Конденсаторы: сила притяжения пластин, напряжения, эквивалентные емкости.

[latexpage]

В этой статье рассматриваются задачи на определение напряжения на конденсаторе и в схеме с конденсаторами, между точками этих схем. Также мы рассмотрим задачи, связанные с силой притяжения пластин. В конце будет рассмотрен сложный (для запоминания) перерасчет звезды из конденсаторов в треугольник.

Задача 1. В плоский конденсатор, подключенный к источнику с постоянной ЭДС, помещена плоская пластина, имеющая заряд $q$. Расстояние от пластины до обкладок $d_1$ и $d_2$. Площадь пластины $S$. Определите силу, действующую на пластину со стороны электрического поля.

Запишем силу как произведение заряда пластины на напряженность поля:

$$F=q\frac{q_c}{\varepsilon_0 S}$$

Обозначим потенциал пластины $\varphi$, примем потенциал левой пластины конденсатора равным нулю, а правой – $E$.

Составим систему уравнений. Запишем разности потенциалов между левой обкладкой и пластиной и между правой и пластиной, учтем наложение поля конденсатора на поле, создаваемое пластиной:

$$\begin{Bmatrix}{0-\varphi=\left(-\frac{q_c}{\varepsilon_0 S}+\frac{q}{2\varepsilon_0 S}\right)d_1}\\{\varphi-E=\left(-\frac{q_c}{\varepsilon_0 S}+\frac{q}{2\varepsilon_0 S}\right)d_2}\end{matrix}$$
Сложим уравнения:

$$0-E=-\frac{q_c}{\varepsilon_0 S}(d_1+d_2)+\frac{q}{2\varepsilon_0 S}(d_2-d_1)$$

Откуда

$$\frac{q_c}{\varepsilon_0 S}=\frac{E+\frac{q}{2\varepsilon_0 S}(d_2-d_1)}{ d_2+d_1}$$

Тогда сила равна

$$F=\frac{q\left(E+\frac{q}{2\varepsilon_0 S}(d_2-d_1)\right)}{ d_2+d_1}$$
Задача 2.  Когда к батарее, изображенной на рисунке, подвели напряжение $U$, заряд среднего конденсатора оказался равным нулю. Какова емкость Сх?

Так как заряд $C_{KL}$ равен нулю, то $U_{KL}=0$. Следовательно, потенциалы точек $K$ и $L$ – равны. А это означает, что разности потенциалов $U_{AK}=U_{AL}$ и $U_{KB}=U_{LB}$. Также известно, что при последовательном соединении заряд на всех конденсаторах одинаков, поэтому

$$q_1= U_{AL}\cdot 3C= U_{LB}\cdot C_x$$

$$ q_2= U_{AK}\cdot C= U_{KB}\cdot2C$$

Тогда отношение напряжений равно отношению емкостей:

$$\frac{ U_{AK}}{ U_{KB}}=\frac{2C}{C}=2$$

И во второй ветви будет соблюдаться то же отношение:

$$\frac{ U_{AL}}{ U_{LB}}=\frac{3C}{C_x}=2$$

Откуда $C_x=6C$.

Задача 3.  В цепи известны емкости $C1, C2, C3$ и ЭДС $E_1$. Кроме того, известно, что заряд первого конденсатора равен $q_1$. Найдите ЭДС $E_2$ второго элемента.

Зная заряд первого конденсатора и его емкость, найдем напряжение между точками $A$ и $B$:

$$U_{AB}=\frac{q_1}{C_1}$$

Напряжение это мы еще можем записать для каждой ветви так:

$$ U_{AB}=U_{C2}-E_1=U_{C3}+E_2$$

Или:

$$ U_{AB}=\frac{q_2}{C_2}-E_1=\frac{q_3}{C_3}+E_2$$

Так как обкладки конденсаторов соединены в точке $B$, то алгебраическая сумма зарядов на этих обкладках равна нулю:

