Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Емкости

Конденсаторы – задачи


 В задачах с присутствием конденсаторов очень часто нужно уметь находить емкость последовательного и параллельного соединения емкостей. С параллельным соединением емкостей все просто: при параллельном соединении емкости складываются. Почему это так? Дело в том, что при параллельном соединении на всех конденсаторах одинаковое напряжение, а их заряды пропорциональны емкостям:

 

[pmath]q_1=C_1*U, q_2=C_2*U, q_3=C_3*U[/pmath] и т.д.

 

Общий заряд на конденсаторах: [pmath]q=q_1+ q_2+… +q_n=U(C_1+C_2+…+C_n)[/pmath]

 

Тогда емкость системы конденсаторов: [pmath]C=q/U=C_1+C_2+…+C_n[/pmath].

 

С последовательным соединением все сложнее. Кстати, когда готовила эту статью, наткнулась на такой вот перл, который не могла не процитировать:

Заряды при последовательном соединении одинаковы на всех конденсаторах:

[pmath]U_1=q/C_1, U_2=q/C_2, U_3=q/C_3[/pmath] и т.д.

Тогда напряжение между крайними точками равно:

[pmath]U=U_1+ U_2+… +U_n=q(1/{C_1}+1/{C_2}+…+1/{C_n})[/pmath]

Емкость всей системы:  [pmath]C=q/U=1/(1/{C_1}+1/{C_2}+…+1/{C_n})[/pmath], или [pmath]1/C=(1/{C_1}+1/{C_2}+…+1/{C_n})[/pmath]

1. Разность потенциалов между точками А и В  [pmath]U=9[/pmath] В. Емкость конденсаторов соответственно равна  [pmath]C_1=3[/pmath] мкФ и  [pmath]C_2=6[/pmath] мкФ. Определите заряды  [pmath]Q_1[/pmath] и  [pmath]Q_2[/pmath] и разности потенциалов  [pmath]U_1[/pmath] и  [pmath]U_2[/pmath] на обкладках первого и второго конденсаторов.

Задача 1

Определим общую емкость такого соединения: [pmath]1/{C_Sigma}=1/{C_1}+1/{C_2}[/pmath],

 

[pmath]C_Sigma=C_1*C_2/(C_1+C_2)=3*6/(3+6)=2[/pmath] мкФ (сразу считаем в микрофарадах, чтобы не расписывать степени десятки)

 

Тогда заряд равен:

 

[pmath]q_Sigma=C_Sigma*U=2*9=18[/pmath] мкКл.

 

Заряды при последовательном соединении на всех конденсаторах одинаковые, значит для первого:

 

[pmath]q_1=q_Sigma=C_1*U_1[/pmath], для второго [pmath]q_2=q_Sigma=C_2*U_2[/pmath].

 

Напряжения на конденсаторах:

 

[pmath]U_1=q_1/{C_1}=18*10^{-6}/{3*10^{-6}}=6[/pmath] В,  [pmath]U_2=q_2/{C_2}=18*10^{-6}/{6*10^{-6}}=3[/pmath] В.

 

Ответ: 18 мкКл, 6 В, 3 В.

2. Определите емкость батареи конденсаторов, изображенной на рисунке. Емкость каждого конденсатора [pmath]C=1[/pmath] мкФ.

 

Задача 2

 

Емкости [pmath]C_3[/pmath] и [pmath]C_4[/pmath], поскольку они соединены параллельно, необходимо сложить: [pmath]C_34=C_3+C_4=2[/pmath] мкФ. Тогда получим последовательное соединение трех одинаковых емкостей и [pmath]C_34[/pmath], емкость которой вдвое больше. При последовательном соединении емкостей их эквивалентная емкость вычисляется по формуле: [pmath]1/{C_Sigma}=sum{1}{n}{1/{C_i}}[/pmath]. Тогда получим: [pmath]1/{C_Sigma}=1/1+1/1+1/2+1/1=3,5[/pmath],  [pmath]{C_Sigma}=1/{3,5}=0,286[/pmath] мкФ.

 

Ответ: 286 нФ

3. Емкость батареи конденсаторов, образованной двумя последовательно включенными конденсаторами, 100 пФ, а заряд 20 нКл. Определите емкость второго конденсатора, а также разность потенциалов на обкладках каждого из них, если [pmath]C_1=200[/pmath] пФ.

Воспользуемся [pmath]C_Sigma=C_1*C_2/(C_1+C_2)[/pmath]. Тогда [pmath]100=200*C_2/(200+C_2)[/pmath] (считаем в пикофарадах)

 

Отсюда [pmath]100(200+C_2)=200*C_2[/pmath], [pmath]20000=100*C_2[/pmath], [pmath]C_2=200[/pmath] пФ.

 

При последовательном соединении заряд на конденсаторах равный: [pmath]q_1=20, q_2=20[/pmath] нКл.

 

Напряжения также получатся одинаковыми:

 

[pmath]U_1=q_1/{C_1}=20*10^{-9}/{200*10^{-12}}=100[/pmath] В,  [pmath]U_2=U_1=100[/pmath] В.

 

Ответ: [pmath]U_1=U_2=100[/pmath] В, [pmath]q_1= q_2=20[/pmath] нКл.

4. Наибольшая емкость конденсатора 60 мкФ. Какой заряд он накопит при подключении источника постоянного напряжения 60В?

Так как [pmath]q=C*U[/pmath], то [pmath]q=60*10^{-6}*60=0,36[/pmath] мКл.

 

Ответ: 0,36 мКл

5. При введении в пространство между пластинами воздушного конденсатора твердого диэлектрика напряжение на конденсаторе уменьшилось с 400 до 100 В. Какова диэлектрическая проницаемость диэлектрика?

Рассмотрим сначала конденсатор до введения диэлектрика: [pmath]q=C_1*U[/pmath],  [pmath]q_1=400C_1[/pmath]. Заряд остался тем же при введении  диэлектрика, а напряжение изменилось: [pmath]q_2=q_1=100C_2[/pmath].

Тогда  [pmath]400C_1=100C_2[/pmath], или [pmath]C_1/{C_2}=1/4[/pmath]

 

Емкость конденсатора, как известно, зависит от площади пластин и расстояния между ними, а также от диэлектрика:

 

[pmath]C={varepsilon*varepsilon_0*S}/d[/pmath]

 

В первом случае, без диэлектрика: [pmath]C_1={varepsilon_0*S}/d[/pmath], а во втором [pmath]C_2={varepsilon*varepsilon_0*S}/d[/pmath]

 

Найдем и в этом случае отношение емкостей:  [pmath]C_1/{C_2}=1/varepsilon[/pmath], или [pmath]varepsilon=C_2/{C_1}=4[/pmath]

 

Ответ: [pmath]varepsilon=4[/pmath] Кл*Кл/Н*м*м

6. Площадь пластин конденсатора равна 520 см кв. На каком расстоянии нужно разместить пластины в воздухе, чтобы емкость конденсатора была равна 50 пФ?

Емкость конденсатора без диэлектрика:

 

[pmath]C={\varepsilon_0*S}/d[/pmath]

 

Площадь нужно выразить в кв. метрах: [pmath]S=520*10^{-4}=0,052[/pmath]

 

Электрическая постоянная [pmath]\varepsilon_0=8,85*10^{-12}[/pmath].

 

Выразим из первого выражения нужную нам величину: [pmath]d={\varepsilon_0*S}/C={8,85*10^{-12}*0,052}/{50*10^{-12}}=0,0092[/pmath] м, или 9,2 мм.

 

Ответ: 9,2 мм

7. Конденсатору емкостью 20 мкФ сообщили заряд 5 мкКл. Какова энергия заряженного конденсатора?

Энергию электрического поля, накопленную конденсатором, можно вычислить по формуле:

 

[pmath]W=CU^2/2=q^2/{2C}[/pmath] – и в этой задаче как раз хорошо будет воспользоваться второй записью.

 

Тогда: [pmath]W=q^2/{2C}=(5*10^{-6})^2/{2*20*10^{-6}}=25/40=0,625*10^{-6}[/pmath] мкДж

8. Расстояние между пластинами плоского конденсатора с диэлектриком из бумаги, пропитанной парафином, равно 2 мм, а напряжение 200 В. Найти плотность энергии поля.

Чтобы найти плотность энергии, нужно сначала определить энергию поля, а потом посчитать, в каком объеме она сосредоточена.

 

[pmath]W=CU^2/2[/pmath], с другой стороны, емкость [pmath]C={varepsilon*varepsilon_0*S}/d[/pmath], тогда [pmath]W={{varepsilon*varepsilon_0*S}U^2}/{2d}[/pmath]. Объем пространства между пластинами конденсатора – это произведение площади пластин на расстояние между ними:  [pmath]V=Sd[/pmath]. Тогда плотность энергии поля равна  [pmath]W/V={{varepsilon*varepsilon_0}U^2}/{2d^2}[/pmath]

 

Посмотрим в справочнике, какова диэлектрическая проницаемость бумаги с парафином, выразим расстояние между пластинами в метрах, и подставим цифры:

 

[pmath]W/V={{2,2*8,85*10^{-12}}200^2}/{2(0,002)^2}=9,7[/pmath] мДж

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *