Координатно-векторный способ решения стереометрических задач

Задача 1. В прямоугольном параллелепипеде  известны длины ребер , , . Точка К – середина ребра .

а) Докажите, что плоскость, проходящая через точку В перпендикулярно прямой АК, пересекает отрезок .

б) Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью .

Чертеж к задаче

Решение: введем систему координат, как показано на рисунке и определим координаты всех вершин параллелепипеда, а также точки :

, , , , , , , ,  .

  -направляющий вектор прямой, кстати, он должен быть нормалью к искомой плоскости (по условию, он перпендикулярен искомой плоскости). Определим его координаты: ,. Общий вид уравнения плоскости: . Так как в уравнении плоскости координаты вектора нормали задают все коэффициенты, то уравнение искомой плоскости: . Коэффициент равен нулю, если плоскость проходит через начало координат, и не равен, если это не так. В нашем случае плоскость не проходит через начало координат, поэтому .

По условию, точка принадлежит плоскости, поэтому ее координаты можно подставить в уравнение плоскости:

На самом деле, если определять угол между плоскостями или между прямой и плоскостью, то можно принять равным 1, и вообще любым: действительно, между всеми параллельными плоскостями и одной и той же прямой (или плоскостью) будет один и тот же угол. Но сейчас нам важны конкретные координаты точки пересечения плоскостью отрезка , поэтому точно определяем коэффициент .

Если наша плоскость будет иметь точку пересечения с прямой, проходящей через точки и , то координаты этой точки можно определить, приравняв уравнения прямой и плоскости. Определим уравнение прямой, проходящей через точки и . Общий вид уравнения – прямая лежит в плоскости :

Уравнение прямой тогда .

Подставляем данное уравнение в уравнение плоскости, помня о том, что ордината точки их пересечения равна 0:

Точка пересечения с найденными нами координатами (4,74; 0; 9,68) принадлежит отрезку , она находится внутри параллелепипеда. Пункт а) доказан.

Построенная плоскость, перпендикулярная АК

Решим пункт б) и найдем тангенс между искомой плоскостью и плоскостью . Нам потребуется найти сначала косинус угла между нормалями к данным плоскостям, затем синус определим через основное тригонометрическое тождество, и тогда уже сможем найти тангенс. Нормаль к плоскости   – .

Определяем косинус угла между нормалями:

Ответ:

Задача 2. Дан куб .

а) Докажите, что прямая перпендикулярна плоскости .

б) Найдите  угол между плоскостями  и .

Плоскость и прямая

Координаты вершин

Решение:

а) Докажем, что прямая перпендикулярна плоскости . Для этого введем систему координат, как показано на рисунке и определим координаты всех вершин куба, считая его ребро равным . Потом запишем уравнение плоскости , и определим координаты вектора . Если окажется, что координаты (направляющего вектора прямой) совпадают с координатами нормали к плоскости, то пункт а) будет нами доказан. Делаем!

Координаты вершин куба с ребром показаны на рисунке. Определяем координаты вектора – это разность координат конца вектора и начала. Тогда имеет координаты , , или .

Теперь запишем уравнение плоскости . Общий вид такого уравнения: . Коэффициенты этого уравнения легко можно определить, подставив в него координаты точек, принадлежащих данной плоскости и решив полученную систему уравнений.  Коэффициент равен нулю, если плоскость проходит через начало координат, и может быть принят равным 1, если это не так. В нашем случае плоскость не проходит через начало координат, поэтому . Тогда, подставляя поочередно координаты точек формируем систему:

Полученные коэффициенты можно вполне умножить на любое число, например, можем умножить на :

Коэффициенты, полученные нами, не только определяют уравнение плоскости, но и также являются коэффициентами вектора нормали к данной плоскости. Сравним их с координатами вектора:   – иными словами, этот вектор и есть нормаль к плоскости, то есть он перпендикулярен данной плоскости.

б) Найдем  угол между плоскостями  и . Для этого снова запишем систему уравнений для каждой из данных плоскостей, и определим координаты нормалей к ним. Угол между нормалями – и есть угол между плоскостями. Найти этот угол можно, определив его косинус, который легко найти через скалярное произведение векторов.

Угол между этими плоскостями мы ищем

Начнем с уравнений, определяющих коэффициенты плоскости . Плоскость не проходит через начало координат, поэтому .

Тогда координаты нормали к плоскости получились:

Домножим вновь на :

Просчитываем так же плоскость , она как раз проходит через начало координат, поэтому . Так как координаты точки – все нули, то очевидно, неразумно включать эту точку в систему уравнений. Возьмем вместо нее точку – она тоже принадлежит этой плоскости.

Определяем косинус угла между нормалями:

Ответ: