Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Емкости

Конденсаторы: сила притяжения пластин, напряжения, эквивалентные емкости.

В этой статье рассматриваются задачи на определение напряжения на конденсаторе и в схеме с конденсаторами, между точками этих схем. Также мы рассмотрим задачи, связанные с силой притяжения пластин. В конце будет рассмотрен сложный (для запоминания) перерасчет звезды из конденсаторов в треугольник.

Задача 1. В плоский конденсатор, подключенный к источнику с постоянной ЭДС, помещена плоская пластина, имеющая заряд q. Расстояние от пластины до обкладок d_1 и d_2. Площадь пластины S. Определите силу, действующую на пластину со стороны электрического поля.

К задаче 1

Запишем силу как произведение заряда пластины на напряженность поля:

    \[F=q\frac{q_c}{\varepsilon_0 S}\]

Обозначим потенциал пластины \varphi, примем потенциал левой пластины конденсатора равным нулю, а правой – E.

Составим систему уравнений. Запишем разности потенциалов между левой обкладкой и пластиной и между правой и пластиной, учтем наложение поля конденсатора на поле, создаваемое пластиной:

    \[\begin{Bmatrix}{0-\varphi=\left(-\frac{q_c}{\varepsilon_0 S}+\frac{q}{2\varepsilon_0 S}\right)d_1}\\{\varphi-E=\left(-\frac{q_c}{\varepsilon_0 S}+\frac{q}{2\varepsilon_0 S}\right)d_2}\end{matrix}\]

Сложим уравнения:

    \[0-E=-\frac{q_c}{\varepsilon_0 S}(d_1+d_2)+\frac{q}{2\varepsilon_0 S}(d_2-d_1)\]

Откуда

    \[\frac{q_c}{\varepsilon_0 S}=\frac{E+\frac{q}{2\varepsilon_0 S}(d_2-d_1)}{ d_2+d_1}\]

Тогда сила равна

    \[F=\frac{q\left(E+\frac{q}{2\varepsilon_0 S}(d_2-d_1)\right)}{ d_2+d_1}\]

Задача 2.  Когда к батарее, изображенной на рисунке, подвели напряжение U, заряд среднего конденсатора оказался равным нулю. Какова емкость Сх?

К задаче 2

Так как заряд C_{KL} равен нулю, то U_{KL}=0. Следовательно, потенциалы точек K и L – равны. А это означает, что разности потенциалов U_{AK}=U_{AL} и U_{KB}=U_{LB}. Также известно, что при последовательном соединении заряд на всех конденсаторах одинаков, поэтому

    \[q_1= U_{AL}\cdot 3C= U_{LB}\cdot C_x\]

    \[q_2= U_{AK}\cdot C= U_{KB}\cdot2C\]

Тогда отношение напряжений равно отношению емкостей:

    \[\frac{ U_{AK}}{ U_{KB}}=\frac{2C}{C}=2\]

И во второй ветви будет соблюдаться то же отношение:

    \[\frac{ U_{AL}}{ U_{LB}}=\frac{3C}{C_x}=2\]

Откуда C_x=6C.

Задача 3.  В цепи известны емкости C1, C2, C3 и ЭДС E_1. Кроме того, известно, что заряд первого конденсатора равен q_1. Найдите ЭДС E_2 второго элемента.

К задаче 3

Зная заряд первого конденсатора и его емкость, найдем напряжение между точками A и B:

    \[U_{AB}=\frac{q_1}{C_1}\]

Напряжение это мы еще можем записать для каждой ветви так:

    \[U_{AB}=U_{C2}-E_1=U_{C3}+E_2\]

Или:

    \[U_{AB}=\frac{q_2}{C_2}-E_1=\frac{q_3}{C_3}+E_2\]

Так как обкладки конденсаторов соединены в точке B, то алгебраическая сумма зарядов на этих обкладках равна нулю:

    \[q_1+q_2+q_3=0\]

    \[q_2=-q_1-q_3\]

    \[U_{AB}=U_{C2}-E_1=\frac{-q_1-q_3}{C_2}-E_1\]

    \[\frac{q_1}{C_1}=\frac{-q_1-q_3}{C_2}-E_1\]

    \[\frac{q_1}{C_1}+\frac{q_1}{C_2}=-\frac{q_3}{C_2}-E_1\]

    \[\frac{q_1(C_1+C_2)}{C_1C_2}=-\frac{q_3}{C_2}-E_1\]

Домножим на емкость C_2 и разделим на C_3:

    \[\frac{q_1(C_1+C_2)}{C_1C_3}=-\frac{q_3}{C_3}-\frac{E_1C_2}{C_3}\]

Тогда

    \[\frac{q_3}{C_3}=-\frac{q_1(C_1+C_2)}{C_1C_3}-\frac{E_1C_2}{C_3}\]

Определяем ЭДС:

    \[E_2= U_{AB}-\frac{q_3}{C_3}=\frac{q_1}{C_1}+\frac{q_1(C_1+C_2)}{C_1C_3}+\frac{E_1C_2}{C_3}\]

    \[E_2=\frac{E_1C_2}{C_3}+q_1\left(\frac{ 1}{C_1}+\frac{C_1+C_2}{C_1C_3}\right)\]

    \[E_2=\frac{E_1C_2}{C_3}+q_1\left(\frac{C_1+C_2+C_3}{C_1C_3}\right)\]

Ответ:

    \[E_2=\frac{E_1C_2}{C_3}+q_1\left(\frac{C_1+C_2+C_3}{C_1C_3}\right)\]

Задача 4. Найдите разность потенциалов между точками a и k.

К задаче 4

Запишем напряжение между точками a и k с двух сторон, и в прямом, и в переносном смысле:

    \[U_{ak}=U_{C1C2}+E_1\]

    \[U_{ak}=U_{C3}+E_2\]

Напряжение на параллельно включенных конденсаторах C_1 и C_2 равно:

    \[U_{C1}=U_{C2}\]

    \[q_1C_1=q_2C_2\]

    \[q_2=q_1\frac{C_2}{C_1}\]

Так как конденсаторы соединены в одной точке – точке a, то алгебраическая сумма зарядов на этих обкладках равна 0:

    \[q_1+q_2+q_3=0\]

    \[q_3=-q_1-q_2=-q_1- q_1\frac{C_2}{C_1}\]

Напряжение на C_3 тогда

    \[U_{C3}=\frac{ q_3}{C_3}=-q_1\left(1+\frac{C_2}{C_1}\right)\]

Напряжение на C_1:

    \[U_{C1}=\frac{q_1}{C_1}= U_{ak}-E_1\]

Тогда заряд q_1 равен:

    \[q_1= U_{ak}C_1-E_1C_1\]

Тогда

    \[U_{ak}=E_2+\frac{ q_3}{C_3}=E_2- q_1\left(1+\frac{C_2}{C_1}\right)\]

Подставим найденный заряд:

    \[U_{ak}= E_2- (U_{ak}C_1-E_1C_1)\left(1+\frac{C_2}{C_1}\right)\]

    \[U_{ak}= E_2- \frac{U_{ak}C_1}{C_3}\left(1+\frac{C_2}{C_1}\right)+\frac{E_1C_1}{C_3}\left(1+\frac{C_2}{C_1}\right)\]

    \[U_{ak}\left(1+\frac{C_1}{C_3}+\frac{C_2}{C_3}\right)=E_2+\frac{E_1C_1}{C_3}\left(1+\frac{C_2}{C_1}\right)\]

    \[U_{ak}\frac{C_1+C_2+C_3}{C_3}=E_2+ E_1\frac{ C_1+C_2}{C_3}\]

    \[U_{ak}=\frac{ E_2C_3+ E_1(C_1+C_2)}{ C_1+C_2+C_3}\]

Ответ: U_{ak}=\frac{ E_2C_3+ E_1(C_1+C_2)}{ C_1+C_2+C_3}

Задача 5. Найдите разность потенциалов между точками a и b в этой цепи.

