Задача 1. В прямоугольном параллелепипеде известны длины ребер
,
,
. Точка К – середина ребра
.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через точку В перпендикулярно прямой АК, пересекает отрезок .
б) Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью .

Чертеж к задаче
Решение: введем систему координат, как показано на рисунке и определим координаты всех вершин параллелепипеда, а также точки :
,
,
,
,
,
,
,
,
.
-направляющий вектор прямой, кстати, он должен быть нормалью к искомой плоскости (по условию, он перпендикулярен искомой плоскости). Определим его координаты:
,
. Общий вид уравнения плоскости:
. Так как в уравнении плоскости координаты вектора нормали задают все коэффициенты, то уравнение искомой плоскости:
. Коэффициент
равен нулю, если плоскость проходит через начало координат, и не равен, если это не так. В нашем случае плоскость не проходит через начало координат, поэтому
.
По условию, точка принадлежит плоскости, поэтому ее координаты можно подставить в уравнение плоскости:
На самом деле, если определять угол между плоскостями или между прямой и плоскостью, то можно принять равным 1, и вообще любым: действительно, между всеми параллельными плоскостями и одной и той же прямой (или плоскостью) будет один и тот же угол. Но сейчас нам важны конкретные координаты точки пересечения плоскостью отрезка
, поэтому точно определяем коэффициент
.
Если наша плоскость будет иметь точку пересечения с прямой, проходящей через точки и
, то координаты этой точки можно определить, приравняв уравнения прямой и плоскости. Определим уравнение прямой, проходящей через точки
и
. Общий вид уравнения
– прямая лежит в плоскости
:
Уравнение прямой тогда
.
Подставляем данное уравнение в уравнение плоскости, помня о том, что ордината точки их пересечения равна 0:
Точка пересечения с найденными нами координатами (4,74; 0; 9,68) принадлежит отрезку , она находится внутри параллелепипеда. Пункт а) доказан.

Построенная плоскость, перпендикулярная АК
Решим пункт б) и найдем тангенс между искомой плоскостью и плоскостью . Нам потребуется найти сначала косинус угла между нормалями к данным плоскостям, затем синус определим через основное тригонометрическое тождество, и тогда уже сможем найти тангенс. Нормаль к плоскости
–
.
Определяем косинус угла между нормалями:
Ответ:
Задача 2. Дан куб .
а) Докажите, что прямая перпендикулярна плоскости
.
б) Найдите угол между плоскостями и
.

Плоскость и прямая

Координаты вершин
Решение:
а) Докажем, что прямая перпендикулярна плоскости
. Для этого введем систему координат, как показано на рисунке и определим координаты всех вершин куба, считая его ребро равным
. Потом запишем уравнение плоскости
, и определим координаты вектора
. Если окажется, что координаты
(направляющего вектора прямой) совпадают с координатами нормали к плоскости, то пункт а) будет нами доказан. Делаем!
Координаты вершин куба с ребром показаны на рисунке. Определяем координаты вектора
– это разность координат конца вектора и начала. Тогда
имеет координаты
,
, или
.
Теперь запишем уравнение плоскости . Общий вид такого уравнения:
. Коэффициенты этого уравнения легко можно определить, подставив в него координаты точек, принадлежащих данной плоскости и решив полученную систему уравнений. Коэффициент
равен нулю, если плоскость проходит через начало координат, и может быть принят равным 1, если это не так. В нашем случае плоскость не проходит через начало координат, поэтому
. Тогда, подставляя поочередно координаты точек
формируем систему:
Полученные коэффициенты можно вполне умножить на любое число, например, можем умножить на :
Коэффициенты, полученные нами, не только определяют уравнение плоскости, но и также являются коэффициентами вектора нормали к данной плоскости. Сравним их с координатами вектора:
– иными словами, этот вектор и есть нормаль к плоскости, то есть он перпендикулярен данной плоскости.
б) Найдем угол между плоскостями и
. Для этого снова запишем систему уравнений для каждой из данных плоскостей, и определим координаты нормалей к ним. Угол между нормалями – и есть угол между плоскостями. Найти этот угол можно, определив его косинус, который легко найти через скалярное произведение векторов.

Угол между этими плоскостями мы ищем
Начнем с уравнений, определяющих коэффициенты плоскости . Плоскость не проходит через начало координат, поэтому
.
Тогда координаты нормали к плоскости получились:
Домножим вновь на :
Просчитываем так же плоскость , она как раз проходит через начало координат, поэтому
. Так как координаты точки
– все нули, то очевидно, неразумно включать эту точку в систему уравнений. Возьмем вместо нее точку
– она тоже принадлежит этой плоскости.
Определяем косинус угла между нормалями:
Ответ:
Тут я с Вами полностью...
Здравствуйте. Сейчас пересмотрю решение. Надо ввести разные температуры. Жаль, не...
Здравствуйте! Почему в задаче 3 перегородка теплоизолирующая? Казалось бы,...
Согласна, решать можно по-разному, и ваше решение строже, чем мое. И бог с ними, с...
Здравствуйте! Благодарю Вас за варианты, которые Вы создаете. Заметила небольшое...