$$q_1+q_2+q_3=0$$

$$q_2=-q_1-q_3$$

$$ U_{AB}=U_{C2}-E_1=\frac{-q_1-q_3}{C_2}-E_1$$

$$\frac{q_1}{C_1}=\frac{-q_1-q_3}{C_2}-E_1$$

$$\frac{q_1}{C_1}+\frac{q_1}{C_2}=-\frac{q_3}{C_2}-E_1$$

$$\frac{q_1(C_1+C_2)}{C_1C_2}=-\frac{q_3}{C_2}-E_1$$

Домножим на емкость $C_2$ и разделим на $C_3$:

$$\frac{q_1(C_1+C_2)}{C_1C_3}=-\frac{q_3}{C_3}-\frac{E_1C_2}{C_3}$$

Тогда

$$\frac{q_3}{C_3}=-\frac{q_1(C_1+C_2)}{C_1C_3}-\frac{E_1C_2}{C_3}$$

Определяем ЭДС:

$$E_2= U_{AB}-\frac{q_3}{C_3}=\frac{q_1}{C_1}+\frac{q_1(C_1+C_2)}{C_1C_3}+\frac{E_1C_2}{C_3}$$
$$E_2=\frac{E_1C_2}{C_3}+q_1\left(\frac{ 1}{C_1}+\frac{C_1+C_2}{C_1C_3}\right)$$

$$E_2=\frac{E_1C_2}{C_3}+q_1\left(\frac{C_1+C_2+C_3}{C_1C_3}\right)$$

Ответ: $$E_2=\frac{E_1C_2}{C_3}+q_1\left(\frac{C_1+C_2+C_3}{C_1C_3}\right)$$
Задача 4. Найдите разность потенциалов между точками $a$ и $k$.

Запишем напряжение между точками $a$ и $k$ с двух сторон, и в прямом, и в переносном смысле:

$$U_{ak}=U_{C1C2}+E_1$$

$$U_{ak}=U_{C3}+E_2$$

Напряжение на параллельно включенных конденсаторах $C_1$ и $C_2$ равно:

$$U_{C1}=U_{C2}$$

$$q_1C_1=q_2C_2$$

$$q_2=q_1\frac{C_2}{C_1}$$

Так как конденсаторы соединены в одной точке – точке $a$, то алгебраическая сумма зарядов на этих обкладках равна 0:

$$q_1+q_2+q_3=0$$

$$q_3=-q_1-q_2=-q_1- q_1\frac{C_2}{C_1}$$

Напряжение на $C_3$ тогда

$$U_{C3}=\frac{ q_3}{C_3}=-q_1\left(1+\frac{C_2}{C_1}\right)$$

Напряжение на $C_1$:

$$U_{C1}=\frac{q_1}{C_1}= U_{ak}-E_1$$

Тогда заряд $q_1$ равен:

$$q_1= U_{ak}C_1-E_1C_1$$

Тогда

$$U_{ak}=E_2+\frac{ q_3}{C_3}=E_2- q_1\left(1+\frac{C_2}{C_1}\right)$$

Подставим найденный заряд:

$$U_{ak}= E_2- (U_{ak}C_1-E_1C_1)\left(1+\frac{C_2}{C_1}\right)$$

$$U_{ak}= E_2- \frac{U_{ak}C_1}{C_3}\left(1+\frac{C_2}{C_1}\right)+\frac{E_1C_1}{C_3}\left(1+\frac{C_2}{C_1}\right)$$

$$U_{ak}\left(1+\frac{C_1}{C_3}+\frac{C_2}{C_3}\right)=E_2+\frac{E_1C_1}{C_3}\left(1+\frac{C_2}{C_1}\right)$$

$$U_{ak}\frac{C_1+C_2+C_3}{C_3}=E_2+ E_1\frac{ C_1+C_2}{C_3}$$

$$U_{ak}=\frac{ E_2C_3+ E_1(C_1+C_2)}{ C_1+C_2+C_3}$$

Ответ: $U_{ak}=\frac{ E_2C_3+ E_1(C_1+C_2)}{ C_1+C_2+C_3}$

Задача 5. Найдите разность потенциалов между точками $a$ и $b$ в этой цепи.

