Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Стереометрия (14 (С2))

Координатно-векторный способ решения стереометрических задач

Задача 1. В прямоугольном параллелепипеде  ABCDA_1B_1C_1D_1 известны длины ребер AA_1=7, AB=16, AD=6. Точка К – середина ребра C_1D_1.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через точку В перпендикулярно прямой АК, пересекает отрезок A_1K.

б) Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью ABC.

Чертеж к задаче

Решение: введем систему координат, как показано на рисунке и определим координаты всех вершин параллелепипеда, а также точки K:

A(0,7,16), B(0,7,0), C(6,7,0), D(6,7,16), A1(0,0,16), B1(0,0,0), C1(6,0,0), D1(6,0,16),  K(6,0,8).

AK  -направляющий вектор прямой, кстати, он должен быть нормалью к искомой плоскости (по условию, он перпендикулярен искомой плоскости). Определим его координаты: \vec{AK} (x_K-x_A; y_K-y_A; z_K-z_A),\vec{AK} (6, -7, -8). Общий вид уравнения плоскости: ax+by+cz+d=0. Так как в уравнении плоскости координаты вектора нормали задают все коэффициенты, то уравнение искомой плоскости: 6x-7y-8z+d=0. Коэффициент d равен нулю, если плоскость проходит через начало координат, и не равен, если это не так. В нашем случае плоскость не проходит через начало координат, поэтому d\neq0.

По условию, точка B принадлежит плоскости, поэтому ее координаты можно подставить в уравнение плоскости:

    \[6x-7y-8z+d=0\]

    \[6\cdot0-7\cdot7-8\cdot0+d=0\]

    \[d=49\]

На самом деле, если определять угол между плоскостями или между прямой и плоскостью, то d можно принять равным 1, и вообще любым: действительно, между всеми параллельными плоскостями и одной и той же прямой (или плоскостью) будет один и тот же угол. Но сейчас нам важны конкретные координаты точки пересечения плоскостью отрезка A_1K, поэтому точно определяем коэффициент d.

Если наша плоскость будет иметь точку пересечения с прямой, проходящей через точки A_1 и K, то координаты этой точки можно определить, приравняв уравнения прямой и плоскости. Определим уравнение прямой, проходящей через точки A_1 и K. Общий вид уравнения z=kx+b – прямая лежит в плоскости XOZ:

    \[\begin{Bmatrix}{16=k\cdot 0+b}\\{ 8=k \cdot 6+b}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{b=16}\\{ 8=k \cdot 6+16}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{b=16}\\{ -8=k \cdot 6}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{b=16}\\{ k=-\frac{4}{3}}\end{matrix}\]

Уравнение прямой A_1K тогда z=-\frac{4}{3}x+16.

Подставляем данное уравнение в уравнение плоскости, помня о том, что ордината точки их пересечения равна 0:

    \[6x-7y-8\left(-\frac{4}{3}x+16\right)+49=0\]

    \[6x+\frac{32}{3}x-128+49=0\]

    \[\frac{50}{3}x=79\]

    \[x=4,74\]

    \[z=9,68\]

Точка пересечения с найденными нами координатами (4,74; 0; 9,68) принадлежит отрезку A_1K, она находится внутри параллелепипеда. Пункт а) доказан.

Построенная плоскость, перпендикулярная АК

Решим пункт б) и найдем тангенс между искомой плоскостью и плоскостью ABC. Нам потребуется найти сначала косинус угла между нормалями к данным плоскостям, затем синус определим через основное тригонометрическое тождество, и тогда уже сможем найти тангенс. Нормаль к плоскости ABC  – \vec{n} (0, 1,0).

Определяем косинус угла между нормалями:

    \[\cos{\alpha}=\frac{n_1 \cdot n_2}{\mid{n_1}\mid\mid{n_2}\mid}\]

    \[\cos{\alpha}=\frac{6\cdot0-1\cdot(-7)+0\cdot(-8)}{\sqrt{1}\sqrt{6^2+(-7)^2+(-8)^2}}\]

    \[\cos{\alpha}=\frac{7}{\sqrt{149}}\]

    \[\sin{\alpha}=\sqrt{1-\left(\frac{7}{\sqrt{149}}\right)^2}\]

    \[\sin{\alpha}=\frac{10}{\sqrt{149}}\]

    \[\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{10}{7}\]

Ответ: \operatorname{tg}{\alpha}=\frac{10}{7}

 

 

Задача 2. Дан куб ABCDA_1B_1C_1D_1.

а) Докажите, что прямая BD_1 перпендикулярна плоскости ACB_1.

б) Найдите  угол между плоскостями  AD_1 C_1 и A_1D_1C.

Плоскость и прямая

 

 

Координаты вершин

 

Решение:

а) Докажем, что прямая BD_1 перпендикулярна плоскости ACB_1. Для этого введем систему координат, как показано на рисунке и определим координаты всех вершин куба, считая его ребро равным p. Потом запишем уравнение плоскости ACB_1, и определим координаты вектора BD_1. Если окажется, что координаты BD_1 (направляющего вектора прямой) совпадают с координатами нормали к плоскости, то пункт а) будет нами доказан. Делаем!

