Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Первое начало термодинамики, Тепловые двигатели

КПД цикла

Решаем задачи на КПД цикла. Задачи из задачника М.Ю. Демидовой «1000 задач» и из книги С.Н. Белолипецкого и др. Я его называю «Лягушки» – так как у него на обложке изображены три лягушки.

Задача 1. Цикл тепловой машины, рабочим веществом которой является один моль одноатомного идеального газа, состоит из изотермического расширения, изохорного охлаждения и адиабатического сжатия. В изохорном процессе температура газа понижается на \Delta Т, а работа, совершенная газом в изотермическом процессе, равна A. Определите КПД тепловой машины.

К задаче 1

Решение. Вся закрашенная область на рисунке – работа в изотермическом процессе.

Так как \Delta T_{12}=0, то и \Delta U_{12}=0. Значит, Q_{12}=A.

Работа в изохорном процессе равна нулю: A_{23}=0, \Delta U_{23}=\frac{3}{2}\nu R\Delta T.

На участке 1-2 газ получал тепло, на участке 2-3 – отдавал. Определяем КПД:

    \[\eta=1-\frac{Q_x}{Q_n}=1-\frac{\frac{3}{2}\nu R\Delta T }{A}=1-\frac{3\nu R\Delta T }{2A}\]

Ответ: \eta=1-\frac{3\nu R\Delta T }{2A}

 

Задача 2. Тепловой двигатель использует в качестве рабочего вещества 1 моль идеального одноатомного газа. Цикл работы двигателя изображен на pV-диаграмме и состоит из двух адиабат, изохоры и изобары. Зная, что КПД этого цикла \eta=15\%, а минимальная и максимальная температуры газа при изохорном процессе t_{min}=37^{\circ} С и t_{max}=302^{\circ}, определите количество теплоты, получаемое газом за цикл.

К задаче 2

Решение. На участке 1-2 газ получал тепло, на участке 3-4 – отдавал. Определяем КПД:

    \[\eta=\frac{Q_{12}-Q_{34}}{Q_{12}}\]

Минимальная температура T_{min}=310^{\circ} К, T_{max}=575^{\circ} К.

    \[Q_{34}=\Delta U_{34}=\frac{3}{2}\nu R\Delta T\]

    \[\eta=1-\frac{Q_{34}}{Q_{12}}\]

Выходит, что

    \[\frac{Q_{34}}{Q_{12}}=0,85\]

    \[Q_{12}=\frac{ Q_{34}}{0,85}=\frac{3}{2\cdot 0,85}\nu R\Delta T=\frac{3}{2\cdot 0,85}\cdot8,31\cdot 265=3886\]

Ответ:  3886 Дж.

Задача 3. В идеальной тепловой машине за счет каждого килоджоуля энергии, получаемой от нагревателя, совершается работа A = 300 Дж. Определите КПД \eta машины и температуру T_n нагревателя, если температура холодильника T_x = 280 К.

Решение. Q_x=700 Дж – так как поступает 1000 Дж, и 300 тратится на работу. Определим КПД:

    \[\eta=1-\frac{T_x}{T_n}=1-\frac{700}{1000}=0,3\]

    \[\frac{T_x}{T_n}=0,7\]

    \[T_n=\frac{280}{0,7}=400\]

Ответ: 400 К, \eta=0,3.

Задача 4. В ходе цикла Карно рабочее вещество получает от нагревателя количество теплоты Q= 300 кДж. Температуры нагревателя и холодильника равны соответственно T_n = 450 К и T_x = 280 К. Определите работу A, совершаемую рабочим веществом за цикл.

Решение. Определяем КПД по температурам.

    \[\eta=1-\frac{T_x}{T_n}=1-\frac{280}{450}=0,62\]

    \[A=\eta Q=0,62\cdot 300=113,3\]

Ответ: 113 Дж

Задача 5. Двигатель внутреннего сгорания имeeт КПД \eta = 28\% при температуре горения топлива t_1 = 927^{\circ}С и при температуре отходящих газов t_2= 447^{\circ} С. На какую величину \Delta \eta КПД идеальной тепловой машины, работающей при тех же температурах нагревателя и холодильника, превышает КПД данного двигателя?

Решение.