Запишем напряжение между точками $a$ и $b$:

$$U_{ab}=U_2-U_1$$

Для точки $b$:

$$q_1=-q_3$$

$$C_1U_1=C_3(E-U_1)$$

Где $ E-U_1$ – напряжение на $C_3$.

Отсюда получим, что

$$C_1U_1+C_3U_1=EC_3$$

$$U_1=\frac{EC_3}{C_1+C_3}$$

Для точки $A$:

$$C_2U_2=C(E-U_2)$$

Где $ E-U_2$ – напряжение на $C_4$.

Отсюда получим, что

$$C_2U_2+C_3U_2=EC_3$$

$$U_2=\frac{EC_3}{C_2+C_3}$$

Тогда для $U_{ab}$ получим:

$$U_{ab}=U_2-U_1=\frac{EC_3}{C_2+C_3}-\frac{EC_3}{C_1+C_3}$$

$$U_{ab}= EC_3\left(\frac{1}{C_2+C_3}-\frac{1}{C_1+C_3}\right)$$

$$U_{ab}= EC_3\frac{C_1+C_3-(C_2+C_3)}{(C_2+C_3)(C_1+C_3)}$$

$$U_{ab}= EC_3\frac{C_1-C_2)}{(C_2+C_3)(C_1+C_3)}$$

Ответ: $U_{ab}= EC_3\frac{C_1-C_2)}{(C_2+C_3)(C_1+C_3)}$
Задача 6. Найдите разность потенциалов между точками $a$ и $b$ в этой цепи.

Запишем уравнение Кирхгофа (по 2-му закону) для обоих контуров (справа и слева):

$$U_{ab}+U_1=E_1$$

$$U_{ab}-U_2=-E_2$$

Вычтем из первого второе:

$$U_1+U_2=E_1+E_2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$

Так как конденсаторы соединены последовательно, то заряды на них равны:

$$q_1=q_2$$

$$C_1U_1= C_2 U_2$$

Тогда $U_1$:

$$U_1=\frac{C_2}{C_1}U_2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)$$

Или:

$$U_2=\frac{C_1}{C_2}U_1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(3)$$

Подставим (2) в (1):

$$U_2+\frac{C_2}{C_1}U_2= E_1+E_2$$

$$U_2\frac{C_1+C_2}{C_1}= E_1+E_2$$

$$U_2=\frac{C_1(E_1+E_2)}{ C_1+C_2}~~~~~~~~~~~~~~~~(4)$$

Подставим (3) в (1):

$$U_1+\frac{C_1}{C_2}U_1= E_1+E_2$$

$$U_1\frac{C_1+C_2}{C_2}= E_1+E_2$$

$$U_1=\frac{C_2(E_1+E_2)}{ C_1+C_2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~(5)$$

Наконец,

$$U_{ab}=E_1- U_1=E_1-\frac{C_2(E_1+E_2)}{ C_1+C_2}=\frac{ E_1(C_1+C_2)- C_2(E_1+E_2)}{ C_1+C_2}$$

$$U_{ab}=\frac{ E_1C_1-E_2C_2}{ C_1+C_2}$$

Можно было также воспользоваться (4) и найти $U_{ab}=U_2-E_2$.

Ответ: $U_{ab}=\frac{ E_1C_1-E_2C_2}{ C_1+C_2}$
Задача 7. Найдите силу притяжения между пластинами плоского конденсатора $C_1$ в схеме, изображенной на рисунке, если $C_1=C_0$, $C_2=2C_0$, $E_1=E_0$, $E_2=2E_0$,  а расстояние между пластинами конденсатора $C_1$ равно $d$.

Конденсаторы в схеме, по сути, соединены последовательно, поэтому их заряды одинаковы. Напряжение на первом тогда

$$U_1=\frac{q}{C_1}$$

А на втором

$$U_2=\frac{q}{C_2}$$

Сумма напряжений в контуре по второму закону равна сумме ЭДС:

$$ U_1+ U_2=E_1+E_2$$

$$\frac{q}{C_1}+\frac{q}{C_2}= E_1+E_2$$

$$\frac{q}{C_0}+\frac{q}{2C_0}= 3E_0$$

$$\frac{3q}{2C_0}= 3E_0$$

$$q=2C_0E_0$$

Сила притяжения пластин будет равна:

$$F=q\cdot\frac{q}{2\varepsilon S}=\frac{q^2}{2\varepsilon S}=\frac{4E_0^2C_0^2}{2\varepsilon S}=\frac{2E_0^2C_0}{d}$$

Ответ: $F=\frac{2E_0^2C_0}{d}$

 

Задача 8. В схеме, изображенной на рисунке, сила притяжения между пластинами плоского конденсатора $C_2$ равна $F$. Найдите расстояние между пластинами этого конденсатора, если $C_1=2C_0$,$C_2=C_0$, $E_1=E_0$, $E_2=2E_0$.

Напряжение на первом конденсаторе тогда

$$U_1=\frac{q_1}{C_1}$$

А на втором

$$U_2=\frac{q}{C_2}$$

Сумма напряжений в контуре по второму закону равна сумме ЭДС:

$$ U_1+ U_2=E_1-E_2$$

$$\frac{q_1}{C_1}+\frac{q_1}{C_2}=E_0$$

$$\frac{q_1}{2C_0}+\frac{q_1}{C_0}=E_0$$

$$\frac{3q_1}{2C_0}=E_0$$

$$q_1=\frac{2C_0E_0}{3}$$

Сила притяжения пластин будет равна:

$$F=q_1\cdot\frac{q_2}{2\varepsilon S}=\frac{q_1^2}{2\varepsilon S}=\frac{4E_0^2C_0^2}{9\cdot2\varepsilon S}=\frac{2E_0^2C_0}{9d}$$

Откуда

$$d=\frac{2E_0^2C_0}{9F}$$

Ответ: $d=\frac{2E_0^2C_0}{9F}$

 

Задача 9. Найдите емкость батареи. Емкость каждого конденсатора равна $C$.

Чтобы было проще решить эту задачу, применим перерасчет (переход) от треугольника емкостей к звезде и обратно. Нам понадобится как раз обратный: от звезды к треугольнику. Выполняются оба перехода так:

Треугольник – звезда:

$$C_1=C_{12}+C_{13}+\frac{C_{12}C_{13}}{C_{23}}$$

$$C_2=C_{12}+C_{23}+\frac{C_{12}C_{23}}{C_{13}}$$

$$C_3=C_{13}+C_{23}+\frac{C_{13}C_{23}}{C_{12}}$$

Звезда – треугольник:

$$C_{12}=\frac{C_1+C_2}{C_1+C_2+C_3}$$

$$C_{13}=\frac{C_1+C_3}{C_1+C_2+C_3}$$

$$C_{23}=\frac{C_2+C_3}{C_1+C_2+C_3}$$

Тогда у нас

$$C_{12}=C_{23}=C_{31}=\frac{C^2}{3C}=\frac{C}{3}$$

 

Теперь оказывается, что каждый из конденсаторов $C_{12}$, $C_{31}$ и $C_{23}$ соединен параллельно с $C$. При параллельном соединении, как известно, емкости складываются: $C+\frac{C}{3}=\frac{4C}{3}$

Получим:

Таким образом, емкости $C_a=C+С_{12}$ и $C_b=C+C_{23}$ соединены последовательно, и это последовательное соединение – параллельно конденсатору $C_c=C+C_{31}$. Тогда

$$C_{ab}=\frac{\left(\frac{4C}{3}\right)^2}{\frac{8C}{3}}=\frac{2C}{3}$$

Окончательно, складывая $C_{ab}$ и $C_c$, получаем:

$$C_{ekv}=\frac{2C}{3}+\frac{4C}{3}=2С$$

Ответ: $C_{ekv}=2С$