КПД цикла

[latexpage]

Решаем задачи на КПД цикла. Задачи из задачника М.Ю. Демидовой «1000 задач» и из книги С.Н. Белолипецкого и др. Я его называю «Лягушки» – так как у него на обложке изображены три лягушки.

Задача 1. Цикл тепловой машины, рабочим веществом которой является один моль одноатомного идеального газа, состоит из изотермического расширения, изохорного охлаждения и адиабатического сжатия. В изохорном процессе температура газа понижается на $\Delta Т$, а работа, совершенная газом в изотермическом процессе, равна $A$. Определите КПД тепловой машины.

К задаче 1

Решение. Вся закрашенная область на рисунке – работа в изотермическом процессе.

Так как $\Delta T_{12}=0$, то и $\Delta U_{12}=0$. Значит, $Q_{12}=A$.

Работа в изохорном процессе равна нулю: $A_{23}=0$, $\Delta U_{23}=\frac{3}{2}\nu R\Delta T$.

На участке 1-2 газ получал тепло, на участке 2-3 – отдавал. Определяем КПД:

$$\eta=1-\frac{Q_x}{Q_n}=1-\frac{\frac{3}{2}\nu R\Delta T }{A}=1-\frac{3\nu R\Delta T }{2A}$$

Ответ: $\eta=1-\frac{3\nu R\Delta T }{2A}$

Задача 2. Тепловой двигатель использует в качестве рабочего вещества 1 моль идеального одноатомного газа. Цикл работы двигателя изображен на $pV$-диаграмме и состоит из двух адиабат, изохоры и изобары. Зная, что КПД этого цикла $\eta=15\%$, а минимальная и максимальная температуры газа при изохорном процессе $t_{min}=37^{\circ}$ С и $t_{max}=302^{\circ}$, определите количество теплоты, получаемое газом за цикл.

К задаче 2

Решение. На участке 1-2 газ получал тепло, на участке 3-4 – отдавал. Определяем КПД:

$$\eta=\frac{Q_{12}-Q_{34}}{Q_{12}}$$

Минимальная температура $T_{min}=310^{\circ}$ К, $T_{max}=575^{\circ}$ К.

$$Q_{34}=\Delta U_{34}=\frac{3}{2}\nu R\Delta T$$

$$\eta=1-\frac{Q_{34}}{Q_{12}}$$

Выходит, что

$$\frac{Q_{34}}{Q_{12}}=0,85$$

$$ Q_{12}=\frac{ Q_{34}}{0,85}=\frac{3}{2\cdot 0,85}\nu R\Delta T=\frac{3}{2\cdot 0,85}\cdot8,31\cdot 265=3886$$

Ответ:  3886 Дж.

Задача 3. В идеальной тепловой машине за счет каждого килоджоуля энергии, получаемой от нагревателя, совершается работа $A = 300$ Дж. Определите КПД $\eta$ машины и температуру $T_n$ нагревателя, если температура холодильника $T_x = 280$ К.

Решение. $Q_x=700$ Дж – так как поступает 1000 Дж, и 300 тратится на работу. Определим КПД:

$$\eta=1-\frac{T_x}{T_n}=1-\frac{700}{1000}=0,3$$

$$\frac{T_x}{T_n}=0,7$$

$$ T_n=\frac{280}{0,7}=400$$

Ответ: 400 К, $\eta=0,3$.

Задача 4. В ходе цикла Карно рабочее вещество получает от нагревателя количество теплоты $Q= 300$ кДж. Температуры нагревателя и холодильника равны соответственно $T_n = 450$ К и $T_x = 280$ К. Определите работу $A$, совершаемую рабочим веществом за цикл.

Решение. Определяем КПД по температурам.

$$\eta=1-\frac{T_x}{T_n}=1-\frac{280}{450}=0,62$$

$$A=\eta Q=0,62\cdot 300=113,3$$

Ответ: 113 Дж

Задача 5. Двигатель внутреннего сгорания имeeт КПД $\eta = 28\%$ при температуре горения топлива $t_1 = 927^{\circ}$С и при температуре отходящих газов $t_2= 447^{\circ}$ С. На какую величину $\Delta \eta$ КПД идеальной тепловой машины, работающей при тех же температурах нагревателя и холодильника, превышает КПД данного двигателя?

Решение.