К задаче 5

Запишем напряжение между точками a и b:

    \[U_{ab}=U_2-U_1\]

Для точки b:

    \[q_1=-q_3\]

    \[C_1U_1=C_3(E-U_1)\]

Где E-U_1 – напряжение на C_3.

Отсюда получим, что

    \[C_1U_1+C_3U_1=EC_3\]

    \[U_1=\frac{EC_3}{C_1+C_3}\]

Для точки A:

    \[C_2U_2=C(E-U_2)\]

Где E-U_2 – напряжение на C_4.

Отсюда получим, что

    \[C_2U_2+C_3U_2=EC_3\]

    \[U_2=\frac{EC_3}{C_2+C_3}\]

Тогда для U_{ab} получим:

    \[U_{ab}=U_2-U_1=\frac{EC_3}{C_2+C_3}-\frac{EC_3}{C_1+C_3}\]

    \[U_{ab}= EC_3\left(\frac{1}{C_2+C_3}-\frac{1}{C_1+C_3}\right)\]

    \[U_{ab}= EC_3\frac{C_1+C_3-(C_2+C_3)}{(C_2+C_3)(C_1+C_3)}\]

    \[U_{ab}= EC_3\frac{C_1-C_2)}{(C_2+C_3)(C_1+C_3)}\]

Ответ: U_{ab}= EC_3\frac{C_1-C_2)}{(C_2+C_3)(C_1+C_3)}
Задача 6. Найдите разность потенциалов между точками a и b в этой цепи.

К задаче 6

Запишем уравнение Кирхгофа (по 2-му закону) для обоих контуров (справа и слева):

    \[U_{ab}+U_1=E_1\]

    \[U_{ab}-U_2=-E_2\]

Вычтем из первого второе:

    \[U_1+U_2=E_1+E_2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)\]

Так как конденсаторы соединены последовательно, то заряды на них равны:

    \[q_1=q_2\]

    \[C_1U_1= C_2 U_2\]

Тогда U_1:

    \[U_1=\frac{C_2}{C_1}U_2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)\]

Или:

    \[U_2=\frac{C_1}{C_2}U_1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(3)\]

Подставим (2) в (1):

    \[U_2+\frac{C_2}{C_1}U_2= E_1+E_2\]

    \[U_2\frac{C_1+C_2}{C_1}= E_1+E_2\]

    \[U_2=\frac{C_1(E_1+E_2)}{ C_1+C_2}~~~~~~~~~~~~~~~~(4)\]

Подставим (3) в (1):

    \[U_1+\frac{C_1}{C_2}U_1= E_1+E_2\]

    \[U_1\frac{C_1+C_2}{C_2}= E_1+E_2\]

    \[U_1=\frac{C_2(E_1+E_2)}{ C_1+C_2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~(5)\]

Наконец,

    \[U_{ab}=E_1- U_1=E_1-\frac{C_2(E_1+E_2)}{ C_1+C_2}=\frac{ E_1(C_1+C_2)- C_2(E_1+E_2)}{ C_1+C_2}\]

    \[U_{ab}=\frac{ E_1C_1-E_2C_2}{ C_1+C_2}\]

Можно было также воспользоваться (4) и найти U_{ab}=U_2-E_2.

Ответ: U_{ab}=\frac{ E_1C_1-E_2C_2}{ C_1+C_2}
Задача 7. Найдите силу притяжения между пластинами плоского конденсатора C_1 в схеме, изображенной на рисунке, если C_1=C_0, C_2=2C_0, E_1=E_0, E_2=2E_0,  а расстояние между пластинами конденсатора C_1 равно d.

К задаче 7

Конденсаторы в схеме, по сути, соединены последовательно, поэтому их заряды одинаковы. Напряжение на первом тогда

    \[U_1=\frac{q}{C_1}\]

А на втором

    \[U_2=\frac{q}{C_2}\]

Сумма напряжений в контуре по второму закону равна сумме ЭДС:

    \[U_1+ U_2=E_1+E_2\]

    \[\frac{q}{C_1}+\frac{q}{C_2}= E_1+E_2\]

    \[\frac{q}{C_0}+\frac{q}{2C_0}= 3E_0\]

    \[\frac{3q}{2C_0}= 3E_0\]

    \[q=2C_0E_0\]

Сила притяжения пластин будет равна:

    \[F=q\cdot\frac{q}{2\varepsilon S}=\frac{q^2}{2\varepsilon S}=\frac{4E_0^2C_0^2}{2\varepsilon S}=\frac{2E_0^2C_0}{d}\]

Ответ: F=\frac{2E_0^2C_0}{d}

 

Задача 8. В схеме, изображенной на рисунке, сила притяжения между пластинами плоского конденсатора C_2 равна F. Найдите расстояние между пластинами этого конденсатора, если C_1=2C_0,C_2=C_0, E_1=E_0, E_2=2E_0.

К задаче 8

Напряжение на первом конденсаторе тогда

    \[U_1=\frac{q_1}{C_1}\]

А на втором

    \[U_2=\frac{q}{C_2}\]

Сумма напряжений в контуре по второму закону равна сумме ЭДС:

    \[U_1+ U_2=E_1-E_2\]

    \[\frac{q_1}{C_1}+\frac{q_1}{C_2}=E_0\]

    \[\frac{q_1}{2C_0}+\frac{q_1}{C_0}=E_0\]

    \[\frac{3q_1}{2C_0}=E_0\]

    \[q_1=\frac{2C_0E_0}{3}\]

Сила притяжения пластин будет равна:

    \[F=q_1\cdot\frac{q_2}{2\varepsilon S}=\frac{q_1^2}{2\varepsilon S}=\frac{4E_0^2C_0^2}{9\cdot2\varepsilon S}=\frac{2E_0^2C_0}{9d}\]

Откуда

    \[d=\frac{2E_0^2C_0}{9F}\]

Ответ: d=\frac{2E_0^2C_0}{9F}

 

Задача 9. Найдите емкость батареи. Емкость каждого конденсатора равна C.

К задаче 9

Чтобы было проще решить эту задачу, применим перерасчет (переход) от треугольника емкостей к звезде и обратно. Нам понадобится как раз обратный: от звезды к треугольнику. Выполняются оба перехода так:

Звезда-треугольник, треугольник-звезда

Треугольник – звезда:

    \[C_1=C_{12}+C_{13}+\frac{C_{12}C_{13}}{C_{23}}\]

    \[C_2=C_{12}+C_{23}+\frac{C_{12}C_{23}}{C_{13}}\]

    \[C_3=C_{13}+C_{23}+\frac{C_{13}C_{23}}{C_{12}}\]

Звезда – треугольник:

    \[C_{12}=\frac{C_1+C_2}{C_1+C_2+C_3}\]

    \[C_{13}=\frac{C_1+C_3}{C_1+C_2+C_3}\]

    \[C_{23}=\frac{C_2+C_3}{C_1+C_2+C_3}\]

Тогда у нас

    \[C_{12}=C_{23}=C_{31}=\frac{C^2}{3C}=\frac{C}{3}\]

 

К задаче 9, рисунок 2

Теперь оказывается, что каждый из конденсаторов C_{12}, C_{31} и C_{23} соединен параллельно с C. При параллельном соединении, как известно, емкости складываются: C+\frac{C}{3}=\frac{4C}{3}

Получим:

К задаче 9, рисунок 3

Таким образом, емкости C_a=C+С_{12} и C_b=C+C_{23} соединены последовательно, и это последовательное соединение – параллельно конденсатору C_c=C+C_{31}. Тогда

    \[C_{ab}=\frac{\left(\frac{4C}{3}\right)^2}{\frac{8C}{3}}=\frac{2C}{3}\]

Окончательно, складывая C_{ab} и C_c, получаем:

    \[C_{ekv}=\frac{2C}{3}+\frac{4C}{3}=2С\]

Ответ: C_{ekv}=2С

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *