Контур переменной формы в поле и перемычка

[latexpage]

Пара задач, связанных с магнитным полем: в одной меняют форму контура, в другой падает перемычка.

Задача 1. Проволочное кольцо диаметром $d = 0,1$ м расположено перпендикулярно линиям магнитной индукции $B = 2$ Тл однородного магнитного поля. Какая средняя ЭДС индукции возникает в контуре, если за время $\Delta t = 0,1$ с его форма станет такой, как показано на рисунке? Диаметр левого кольца $d_1=\frac{d}{4}$. Какой электрический заряд пройдет по кольцу при изменении формы контура, если сопротивление проводника $R= 0,2$ Ом?

К задаче 1

Решение. При изменении формы кольца площадь его изменилась. От площади зависит поток, а изменение потока повлечет появление ЭДС. Везде в задаче я буду рассматривать модуль ЭДС. Итак, площадь контура была

$$S=\frac{\pi d^2}{4}$$

Если просто изменить форму контура на такую, какая показана на рисунке, то площадь изменится: $S_1$ – площадь малого кольца, $S_2$ – площадь большого:

$$S_1+S_2=\frac{\pi d^2}{4\cdot 16}+\frac{9\pi d^2}{4\cdot 16}=\frac{5\pi d^2}{32}$$

Изменение потока равно

$$\Delta \Phi_1=\Phi-\Phi_1=BS-BS’=B(S-S_1-S_2)=B\left(\frac{\pi d^2}{4}-\frac{5\pi d^2}{32}\right)= \frac{3B\pi d^2}{32}$$

Средняя ЭДС будет равна по модулю

$$E_1=\frac{\Delta \Phi_1 }{\Delta t }=\frac{3B\pi d^2}{32\Delta t }=\frac{6\cdot \pi \cdot 0,01}{3,2}=0,059$$

Заряд, прошедший по контуру, равен

$$q_1=I\Delta t=\frac{E_1}{R}\Delta t}=\frac{3B\pi d^2}{32R}=0,0295$$

А если одно из колец – маленькое или большое – окажется перекрученным? Вдруг одно из них повернули на $180^{\circ}$? Предположим, повернули малое кольцо. В этом случае изменение потока равно

$$\Delta \Phi_2=\Phi-\Phi_2=BS-BS’’=B(S+S_1-S_2)=B\left(\frac{\pi d^2}{4}-\frac{\pi d^2}{8}\right)= \frac{B\pi d^2}{8}$$

Средняя ЭДС будет равна по модулю

$$E_2=\frac{\Delta \Phi_2 }{\Delta t }=\frac{B\pi d^2}{8\Delta t }=\frac{2\cdot \pi \cdot 0,01}{0,8}=0,079$$

Заряд, прошедший по контуру, равен

$$q_2=I\Delta t=\frac{E_2}{R}\Delta t}=\frac{B\pi d^2}{8R}=0,0395$$

А теперь поворачиваем на $180^{\circ}$ большое кольцо.

В этом случае изменение потока равно

$$\Delta \Phi_3=\Phi-\Phi_3=BS-BS’’’=B(S-S_1+S_2)=B\left(\frac{\pi d^2}{4}+\frac{\pi d^2}{8}\right)= \frac{3B\pi d^2}{8}$$

Средняя ЭДС будет равна по модулю

$$E_3=\frac{\Delta \Phi_3 }{\Delta t }=\frac{3B\pi d^2}{8\Delta t }=\frac{6\cdot \pi \cdot 0,01}{0,8}=0,237$$

Заряд, прошедший по контуру, равен

$$q_3=I\Delta t=\frac{E_3}{R}\Delta t}=\frac{3B\pi d^2}{8R}=0,117$$

Ответ: если форму контура изменили без перекрута $E_1=59$ мВ, заряд $q_1=29,5$ мКл. Если перекрутили малое кольцо $E_2=79$ мВ, заряд $q_2=39$ мКл. Если перекрутили большое кольцо, то $E_3=237$ мВ, заряд $117$ мКл.

Задача 2. Горизонтальный проводящий стержень массой $m$ и длиной $l$ может скользить без трения по двум вертикальным проводящим стержням, соединенным внизу конденсатором емкостью $C$. Однородное магнитное поле с индукцией  $B$ перпендикулярно плоскости падения стержня (см. рисунок). Определить ускорение стержня. Электрическим сопротивлением цепи пренебречь.

К задаче 2

Решение. Стержень начнет скользить вниз. При движении перемычки площадь контура начнет сокращаться, что вызовет появление индукционного тока, который будет направлен так, чтобы восстановить прежнее значение потока в контуре – то есть против часовой стрелки. Ток, протекая, будет заряжать конденсатор. А кроме того, на перемычку с током начнет действовать сила Ампера. Поскольку ток перпендикулярен линиям индукции, направление движения стержня тоже им перпендикулярно, то в формулах для ЭДС индукции и для силы Ампера $\sin \alpha=1$. Ток в перемычке течет влево, значит, сила Ампера направлена по правилу левой руки вверх. Таким образом,

$$ma =mg-F_A=mg-BIl$$

На конденсаторе при движении стержня $U_C=E$,

$$I=C\frac{dU_C}{dt}=C\frac{E}{\Delta t}=\frac{CBl\upsilon}{\Delta t}=CBla$$

$$ ma =mg-CB^2l^2a$$

$$ a =g-\frac{ CB^2l^2}{m} a$$

$$a+\frac{ CB^2l^2}{m} a=g$$

$$a=\frac{mg}{m+ CB^2l^2}$$

Ответ: $a=\frac{mg}{m+ CB^2l^2}$