Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: ГИА по физике, Электростатика

Конденсаторы – задачи


 В задачах с присутствием конденсаторов очень часто нужно уметь находить емкость последовательного и параллельного соединения емкостей. С параллельным соединением емкостей все просто: при параллельном соединении емкости складываются. Почему это так? Дело в том, что при параллельном соединении на всех конденсаторах одинаковое напряжение, а их заряды пропорциональны емкостям:

 

q_1=C_1*U, q_2=C_2*U, q_3=C_3*U и т.д.

 

Общий заряд на конденсаторах: q=q_1+ q_2+... +q_n=U(C_1+C_2+...+C_n)

 

Тогда емкость системы конденсаторов: C=q/U=C_1+C_2+...+C_n.

 

С последовательным соединением все сложнее. Кстати, когда готовила эту статью, наткнулась на такой вот перл, который не могла не процитировать:

Заряды при последовательном соединении одинаковы на всех конденсаторах:

U_1=q/C_1, U_2=q/C_2, U_3=q/C_3 и т.д.

Тогда напряжение между крайними точками равно:

U=U_1+ U_2+... +U_n=q(1/{C_1}+1/{C_2}+...+1/{C_n})

Емкость всей системы:  C=U/q=1/(1/{C_1}+1/{C_2}+...+1/{C_n}), или 1/C=(1/{C_1}+1/{C_2}+...+1/{C_n})

1. Разность потенциалов между точками А и В  U=9 В. Емкость конденсаторов соответственно равна  C_1=3 мкФ и  C_2=6 мкФ. Определите заряды  Q_1 и  Q_2 и разности потенциалов  U_1 и  U_2 на обкладках первого и второго конденсаторов.

Задача 1

Определим общую емкость такого соединения: 1/{C_Sigma}=1/{C_1}+1/{C_2},

 

C_Sigma=C_1*C_2/(C_1+C_2)=3*6/(3+6)=2 мкФ (сразу считаем в микрофарадах, чтобы не расписывать степени десятки)

 

Тогда заряд равен:

 

q_Sigma=C_Sigma*U=2*9=18 мкКл.

 

Заряды при последовательном соединении на всех конденсаторах одинаковые, значит для первого:

 

q_1=q_Sigma=C_1*U_1, для второго q_2=q_Sigma=C_2*U_2.

 

Напряжения на конденсаторах:

 

U_1=q_1/{C_1}=18*10^{-6}/{3*10^{-6}}=6 В,  U_2=q_2/{C_2}=18*10^{-6}/{6*10^{-6}}=3 В.

 

Ответ: 18 мкКл, 6 В, 3 В.

 

2. Определите емкость батареи конденсаторов, изображенной на рисунке. Емкость каждого конденсатора C=1 мкФ.

 

Задача 2

 

Емкости C_3 и C_4, поскольку они соединены параллельно, необходимо сложить: C_34=C_3+C_4=2 мкФ. Тогда получим последовательное соединение трех одинаковых емкостей и C_34, емкость которой вдвое больше. При последовательном соединении емкостей их эквивалентная емкость вычисляется по формуле: 1/{C_Sigma}=sum{1}{n}{1/{C_i}}. Тогда получим: 1/{C_Sigma}=1/1+1/1+1/2+1/1=3,5,  {C_Sigma}=1/{3,5}=0,286 мкФ.

 

Ответ: 286 нФ

3. Емкость батареи конденсаторов, образованной двумя последовательно включенными конденсаторами, 100 пФ, а заряд 20 нКл. Определите емкость второго конденсатора, а также разность потенциалов на обкладках каждого из них, если C_1=200 пФ.

Воспользуемся C_Sigma=C_1*C_2/(C_1+C_2). Тогда 100=200*C_2/(200+C_2) (считаем в пикофарадах)

 

Отсюда 100(200+C_2)=200*C_220000=100*C_2C_2=200 пФ.

 

При последовательном соединении заряд на конденсаторах равный: q_1=20, q_2=20 нКл.

 

Напряжения также получатся одинаковыми:

 

U_1=q_1/{C_1}=20*10^{-9}/{200*10^{-12}}=100 В,  U_2=U_1=100 В.

 

Ответ: U_1=U_2=100 В, q_1= q_2=20 нКл.

4. Наибольшая емкость конденсатора 60 мкФ. Какой заряд он накопит при подключении источника постоянного напряжения 60В?

Так как q=C*U, то q=60*10^{-6}*60=0,36 мКл.

 

Ответ: 0,36 мКл

5. При введении в пространство между пластинами воздушного конденсатора твердого диэлектрика напряжение на конденсаторе уменьшилось с 400 до 100 В. Какова диэлектрическая проницаемость диэлектрика?

Рассмотрим сначала конденсатор до введения диэлектрика: q=C_1*U,  q_1=400C_1. Заряд остался тем же при введении  диэлектрика, а напряжение изменилось: q_2=q_1=100C_2.

Тогда  400C_1=100C_2, или C_1/{C_2}=1/4

 

Емкость конденсатора, как известно, зависит от площади пластин и расстояния между ними, а также от диэлектрика:

 

C={varepsilon*varepsilon_0*S}/d

 

В первом случае, без диэлектрика: C_1={varepsilon_0*S}/d, а во втором C_2={varepsilon*varepsilon_0*S}/d

 

Найдем и в этом случае отношение емкостей:  C_1/{C_2}=1/varepsilon, или varepsilon=C_2/{C_1}=4

 

Ответ: varepsilon=4 Кл*Кл/Н*м*м

6. Площадь пластин конденсатора равна 520 см кв. На каком расстоянии нужно разместить пластины в воздухе, чтобы емкость конденсатора была равна 50 пФ?

Емкость конденсатора без диэлектрика:

 

C={varepsilon_0*S}/d

 

Площадь нужно выразить в кв. метрах: S=520*10^{-4}=0,052

 

Диэлектрическая проницаемость воздуха varepsilon_0=8,85*10^{-12}.

 

Выразим из первого выражения нужную нам величину: d={varepsilon_0*S}/C={8,85*10^{-12}*0,052}/{50*10^{-12}}=0,0092 м, или 9,2 мм.

 

Ответ: 9,2 мм

7. Конденсатору емкостью 20 мкФ сообщили заряд 5 мкКл. Какова энергия заряженного конденсатора?

Энергию электрического поля, накопленную конденсатором, можно вычислить по формуле:

 

W=CU^2/2=q^2/{2C} – и в этой задаче как раз хорошо будет воспользоваться второй записью.

 

Тогда: W=q^2/{2C}=(5*10^{-6})^2/{2*20*10^{-6}}=25/40=0,625*10^{-6} мкДж

8. Расстояние между пластинами плоского конденсатора с диэлектриком из бумаги, пропитанной парафином, равно 2 мм, а напряжение 200 В. Найти плотность энергии поля.

Чтобы найти плотность энергии, нужно сначала определить энергию поля, а потом посчитать, в каком объеме она сосредоточена.

 

W=CU^2/2, с другой стороны, емкость C={varepsilon*varepsilon_0*S}/d, тогда W={{varepsilon*varepsilon_0*S}U^2}/{2d}. Объем пространства между пластинами конденсатора – это произведение площади пластин на расстояние между ними:  V=Sd. Тогда плотность энергии поля равна  W/V={{varepsilon*varepsilon_0}U^2}/{2d^2}

 

Посмотрим в справочнике, какова диэлектрическая проницаемость бумаги с парафином, выразим расстояние между пластинами в метрах, и подставим цифры:

 

W/V={{2,2*8,85*10^{-12}}200^2}/{2(0,002)^2}=9,7 мДж

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *