Конденсаторы: сила притяжения пластин, напряжения, эквивалентные емкости.

В этой статье рассматриваются задачи на определение напряжения на конденсаторе и в схеме с конденсаторами, между точками этих схем. Также мы рассмотрим задачи, связанные с силой притяжения пластин. В конце будет рассмотрен сложный (для запоминания) перерасчет звезды из конденсаторов в треугольник.

Задача 1. В плоский конденсатор, подключенный к источнику с постоянной ЭДС, помещена плоская пластина, имеющая заряд . Расстояние от пластины до обкладок и . Площадь пластины . Определите силу, действующую на пластину со стороны электрического поля.

Запишем силу как произведение заряда пластины на напряженность поля:

   

Обозначим потенциал пластины , примем потенциал левой пластины конденсатора равным нулю, а правой – .

Составим систему уравнений. Запишем разности потенциалов между левой обкладкой и пластиной и между правой и пластиной, учтем наложение поля конденсатора на поле, создаваемое пластиной:

   

Сложим уравнения:

   

Откуда

   

Тогда сила равна

   

Задача 2.  Когда к батарее, изображенной на рисунке, подвели напряжение , заряд среднего конденсатора оказался равным нулю. Какова емкость Сх?

Так как заряд равен нулю, то . Следовательно, потенциалы точек и – равны. А это означает, что разности потенциалов и . Также известно, что при последовательном соединении заряд на всех конденсаторах одинаков, поэтому

   

   

Тогда отношение напряжений равно отношению емкостей:

   

И во второй ветви будет соблюдаться то же отношение:

   

Откуда .

Задача 3.  В цепи известны емкости и ЭДС . Кроме того, известно, что заряд первого конденсатора равен . Найдите ЭДС второго элемента.

Зная заряд первого конденсатора и его емкость, найдем напряжение между точками и :

   

Напряжение это мы еще можем записать для каждой ветви так:

   

Или:

   

Так как обкладки конденсаторов соединены в точке , то алгебраическая сумма зарядов на этих обкладках равна нулю:

   

   

   

   

   

   

Домножим на емкость и разделим на :

   

Тогда

   

Определяем ЭДС:

   

   

   

Ответ:

   

Задача 4. Найдите разность потенциалов между точками и .

Запишем напряжение между точками и с двух сторон, и в прямом, и в переносном смысле:

   

   

Напряжение на параллельно включенных конденсаторах и равно:

   

   

   

Так как конденсаторы соединены в одной точке – точке , то алгебраическая сумма зарядов на этих обкладках равна 0:

   

   

Напряжение на тогда

   

Напряжение на :

   

Тогда заряд равен:

   

Тогда

   

Подставим найденный заряд:

   

   

   

   

   

Ответ:

Задача 5. Найдите разность потенциалов между точками и в этой цепи.

Запишем напряжение между точками и :

   

Для точки :

   

   

Где – напряжение на .

Отсюда получим, что

   

   

Для точки :

   

Где – напряжение на .

Отсюда получим, что

   

   

Тогда для получим:

   

   

   

   

Ответ:
Задача 6. Найдите разность потенциалов между точками и в этой цепи.

Запишем уравнение Кирхгофа (по 2-му закону) для обоих контуров (справа и слева):

   

   

Вычтем из первого второе:

   

Так как конденсаторы соединены последовательно, то заряды на них равны:

   

   

Тогда :

   

Или:

   

Подставим (2) в (1):

   

   

   

Подставим (3) в (1):

   

   

   

Наконец,

   

   

Можно было также воспользоваться (4) и найти .

Ответ:
Задача 7. Найдите силу притяжения между пластинами плоского конденсатора в схеме, изображенной на рисунке, если , , , ,  а расстояние между пластинами конденсатора равно .

Конденсаторы в схеме, по сути, соединены последовательно, поэтому их заряды одинаковы. Напряжение на первом тогда

   

А на втором

   

Сумма напряжений в контуре по второму закону равна сумме ЭДС:

   

   

   

   

   

Сила притяжения пластин будет равна:

   

Ответ:

 

Задача 8. В схеме, изображенной на рисунке, сила притяжения между пластинами плоского конденсатора равна . Найдите расстояние между пластинами этого конденсатора, если .

Напряжение на первом конденсаторе тогда

   

А на втором

   

Сумма напряжений в контуре по второму закону равна сумме ЭДС:

   

   

   

   

   

Сила притяжения пластин будет равна:

   

Откуда

   

Ответ:

 

Задача 9. Найдите емкость батареи. Емкость каждого конденсатора равна .

Чтобы было проще решить эту задачу, применим перерасчет (переход) от треугольника емкостей к звезде и обратно. Нам понадобится как раз обратный: от звезды к треугольнику. Выполняются оба перехода так:

Треугольник – звезда:

   

   

   

Звезда – треугольник:

   

   

   

Тогда у нас

   

 

Теперь оказывается, что каждый из конденсаторов , и соединен параллельно с . При параллельном соединении, как известно, емкости складываются:

Получим:

Таким образом, емкости и соединены последовательно, и это последовательное соединение – параллельно конденсатору . Тогда

   

Окончательно, складывая и , получаем:

   

Ответ: