Конденсаторы: меняем толщину диэлектрика

В этой статье предложены задачи, которые помогут отработать формулы пересчета последовательного и параллельного соединения конденсаторов в эквивалентную емкость, причем одновременно будем менять либо диэлектрическую проницаемость, либо толщину слоя диэлектрика.

Задача 1. Плоский воздушный конденсатор, расстояние между пластинами которого м, до половины погрузили в масло. На какое расстояние следует раздвинуть пластины, чтобы емкость конденсатора не изменилась?

Сначала емкость конденсатора была равна

Затем, когда половину площади пластин погрузили в масло, мы получили словно два конденсатора, соединенных параллельно: один с масляным диэлектриком, второй – без. Площади их пластин одинаковы и равны . Тогда емкость такой системы будет равна

– это то новое расстояние, на которое мы раздвинем пластины, чтобы емкость не изменилась. Приравняем обе емкости:

Расстояние изменили на

Ответ: нужно раздвинуть пластины на 6 мм.

Задача 2. Конденсатор какой емкости следует подключить последовательно к конденсатору емкостью пФ, чтобы емкость батареи  была С = 160 пФ?

При последовательном соединении двух конденсаторов их эквивалентная емкость будет равна

(Она получается из формулы приведением к общему знаменателю.)

Тогда:

Ответ: 200 пФ

Задача 3. Два последовательно соединенных конденсатора емкостями мкФ и мкФ присоединены к источнику постоянного напряжения В. Определить напряжение на каждом конденсаторе.

Так как конденсаторы соединены последовательно, их заряды одинаковы. Тогда

Сумма напряжений на последовательно соединенных элементах равна напряжению на источнике:

Тогда можно записать:

Тогда В.

Ответ: В, В.

Задача 4.  Два одинаковых воздушных конденсатора соединены последовательно и подключены к батарее с постоянной ЭДС. Один из них заполняют диэлектриком с диэлектрической проницаемостью . Во сколько раз изменится напряженность электрического поля в  этом конденсаторе?

Так как напряженность непосредственно связана с напряжением на конденсаторе, то определим, как изменится напряжение на каждом из конденсаторов.

Сначала на конденсаторах одинаковое напряжение, так как они соединены последовательно, и емкости у них одинаковые – . Затем емкость второго конденсатора меняется в раз, и заряды  по-прежнему остаются одинаковыми на обоих конденсаторах, а напряжения – нет:

Решаем систему:

Найдем отношение  напряженностей:

Ответ: напряженность изменится в 0,4 раза.
Задача 5. Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено двумя слоями диэлектриков толщиной и , которые параллельны обкладкам конденсатора. Диэлектрические проницаемости диэлектриков  и соответственно. Площадь пластин . Найти емкость конденсатора С.

Такое расположение слоев диэлектриков приводит к тому, что емкость такого конденсатора равна (эквивалентна) двум последовательно соединенным конденсаторам с емкостями и .

Эквивалентная емкость двух последовательно соединенных конденсаторов:

Задача 6. У плоского конденсатора, заполненного твердым диэлектриком с диэлектрической проницаемостью одну  пластину отодвигают от диэлектрика на расстояние, равное  половине толщины диэлектрического слоя. При каком значении  емкость конденсатора изменится в  2 раза?

Полученный конденсатор эквивалентен двум последовательно включенным: один с диэлектриком, второй воздушный.

Первоначальная емкость:

После изменения:

Где :

Так как по условию

(емкость уменьшается, ведь мы увеличиваем расстояние между пластинами),то

Ответ:

Задача 7. У плоского воздушного конденсатора, заполненного слюдой, удаляют треть толщины диэлектрического слоя. Как и во сколько раз меняется при этом емкость конденсатора?

Первоначальная емкость:

После изменения:

Где – емкость конденсатора с утонченным слоем диэлектрика, а – емкость воздушного конденсатора:

Найдем отношение:

Ответ: емкость уменьшится, в 2,66 раза.