Определяем КПД по температурам.

$$\eta=1-\frac{T_x}{T_n}=1-\frac{927+273-447-273}{927+273}=\frac{480}{1200}=0,4$$

Это для идеальной машины. Этот КПД отличается от данного на 12%.

Ответ: 12%.

Задача 6.  График циклического процесса, происходящего с идеальным одноатомным газом, изображен на рисунке. Определите работу $A$, совершенную газом в этом процессе, если количество газа  $\nu= 3$ моль, $T_1 = 400$ К, $T_2 = 800$ К, $T_4 = 1200$ К.

К задаче 6

Решение. Перерисуем данный график в оси $pV$ – в данных осях это будет прямоугольник. Так как $T_1 = 400$ К, а $T_2 = 800$ К – отличаются в 2 раза, то $T_3 = 2400$ К.

Работа в процессе 2-3 будет равна

$$A_{23}=\nu R\Delta T_{23}=3\cdot 8,31\cdot 1600=39888$$

Работа в процессе 4-1 будет равна

$$A_{41}=\nu R\Delta T_{23}=3\cdot 8,31\cdot 800=19944$$

Работа за цикл:

$$ A_{23}- A_{41}=39888-19944=19944$$

Ответ: 20 кДж.

Задача 7. На $pV$-диаграмме (см. рисунок) изображены графики двух циклических процессов, которые проводят с одноатомным газом: 1-2-3-1 и 1-3-4-1. У какого из циклов КПД больше и во сколько раз?

К задаче 7

Решение. Рассмотрим цикл 1231:

$$Q_{12}=\Delta U_{12}=\frac{3}{2}(2p_0V_0-p_0V_0)$$

$$ Q_{23}=\frac{5}{2}\cdot 2p_0\cdot 2V_0=10p_0V_0$$

$$Q= Q_{12}+ Q_{23}=11,5p_0V_0$$

Работа в цикле равна площади цикла:

$$A=\frac{p_0\cdot 2V_0}{2}= p_0V_0$$

$$\eta_{1231}=\frac{A}{Q}=\frac{ p_0V_0}{11,5 p_0V_0}=0,087$$

Теперь рассмотрим цикл 1341:

$$ Q_{13}=\frac{p_0+2p_0}{2}\cdot 2V_0+\frac{3}{2}(6p_0V_0-p_0V_0)$$

$$ Q_{13}=3p_0V_0+7,5p_0V_0=10,5p_0V_0$$

Работа в данном цикле такая же, как и в предыдущем.

$$\eta_{1341}=\frac{A}{ Q_{13}}=\frac{ p_0V_0}{10,5 p_0V_0}=0,095$$

У цикла 1341 КПД больше, определим во сколько раз:

$$\frac{\eta_{1341}}{\eta_{1231}}=\frac{1}{10,5}\cdot \frac{11,5}{1}=1,095$$

Ответ: в 1,095 раз.

Задача 8. Определите отношение $\frac{\eta_1}{\eta_2}$ коэффициентов полезного действия двух циклических процессов, проведенных с идеальным одноатомным газом: 1-2-3-4-1 (первый процесс) и 5-6-7-4-5 (второй процесс). Графики процессов представлены на рисунке.

К задаче 8

Решение. Рассмотрим процесс 1-2-3-4-1.

$$ Q_{12}=\Delta U_{12}=\frac{3}{2}p_0V_0$$

$$ Q_{23}=\frac{5}{2}\cdot 2p_0\cdot 2V_0=10p_0V_0$$

$$A=2p_0V_0$$

$$\eta_{12341}=\frac{A}{ Q_{12}+ Q_{23}}=\frac{ 2p_0V_0}{11,5 p_0V_0}=0,174$$

Теперь рассматриваем процесс 5-6-7-4-5.

$$ Q_{56}=\Delta U_{56}=\frac{3}{2}\cdot 4p_0V_0=6p_0V_0$$

$$ Q_{67}=\frac{5}{2}\cdot 3p_0V_0=7,5p_0V_0$$

$$A=2p_0V_0$$

$$\eta_{56745}=\frac{A}{ Q_{56}+ Q_{67}}=\frac{ 2p_0V_0}{13,5 p_0V_0}=0,148$$

$$\frac{\eta_1}{\eta_2}=\frac{2}{11,5}\cdot\frac{13,5}{2}=1,17$$

Ответ: 1,17