Координаты вершин куба с ребром p показаны на рисунке. Определяем координаты вектора BD_1 – это разность координат конца вектора и начала. Тогда BD_1 имеет координаты (x_{D1}-x_{B}; y_{D1}-y_B, z_{D1}-z_B), (p-0;0-p;0-p), или (p;-p;-p).

Теперь запишем уравнение плоскости ACB_1. Общий вид такого уравнения: ax+by+cz+d=0. Коэффициенты этого уравнения легко можно определить, подставив в него координаты точек, принадлежащих данной плоскости и решив полученную систему уравнений.  Коэффициент d равен нулю, если плоскость проходит через начало координат, и может быть принят равным 1, если это не так. В нашем случае плоскость не проходит через начало координат, поэтому d=1. Тогда, подставляя поочередно координаты точек A, C, B_1 формируем систему:

    \[\begin{Bmatrix}{ ax_A+by_A+cz_A+1=0}\\{ ax_C+by_C+cz_C+1=0}\\{ ax_{B1}+by_{B1}+cz_{B1}+1=0}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{ a\cdot 0+b\cdot 0+cp+1=0}\\{ ap+bp+cp+1=0}\\{ a\cdot 0+bp+c\cdot 0+1=0}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{cp=-1}\\{ ap+bp+cp=-1}\\{bp=-1}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{c=\frac{-1}{p}}\\{ ap+bp+cp=-1}\\{b=\frac{-1}{p}}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{c=\frac{-1}{p}}\\{ ap+\frac{-1}{p}p+\frac{-1}{p}p=-1}\\{b=\frac{-1}{p}}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{c=\frac{-1}{p}}\\{ ap-1-1=-1}\\{b=\frac{-1}{p}}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{c=\frac{-1}{p}}\\{ ap=1}\\{b=\frac{-1}{p}}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{c=\frac{-1}{p}}\\{ a=\frac{1}{p}}\\{b=\frac{-1}{p}}\end{matrix}\]

Полученные коэффициенты можно вполне умножить на любое число, например, можем умножить на p^2:

    \[\begin{Bmatrix}{c=-p}\\{ a=p}\\{b=-p}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{ a=p }\\{ b=-p }\\{ c=-p }\end{matrix}\]

Коэффициенты, полученные нами, не только определяют уравнение плоскости, но и также являются коэффициентами вектора нормали к данной плоскости. Сравним их с координатами вектораBD_1: (p;-p;-p)  – иными словами, этот вектор и есть нормаль к плоскости, то есть он перпендикулярен данной плоскости.

б) Найдем  угол между плоскостями  AD_1 C_1 и A_1D_1C. Для этого снова запишем систему уравнений для каждой из данных плоскостей, и определим координаты нормалей к ним. Угол между нормалями – и есть угол между плоскостями. Найти этот угол можно, определив его косинус, который легко найти через скалярное произведение векторов.

Угол между этими плоскостями мы ищем

Начнем с уравнений, определяющих коэффициенты плоскости AD_1 C_1. Плоскость не проходит через начало координат, поэтому d=1.

    \[\begin{Bmatrix}{ ax_A+by_A+cz_A+1=0}\\{ ax_{D1}+by_{D1}+cz_{D1}+1=0}\\{ ax_{C1}+by_{C1}+cz_{C1}+1=0}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{ pc+1=0}\\{ ap+1=0}\\{ ap+bp+1=0}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{ c=\frac{-1}{p}}\\{ a=\frac{-1}{p}}\\{ b=0}\end{matrix}\]

Тогда координаты нормали к плоскости получились:

    \[\begin{Bmatrix}{ a=\frac{-1}{p} }\\{ b=0}\\{ c=\frac{-1}{p} }\end{matrix}\]

Домножим вновь на p^2:

    \[\begin{Bmatrix}{ a=-p }\\{ b=0}\\{ c=-p}\end{matrix}\]

    \[n_1(-p;0;-p)\]

Просчитываем так же плоскость A_1D_1C, она как раз проходит через начало координат, поэтому d=0. Так как координаты точки A1 – все нули, то очевидно, неразумно включать эту точку в систему уравнений. Возьмем вместо нее точку B – она тоже принадлежит этой плоскости.

    \[\begin{Bmatrix}{ ax_{B}+by_{B}+cz_{B}=0}\\{ ax_{D1}+by_{D1}+cz_{D1}=0}\\{ ax_{C}+by_{C}+cz_{C}=0}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{ bp+cp=0}\\{ ap=0}\\{ ap+bp+cp=0}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{ b=-c}\\{ a=0}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{ a=0 }\\{ b=p}\\{ c=-p}\end{matrix}\]

    \[n_2(0;p;-p)\]

 

Определяем косинус угла между нормалями:

    \[\cos{\alpha}=\frac{n_1 \cdot n_2}{\mid{n_1}\mid\mid{n_2}\mid}\]

    \[\cos{\alpha}=\frac{-p\cdot0+0\cdotp+(-p)\cdot(-p)}{\sqrt{(-p)^2+(-p)^2}\sqrt{p^2+(-p)^2}}\]

    \[\cos{\alpha}=\frac{p^2}{p\sqrt{2}p\sqrt{2}}\]

    \[\cos{\alpha}=\frac{1}{2}\]

    \[\alpha=60^{\circ}\]

Ответ: \alpha=60^{\circ}

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *