_{otd}}\cdot100\% =\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{5}\cdot100\%=40\%\]

Ответ: \frac{Q_{pol}}{Q_{otd}}=\frac{5}{3}=1,67, \eta=40\%.

 

Задача 6. Определите КПД теплового двигателя, если количество теплоты, получаемое рабочим веществом от нагревателя за один цикл,  в 1,6 раза больше количества теплоты, отданного холодильнику за то же время. Какова работа этого двигателя за цикл, если холодильнику было передано количество теплоты 600 Дж?

    \[\eta=\frac{ Q_{pol}-Q_{otd}}{ Q_{pol}}\cdot 100\%\]

Тогда

    \[Q_{pol}- Q_{otd}=\eta \cdot Q_{pol}\]

По условию

    \[1,6Q_{otd}=Q_{pol}\]

Тогда КПД машины:

    \[\eta=\frac{ Q_{pol}- Q_{otd} }{ Q_{pol}}\cdot 100\%=\frac{1,6Q_{otd}- Q_{otd}}{1,6Q_{otd}}\cdot100\% =\frac{0,6}{1,6}\cdot100\%=37,5\%\]

    \[A= Q_{pol}- Q_{otd}=1,6Q_{otd}- Q_{otd}=0,6 Q_{otd}=0,6\cdot600=360\]

Ответ: A=360 Дж, \eta=37,5\%.

 

Задача 7. Нагревателем тепловой машины является насыщенный водяной пар при температуре 100^{\circ} С, а холодильником —лед при температуре 0^{\circ} С. Найдите КПД этой машины, если за один цикл ее работы конденсируется 10 г пара в нагревателе и плавится 50 г льда в холодильнике. Удельная теплота парообразования воды 2,3 МДж/кг, удельная теплота плавления льда 340 кДж/кг.

При конденсации пара выделяется теплота. Это количество теплоты, полученное тепловым двигателем. Таяние льда, наоборот, требует передачи льду теплоты. Это – отданное машиной тепло. Найдем обе эти составляющие.

    \[Q_{pol}=m_p L=0,01\cdot2,3\cdot10^6=23000\]

    \[Q_{otd}=m_l\lambda=0,05\cdot3,4\cdot10^5=17000\]

Тогда КПД машины

    \[\eta=\frac{ Q_{pol}-Q_{otd}}{ Q_{pol}}\cdot 100\%=\frac{23000-17000}{23000}\cdot 100\%=26\%\]

Ответ: \eta=26\%.

 

Задача 8.Вычислите КПД теплового двигателя, если количество теплоты, отдаваемое холодильнику,  в 1,2 раза больше работы, совершенной двигателем за то же время. Найдите отношение количества теплоты, полученного от нагревателя за один цикл, к количеству теплоты, отданному холодильнику.

Предлагаю вам решить эту задачу самостоятельно, потому что ее решение – точно такое же, как у задачи 5. Приведу только ответ: 45%.

 

Задача 9. Определите КПД теплового двигателя, если количество теплоты, получаемое рабочим веществом от нагревателя за один цикл, в 1,4 раза больше количества теплоты, отданного холодильнику за то же время. Какова работа этого двигателя за цикл, если холодильнику было передано количество теплоты 600 Дж?

Предлагаю вам решить эту задачу самостоятельно, потому что ее решение простое, похоже на задачу 6. Приведу только ответ: 28,6\%, 240 Дж.

 

 

Задача 10.Тепловой двигатель с КПД, равным 20 %,  совершил работу 400 Дж. Какое количество теплоты при этом было передано холодильнику и какое –  получено от нагревателя?

    \[\eta=\frac{ Q_{pol}-Q_{otd}}{ Q_{pol}}\cdot 100\%\]

При этом работа, совершенная двигателем, равна разности полученного и отданного количеств теплоты:

    \[A= Q_{pol}- Q_{otd}\]

Тогда

    \[Q_{pol}- Q_{otd}=\eta \cdot Q_{pol}\]

    \[Q_{pol}- Q_{otd}=400\]

    \[400=0,2\cdot Q_{pol}\]

    \[Q_{pol}=2000\]

Следовательно, можем найти отданное двигателем количество теплоты:

    \[Q_{pol}- Q_{otd}=A\]

    \[Q_{otd}= Q_{pol}-A=2000-400=1600\]

Ответ:

Q_{pol}=2000 Дж, Q_{otd}=1600 Дж.

 

Задача 11. Существует некая цепочка из 5-ти двигателей, КПД каждого из которых 90%. 1-й двигатель получает от нагревателя 2 кДж, а все последующие двигатели потребляют полезную работу предыдущего. Будет ли такая цепочка эффективнее, чем один двигатель с КПД 60%, получающий то же количество теплоты от нагревателя?

Рассчитаем полезную работу первого двигателя:

    \[\eta=\frac{ A}{ Q_{pol}}\cdot 100\%\]

    \[A=\frac{\eta\cdot Q_{pol}}{100\%}=\frac{60\cdot 2000}{100}=1200\]

Теперь рассчитаем работу цепочки двигателей.

Первый:

    \[A=\frac{\eta\cdot Q_{pol}}{100\%}=\frac{90\cdot Q_{pol}}{100}=0,9Q_{pol}\]

Второй:

    \[A=\frac{\eta\cdot 0,9Q_{pol}}{100\%}=0,9^2Q_{pol}\]

Третий:

    \[A=\frac{\eta\cdot 0,9^2Q_{pol}}{100\%}=0,9^3Q_{pol}\]

Четвертый:

    \[A=\frac{\eta\cdot 0,9^3Q_{pol}}{100\%}=0,9^4Q_{pol}\]

Пятый:

    \[A=\frac{\eta\cdot 0,9^4Q_{pol}}{100\%}=0,9^5Q_{pol}=0,9^5\cdot2000=1181\]

Ответ: нет, не будет: 1181<1200 Дж.

Комментариев - 2

  • Александр
    |

    Из второй задачи (остальные не читал) не понятно откуда взялись цифры 46 и т.д. если дано только 23 000 килоджоулей и 2 часа. Мне 40 лет, кандидат экономических наук, и то я не сразу понял откуда. Восьмиклассники из этих примеров точно мало, что поймут и Анна Валерьевна будет считать их “неспособными”

    Ответить
    • Анна
      |

      Спасибо, поправила.

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *