Координатно-векторный способ решения стереометрических задач

[latexpage]

Задача 1. В прямоугольном параллелепипеде  $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известны длины ребер $AA_1=7$, $AB=16$, $AD=6$. Точка К – середина ребра $C_1D_1$.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через точку В перпендикулярно прямой АК, пересекает отрезок $A_1K$.

б) Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью $ABC$.

Чертеж к задаче

Решение: введем систему координат, как показано на рисунке и определим координаты всех вершин параллелепипеда, а также точки $K$:

$A(0,7,16)$, $B(0,7,0)$, $C(6,7,0)$, $D(6,7,16)$, $A1(0,0,16)$, $B1(0,0,0)$, $C1(6,0,0)$, $D1(6,0,16)$,  $K(6,0,8)$.

$AK$  -направляющий вектор прямой, кстати, он должен быть нормалью к искомой плоскости (по условию, он перпендикулярен искомой плоскости). Определим его координаты: $\vec{AK} (x_K-x_A; y_K-y_A; z_K-z_A)$,$\vec{AK} (6, -7, -8)$. Общий вид уравнения плоскости: $ax+by+cz+d=0$. Так как в уравнении плоскости координаты вектора нормали задают все коэффициенты, то уравнение искомой плоскости: $6x-7y-8z+d=0$. Коэффициент $d$ равен нулю, если плоскость проходит через начало координат, и не равен, если это не так. В нашем случае плоскость не проходит через начало координат, поэтому $d\neq0$.

По условию, точка $B$ принадлежит плоскости, поэтому ее координаты можно подставить в уравнение плоскости:

$$6x-7y-8z+d=0$$

$$6\cdot0-7\cdot7-8\cdot0+d=0$$

$$d=49$$

На самом деле, если определять угол между плоскостями или между прямой и плоскостью, то $d$ можно принять равным 1, и вообще любым: действительно, между всеми параллельными плоскостями и одной и той же прямой (или плоскостью) будет один и тот же угол. Но сейчас нам важны конкретные координаты точки пересечения плоскостью отрезка $A_1K$, поэтому точно определяем коэффициент $d$.

Если наша плоскость будет иметь точку пересечения с прямой, проходящей через точки $A_1$ и $K$, то координаты этой точки можно определить, приравняв уравнения прямой и плоскости. Определим уравнение прямой, проходящей через точки $A_1$ и $K$. Общий вид уравнения $z=kx+b$ – прямая лежит в плоскости $XOZ$:

$$\begin{Bmatrix}{16=k\cdot 0+b}\\{ 8=k \cdot 6+b}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{b=16}\\{ 8=k \cdot 6+16}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{b=16}\\{ -8=k \cdot 6}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{b=16}\\{ k=-\frac{4}{3}}\end{matrix}$$

Уравнение прямой $A_1K$ тогда $z=-\frac{4}{3}x+16$.

Подставляем данное уравнение в уравнение плоскости, помня о том, что ордината точки их пересечения равна 0:

$$6x-7y-8\left(-\frac{4}{3}x+16\right)+49=0$$

$$6x+\frac{32}{3}x-128+49=0$$

$$\frac{50}{3}x=79$$

$$x=4,74$$

$$z=9,68$$

Точка пересечения с найденными нами координатами (4,74; 0; 9,68) принадлежит отрезку $A_1K$, она находится внутри параллелепипеда. Пункт а) доказан.

Построенная плоскость, перпендикулярная АК

Решим пункт б) и найдем тангенс между искомой плоскостью и плоскостью $ABC$. Нам потребуется найти сначала косинус угла между нормалями к данным плоскостям, затем синус определим через основное тригонометрическое тождество, и тогда уже сможем найти тангенс. Нормаль к плоскости $ABC$  – $\vec{n} (0, 1,0)$.

Определяем косинус угла между нормалями:

$$\cos{\alpha}=\frac{n_1 \cdot n_2}{\mid{n_1}\mid\mid{n_2}\mid}$$

$$\cos{\alpha}=\frac{6\cdot0-1\cdot(-7)+0\cdot(-8)}{\sqrt{1}\sqrt{6^2+(-7)^2+(-8)^2}}$$

$$\cos{\alpha}=\frac{7}{\sqrt{149}}$$

$$\sin{\alpha}=\sqrt{1-\left(\frac{7}{\sqrt{149}}\right)^2}$$

$$\sin{\alpha}=\frac{10}{\sqrt{149}}$$

$$\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{10}{7}$$

Ответ: $\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{10}{7}$

Задача 2. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

а) Докажите, что прямая $BD_1$ перпендикулярна плоскости $ACB_1$.

б) Найдите  угол между плоскостями  $AD_1 C_1$ и $A_1D_1C$.

Плоскость и прямая

Координаты вершин

Решение:

а) Докажем, что прямая $BD_1$ перпендикулярна плоскости $ACB_1$. Для этого введем систему координат, как показано на рисунке и определим координаты всех вершин куба, считая его ребро равным $p$. Потом запишем уравнение плоскости $ACB_1$, и определим координаты вектора $BD_1$. Если окажется, что координаты $BD_1$ (направляющего вектора прямой) совпадают с координатами нормали к плоскости, то пункт а) будет нами доказан. Делаем!

Координаты вершин куба с ребром $p$ показаны на рисунке. Определяем координаты вектора $BD_1$ – это разность координат конца вектора и начала. Тогда $BD_1$ имеет координаты $(x_{D1}-x_{B}; y_{D1}-y_B, z_{D1}-z_B)$, $(p-0;0-p;0-p)$, или $(p;-p;-p)$.

Теперь запишем уравнение плоскости $ACB_1$. Общий вид такого уравнения: $ax+by+cz+d=0$. Коэффициенты этого уравнения легко можно определить, подставив в него координаты точек, принадлежащих данной плоскости и решив полученную систему уравнений.  Коэффициент $d$ равен нулю, если плоскость проходит через начало координат, и может быть принят равным 1, если это не так. В нашем случае плоскость не проходит через начало координат, поэтому $d=1$. Тогда, подставляя поочередно координаты точек $A, C, B_1$ формируем систему:

$$\begin{Bmatrix}{ ax_A+by_A+cz_A+1=0}\\{ ax_C+by_C+cz_C+1=0}\\{ ax_{B1}+by_{B1}+cz_{B1}+1=0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{ a\cdot 0+b\cdot 0+cp+1=0}\\{ ap+bp+cp+1=0}\\{ a\cdot 0+bp+c\cdot 0+1=0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{cp=-1}\\{ ap+bp+cp=-1}\\{bp=-1}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{c=\frac{-1}{p}}\\{ ap+bp+cp=-1}\\{b=\frac{-1}{p}}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{c=\frac{-1}{p}}\\{ ap+\frac{-1}{p}p+\frac{-1}{p}p=-1}\\{b=\frac{-1}{p}}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{c=\frac{-1}{p}}\\{ ap-1-1=-1}\\{b=\frac{-1}{p}}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{c=\frac{-1}{p}}\\{ ap=1}\\{b=\frac{-1}{p}}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{c=\frac{-1}{p}}\\{ a=\frac{1}{p}}\\{b=\frac{-1}{p}}\end{matrix}$$

Полученные коэффициенты можно вполне умножить на любое число, например, можем умножить на $p^2$:

$$\begin{Bmatrix}{c=-p}\\{ a=p}\\{b=-p}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{ a=p }\\{ b=-p }\\{ c=-p }\end{matrix}$$

Коэффициенты, полученные нами, не только определяют уравнение плоскости, но и также являются коэффициентами вектора нормали к данной плоскости. Сравним их с координатами вектора$BD_1$: $(p;-p;-p)$  – иными словами, этот вектор и есть нормаль к плоскости, то есть он перпендикулярен данной плоскости.

б) Найдем  угол между плоскостями  $AD_1 C_1$ и $A_1D_1C$. Для этого снова запишем систему уравнений для каждой из данных плоскостей, и определим координаты нормалей к ним. Угол между нормалями – и есть угол между плоскостями. Найти этот угол можно, определив его косинус, который легко найти через скалярное произведение векторов.

Угол между этими плоскостями мы ищем

Начнем с уравнений, определяющих коэффициенты плоскости $AD_1 C_1$. Плоскость не проходит через начало координат, поэтому $d=1$.

$$\begin{Bmatrix}{ ax_A+by_A+cz_A+1=0}\\{ ax_{D1}+by_{D1}+cz_{D1}+1=0}\\{ ax_{C1}+by_{C1}+cz_{C1}+1=0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{ pc+1=0}\\{ ap+1=0}\\{ ap+bp+1=0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{ c=\frac{-1}{p}}\\{ a=\frac{-1}{p}}\\{ b=0}\end{matrix}$$

Тогда координаты нормали к плоскости получились:

$$\begin{Bmatrix}{ a=\frac{-1}{p} }\\{ b=0}\\{ c=\frac{-1}{p} }\end{matrix}$$

Домножим вновь на $p^2$:

$$\begin{Bmatrix}{ a=-p }\\{ b=0}\\{ c=-p}\end{matrix}$$

$$n_1(-p;0;-p)$$

Просчитываем так же плоскость $A_1D_1C$, она как раз проходит через начало координат, поэтому $d=0$. Так как координаты точки $A1$ – все нули, то очевидно, неразумно включать эту точку в систему уравнений. Возьмем вместо нее точку $B$ – она тоже принадлежит этой плоскости.

$$\begin{Bmatrix}{ ax_{B}+by_{B}+cz_{B}=0}\\{ ax_{D1}+by_{D1}+cz_{D1}=0}\\{ ax_{C}+by_{C}+cz_{C}=0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{ bp+cp=0}\\{ ap=0}\\{ ap+bp+cp=0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{ b=-c}\\{ a=0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{ a=0 }\\{ b=p}\\{ c=-p}\end{matrix}$$

$$n_2(0;p;-p)$$

Определяем косинус угла между нормалями:

$$\cos{\alpha}=\frac{n_1 \cdot n_2}{\mid{n_1}\mid\mid{n_2}\mid}$$

$$\cos{\alpha}=\frac{-p\cdot0+0\cdotp+(-p)\cdot(-p)}{\sqrt{(-p)^2+(-p)^2}\sqrt{p^2+(-p)^2}}$$

$$\cos{\alpha}=\frac{p^2}{p\sqrt{2}p\sqrt{2}}$$

$$\cos{\alpha}=\frac{1}{2}$$

$$\alpha=60^{\circ}$$

Ответ: $\alpha=60^{\circ}$