Определяем КПД по температурам.

    \[\eta=1-\frac{T_x}{T_n}=1-\frac{927+273-447-273}{927+273}=\frac{480}{1200}=0,4\]

Это для идеальной машины. Этот КПД отличается от данного на 12%.

Ответ: 12%.

Задача 6.  График циклического процесса, происходящего с идеальным одноатомным газом, изображен на рисунке. Определите работу A, совершенную газом в этом процессе, если количество газа  \nu= 3 моль, T_1 = 400 К, T_2 = 800 К, T_4 = 1200 К.

К задаче 6

Решение. Перерисуем данный график в оси pV – в данных осях это будет прямоугольник. Так как T_1 = 400 К, а T_2 = 800 К – отличаются в 2 раза, то T_3 = 2400 К.

Работа в процессе 2-3 будет равна

    \[A_{23}=\nu R\Delta T_{23}=3\cdot 8,31\cdot 1600=39888\]

Работа в процессе 4-1 будет равна

    \[A_{41}=\nu R\Delta T_{23}=3\cdot 8,31\cdot 800=19944\]

Работа за цикл:

    \[A_{23}- A_{41}=39888-19944=19944\]

Ответ: 20 кДж.

 

Задача 7. На pV-диаграмме (см. рисунок) изображены графики двух циклических процессов, которые проводят с одноатомным газом: 1-2-3-1 и 1-3-4-1. У какого из циклов КПД больше и во сколько раз?

К задаче 7

Решение. Рассмотрим цикл 1231:

    \[Q_{12}=\Delta U_{12}=\frac{3}{2}(2p_0V_0-p_0V_0)\]

    \[Q_{23}=\frac{5}{2}\cdot 2p_0\cdot 2V_0=10p_0V_0\]

    \[Q= Q_{12}+ Q_{23}=11,5p_0V_0\]

Работа в цикле равна площади цикла:

    \[A=\frac{p_0\cdot 2V_0}{2}= p_0V_0\]

    \[\eta_{1231}=\frac{A}{Q}=\frac{ p_0V_0}{11,5 p_0V_0}=0,087\]

Теперь рассмотрим цикл 1341:

    \[Q_{13}=\frac{p_0+2p_0}{2}\cdot 2V_0+\frac{3}{2}(6p_0V_0-p_0V_0)\]

    \[Q_{13}=3p_0V_0+7,5p_0V_0=10,5p_0V_0\]

Работа в данном цикле такая же, как и в предыдущем.

    \[\eta_{1341}=\frac{A}{ Q_{13}}=\frac{ p_0V_0}{10,5 p_0V_0}=0,095\]

У цикла 1341 КПД больше, определим во сколько раз:

    \[\frac{\eta_{1341}}{\eta_{1231}}=\frac{1}{10,5}\cdot \frac{11,5}{1}=1,095\]

Ответ: в 1,095 раз.

Задача 8. Определите отношение \frac{\eta_1}{\eta_2} коэффициентов полезного действия двух циклических процессов, проведенных с идеальным одноатомным газом: 1-2-3-4-1 (первый процесс) и 5-6-7-4-5 (второй процесс). Графики процессов представлены на рисунке.

К задаче 8

Решение. Рассмотрим процесс 1-2-3-4-1.

    \[Q_{12}=\Delta U_{12}=\frac{3}{2}p_0V_0\]

    \[Q_{23}=\frac{5}{2}\cdot 2p_0\cdot 2V_0=10p_0V_0\]

    \[A=2p_0V_0\]

    \[\eta_{12341}=\frac{A}{ Q_{12}+ Q_{23}}=\frac{ 2p_0V_0}{11,5 p_0V_0}=0,174\]

Теперь рассматриваем процесс 5-6-7-4-5.

    \[Q_{56}=\Delta U_{56}=\frac{3}{2}\cdot 4p_0V_0=6p_0V_0\]

    \[Q_{67}=\frac{5}{2}\cdot 3p_0V_0=7,5p_0V_0\]

    \[A=2p_0V_0\]

    \[\eta_{56745}=\frac{A}{ Q_{56}+ Q_{67}}=\frac{ 2p_0V_0}{13,5 p_0V_0}=0,148\]

    \[\frac{\eta_1}{\eta_2}=\frac{2}{11,5}\cdot\frac{13,5}{2}=1,17\]

Ответ: 1,17

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *