Конденсаторы: сила притяжения пластин, напряжения, эквивалентные емкости.

В этой статье рассматриваются задачи на определение напряжения на конденсаторе и в схеме с конденсаторами, между точками этих схем. Также мы рассмотрим задачи, связанные с силой притяжения пластин. В конце будет рассмотрен сложный (для запоминания) перерасчет звезды из конденсаторов в треугольник.

Задача 1. В плоский конденсатор, подключенный к источнику с постоянной ЭДС, помещена плоская пластина, имеющая заряд $q$ . Расстояние от пластины до обкладок $d_1$ и $d_2$ . Площадь пластины $S$ . Определите силу, действующую на пластину со стороны электрического поля.

К задаче 1

Запишем силу как произведение заряда пластины на напряженность поля:

$F=q\frac{q_c}{\varepsilon_0 S}$

Обозначим потенциал пластины $\varphi$ , примем потенциал левой пластины конденсатора равным нулю, а правой – $E$ .

Составим систему уравнений. Запишем разности потенциалов между левой обкладкой и пластиной и между правой и пластиной, учтем наложение поля конденсатора на поле, создаваемое пластиной:

$\begin{Bmatrix}{0-\varphi=\left(-\frac{q_c}{\varepsilon_0 S}+\frac{q}{2\varepsilon_0 S}\right)d_1}\\{\varphi-E=\left(-\frac{q_c}{\varepsilon_0 S}+\frac{q}{2\varepsilon_0 S}\right)d_2}\end{matrix}$

Сложим уравнения:

$0-E=-\frac{q_c}{\varepsilon_0 S}(d_1+d_2)+\frac{q}{2\varepsilon_0 S}(d_2-d_1)$

Откуда

$\frac{q_c}{\varepsilon_0 S}=\frac{E+\frac{q}{2\varepsilon_0 S}(d_2-d_1)}{ d_2+d_1}$

Тогда сила равна

$F=\frac{q\left(E+\frac{q}{2\varepsilon_0 S}(d_2-d_1)\right)}{ d_2+d_1}$

Задача 2. Когда к батарее, изображенной на рисунке, подвели напряжение $U$ , заряд среднего конденсатора оказался равным нулю. Какова емкость Сх?

К задаче 2

Так как заряд $C_{KL}$ равен нулю, то $U_{KL}=0$ . Следовательно, потенциалы точек $K$ и $L$ – равны. А это означает, что разности потенциалов $U_{AK}=U_{AL}$ и $U_{KB}=U_{LB}$ . Также известно, что при последовательном соединении заряд на всех конденсаторах одинаков, поэтому

$q_1= U_{AL}\cdot 3C= U_{LB}\cdot C_x$

$q_2= U_{AK}\cdot C= U_{KB}\cdot2C$

Тогда отношение напряжений равно отношению емкостей:

$\frac{ U_{AK}}{ U_{KB}}=\frac{2C}{C}=2$

И во второй ветви будет соблюдаться то же отношение:

$\frac{ U_{AL}}{ U_{LB}}=\frac{3C}{C_x}=2$

Откуда $C_x=6C$ .

Задача 3. В цепи известны емкости $C1, C2, C3$ и ЭДС $E_1$ . Кроме того, известно, что заряд первого конденсатора равен $q_1$ . Найдите ЭДС $E_2$ второго элемента.

К задаче 3

Зная заряд первого конденсатора и его емкость, найдем напряжение между точками $A$ и $B$ :

$U_{AB}=\frac{q_1}{C_1}$

Напряжение это мы еще можем записать для каждой ветви так:

$U_{AB}=U_{C2}-E_1=U_{C3}+E_2$

Или:

$U_{AB}=\frac{q_2}{C_2}-E_1=\frac{q_3}{C_3}+E_2$

Так как обкладки конденсаторов соединены в точке $B$ , то алгебраическая сумма зарядов на этих обкладках равна нулю:

$q_1+q_2+q_3=0$

$q_2=-q_1-q_3$

$U_{AB}=U_{C2}-E_1=\frac{-q_1-q_3}{C_2}-E_1$

$\frac{q_1}{C_1}=\frac{-q_1-q_3}{C_2}-E_1$

$\frac{q_1}{C_1}+\frac{q_1}{C_2}=-\frac{q_3}{C_2}-E_1$

$\frac{q_1(C_1+C_2)}{C_1C_2}=-\frac{q_3}{C_2}-E_1$

Домножим на емкость $C_2$ и разделим на $C_3$ :

$\frac{q_1(C_1+C_2)}{C_1C_3}=-\frac{q_3}{C_3}-\frac{E_1C_2}{C_3}$

Тогда

$\frac{q_3}{C_3}=-\frac{q_1(C_1+C_2)}{C_1C_3}-\frac{E_1C_2}{C_3}$

Определяем ЭДС:

$E_2= U_{AB}-\frac{q_3}{C_3}=\frac{q_1}{C_1}+\frac{q_1(C_1+C_2)}{C_1C_3}+\frac{E_1C_2}{C_3}$

$E_2=\frac{E_1C_2}{C_3}+q_1\left(\frac{ 1}{C_1}+\frac{C_1+C_2}{C_1C_3}\right)$

$E_2=\frac{E_1C_2}{C_3}+q_1\left(\frac{C_1+C_2+C_3}{C_1C_3}\right)$

Ответ:

$E_2=\frac{E_1C_2}{C_3}+q_1\left(\frac{C_1+C_2+C_3}{C_1C_3}\right)$

Задача 4. Найдите разность потенциалов между точками $a$ и $k$ .

К задаче 4

Запишем напряжение между точками $a$ и $k$ с двух сторон, и в прямом, и в переносном смысле:

$U_{ak}=U_{C1C2}+E_1$

$U_{ak}=U_{C3}+E_2$

Напряжение на параллельно включенных конденсаторах $C_1$ и $C_2$ равно:

$U_{C1}=U_{C2}$

$q_1C_1=q_2C_2$

$q_2=q_1\frac{C_2}{C_1}$

Так как конденсаторы соединены в одной точке – точке $a$ , то алгебраическая сумма зарядов на этих обкладках равна 0:

$q_1+q_2+q_3=0$

$q_3=-q_1-q_2=-q_1- q_1\frac{C_2}{C_1}$

Напряжение на $C_3$ тогда

$U_{C3}=\frac{ q_3}{C_3}=-q_1\left(1+\frac{C_2}{C_1}\right)$

Напряжение на $C_1$ :

$U_{C1}=\frac{q_1}{C_1}= U_{ak}-E_1$

Тогда заряд $q_1$ равен:

$q_1= U_{ak}C_1-E_1C_1$

Тогда

$U_{ak}=E_2+\frac{ q_3}{C_3}=E_2- q_1\left(1+\frac{C_2}{C_1}\right)$

Подставим найденный заряд:

$U_{ak}= E_2- (U_{ak}C_1-E_1C_1)\left(1+\frac{C_2}{C_1}\right)$

$U_{ak}= E_2- \frac{U_{ak}C_1}{C_3}\left(1+\frac{C_2}{C_1}\right)+\frac{E_1C_1}{C_3}\left(1+\frac{C_2}{C_1}\right)$

$U_{ak}\left(1+\frac{C_1}{C_3}+\frac{C_2}{C_3}\right)=E_2+\frac{E_1C_1}{C_3}\left(1+\frac{C_2}{C_1}\right)$

$U_{ak}\frac{C_1+C_2+C_3}{C_3}=E_2+ E_1\frac{ C_1+C_2}{C_3}$

$U_{ak}=\frac{ E_2C_3+ E_1(C_1+C_2)}{ C_1+C_2+C_3}$

Ответ: $U_{ak}=\frac{ E_2C_3+ E_1(C_1+C_2)}{ C_1+C_2+C_3}$

Задача 5. Найдите разность потенциалов между точками $a$ и $b$ в этой цепи.

К задаче 5

Запишем напряжение между точками $a$ и $b$ :

$U_{ab}=U_2-U_1$

Для точки $b$ :

$q_1=-q_3$

$C_1U_1=C_3(E-U_1)$

Где $E-U_1$ – напряжение на $C_3$ .

Отсюда получим, что

$C_1U_1+C_3U_1=EC_3$

$U_1=\frac{EC_3}{C_1+C_3}$

Для точки $A$ :

$C_2U_2=C(E-U_2)$

Где $E-U_2$ – напряжение на $C_4$ .

Отсюда получим, что

$C_2U_2+C_3U_2=EC_3$

$U_2=\frac{EC_3}{C_2+C_3}$

Тогда для $U_{ab}$ получим:

$U_{ab}=U_2-U_1=\frac{EC_3}{C_2+C_3}-\frac{EC_3}{C_1+C_3}$

$U_{ab}= EC_3\left(\frac{1}{C_2+C_3}-\frac{1}{C_1+C_3}\right)$

$U_{ab}= EC_3\frac{C_1+C_3-(C_2+C_3)}{(C_2+C_3)(C_1+C_3)}$

$U_{ab}= EC_3\frac{C_1-C_2)}{(C_2+C_3)(C_1+C_3)}$

Ответ: $U_{ab}= EC_3\frac{C_1-C_2)}{(C_2+C_3)(C_1+C_3)}$
Задача 6. Найдите разность потенциалов между точками $a$ и $b$ в этой цепи.

К задаче 6

Запишем уравнение Кирхгофа (по 2-му закону) для обоих контуров (справа и слева):

$U_{ab}+U_1=E_1$

$U_{ab}-U_2=-E_2$

Вычтем из первого второе:

$U_1+U_2=E_1+E_2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)$

Так как конденсаторы соединены последовательно, то заряды на них равны:

$q_1=q_2$

$C_1U_1= C_2 U_2$

Тогда $U_1$ :

$U_1=\frac{C_2}{C_1}U_2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)$

Или:

$U_2=\frac{C_1}{C_2}U_1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(3)$

Подставим (2) в (1):

$U_2+\frac{C_2}{C_1}U_2= E_1+E_2$

$U_2\frac{C_1+C_2}{C_1}= E_1+E_2$

$U_2=\frac{C_1(E_1+E_2)}{ C_1+C_2}~~~~~~~~~~~~~~~~(4)$

Подставим (3) в (1):

$U_1+\frac{C_1}{C_2}U_1= E_1+E_2$

$U_1\frac{C_1+C_2}{C_2}= E_1+E_2$

$U_1=\frac{C_2(E_1+E_2)}{ C_1+C_2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~(5)$

Наконец,

$U_{ab}=E_1- U_1=E_1-\frac{C_2(E_1+E_2)}{ C_1+C_2}=\frac{ E_1(C_1+C_2)- C_2(E_1+E_2)}{ C_1+C_2}$

$U_{ab}=\frac{ E_1C_1-E_2C_2}{ C_1+C_2}$

Можно было также воспользоваться (4) и найти $U_{ab}=U_2-E_2$ .

Ответ: $U_{ab}=\frac{ E_1C_1-E_2C_2}{ C_1+C_2}$
Задача 7. Найдите силу притяжения между пластинами плоского конденсатора $C_1$ в схеме, изображенной на рисунке, если $C_1=C_0$ , $C_2=2C_0$ , $E_1=E_0$ , $E_2=2E_0$ , а расстояние между пластинами конденсатора $C_1$ равно $d$ .

К задаче 7

Конденсаторы в схеме, по сути, соединены последовательно, поэтому их заряды одинаковы. Напряжение на первом тогда

$U_1=\frac{q}{C_1}$

А на втором

$U_2=\frac{q}{C_2}$

Сумма напряжений в контуре по второму закону равна сумме ЭДС:

$U_1+ U_2=E_1+E_2$

$\frac{q}{C_1}+\frac{q}{C_2}= E_1+E_2$

$\frac{q}{C_0}+\frac{q}{2C_0}= 3E_0$

$\frac{3q}{2C_0}= 3E_0$

$q=2C_0E_0$

Сила притяжения пластин будет равна:

$F=q\cdot\frac{q}{2\varepsilon S}=\frac{q^2}{2\varepsilon S}=\frac{4E_0^2C_0^2}{2\varepsilon S}=\frac{2E_0^2C_0}{d}$

Ответ: $F=\frac{2E_0^2C_0}{d}$

Задача 8. В схеме, изображенной на рисунке, сила притяжения между пластинами плоского конденсатора $C_2$ равна $F$ . Найдите расстояние между пластинами этого конденсатора, если $C_1=2C_0$ , $C_2=C_0$ , $E_1=E_0$ , $E_2=2E_0$ .

К задаче 8

Напряжение на первом конденсаторе тогда

$U_1=\frac{q_1}{C_1}$

А на втором

$U_2=\frac{q}{C_2}$

Сумма напряжений в контуре по второму закону равна сумме ЭДС:

$U_1+ U_2=E_1-E_2$

$\frac{q_1}{C_1}+\frac{q_1}{C_2}=E_0$

$\frac{q_1}{2C_0}+\frac{q_1}{C_0}=E_0$

$\frac{3q_1}{2C_0}=E_0$

$q_1=\frac{2C_0E_0}{3}$

Сила притяжения пластин будет равна:

$F=q_1\cdot\frac{q_2}{2\varepsilon S}=\frac{q_1^2}{2\varepsilon S}=\frac{4E_0^2C_0^2}{9\cdot2\varepsilon S}=\frac{2E_0^2C_0}{9d}$

Откуда

$d=\frac{2E_0^2C_0}{9F}$

Ответ: $d=\frac{2E_0^2C_0}{9F}$

Задача 9. Найдите емкость батареи. Емкость каждого конденсатора равна $C$ .

К задаче 9

Чтобы было проще решить эту задачу, применим перерасчет (переход) от треугольника емкостей к звезде и обратно. Нам понадобится как раз обратный: от звезды к треугольнику. Выполняются оба перехода так:

Звезда-треугольник, треугольник-звезда

Треугольник – звезда:

$C_1=C_{12}+C_{13}+\frac{C_{12}C_{13}}{C_{23}}$

$C_2=C_{12}+C_{23}+\frac{C_{12}C_{23}}{C_{13}}$

$C_3=C_{13}+C_{23}+\frac{C_{13}C_{23}}{C_{12}}$

Звезда – треугольник:

$C_{12}=\frac{C_1+C_2}{C_1+C_2+C_3}$

$C_{13}=\frac{C_1+C_3}{C_1+C_2+C_3}$

$C_{23}=\frac{C_2+C_3}{C_1+C_2+C_3}$

Тогда у нас

$C_{12}=C_{23}=C_{31}=\frac{C^2}{3C}=\frac{C}{3}$

К задаче 9, рисунок 2

Теперь оказывается, что каждый из конденсаторов $C_{12}$ , $C_{31}$ и $C_{23}$ соединен параллельно с $C$ . При параллельном соединении, как известно, емкости складываются: $C+\frac{C}{3}=\frac{4C}{3}$

Получим:

К задаче 9, рисунок 3

Таким образом, емкости $C_a=C+С_{12}$ и $C_b=C+C_{23}$ соединены последовательно, и это последовательное соединение – параллельно конденсатору $C_c=C+C_{31}$ . Тогда