Конденсаторы: меняем толщину диэлектрика

[latexpage]

В этой статье предложены задачи, которые помогут отработать формулы пересчета последовательного и параллельного соединения конденсаторов в эквивалентную емкость, причем одновременно будем менять либо диэлектрическую проницаемость, либо толщину слоя диэлектрика.

Задача 1. Плоский воздушный конденсатор, расстояние между пластинами которого $d = 10^{-2}$ м, до половины погрузили в масло. На какое расстояние следует раздвинуть пластины, чтобы емкость конденсатора не изменилась?

Сначала емкость конденсатора была равна

$$C_1=\frac{\varepsilon_0 S }{d}$$

Затем, когда половину площади пластин погрузили в масло, мы получили словно два конденсатора, соединенных параллельно: один с масляным диэлектриком, второй – без. Площади их пластин одинаковы и равны $\frac{S}{2}$. Тогда емкость такой системы будет равна

$$\frac{C_1}{2}+C_2=\frac{\varepsilon_0 S }{2d_1}+\frac{\varepsilon \varepsilon_0 S }{2d_1}=\frac{\varepsilon_0 S }{2d_1} (1+\varepsilon)$$

$d_1$ – это то новое расстояние, на которое мы раздвинем пластины, чтобы емкость не изменилась. Приравняем обе емкости:

$$ C_1=\frac{C_1}{2}+C_2$$

$$\frac{\varepsilon_0 S }{d}=\frac{\varepsilon_0 S }{2d_1} (1+\varepsilon)$$

$$\frac{1}{d}=\frac{1}{2d_1} (1+\varepsilon)$$

$$d_1=\frac{(1+\varepsilon)d}{2}=\frac{(1+2,2)10^{-2}}{2}=1,6\cdot10^{-2}$$

Расстояние изменили на

$$ d_1-d =1,6\cdot10^{-2}-10^{-2}=6\cdot10^{-3}$$

Ответ: нужно раздвинуть пластины на 6 мм.

Задача 2. Конденсатор какой емкости $C_1$ следует подключить последовательно к конденсатору емкостью $C_2 = 800$ пФ, чтобы емкость батареи  была С = 160 пФ?

При последовательном соединении двух конденсаторов их эквивалентная емкость будет равна

$$C_e=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}$$

(Она получается из формулы $\frac{1}{C_e}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}$ приведением к общему знаменателю.)

Тогда:

$$160=\frac{800C_1}{C_1+800}$$

$$800C_1=160C_1+160\cdot800$$

$$640C_1=160\cdot800$$

$$C_1=200$$

Ответ: 200 пФ

Задача 3. Два последовательно соединенных конденсатора емкостями $C_1 = 2$ мкФ и $C_2 = 4$ мкФ присоединены к источнику постоянного напряжения $U = 120$ В. Определить напряжение на каждом конденсаторе.

Так как конденсаторы соединены последовательно, их заряды одинаковы. Тогда

$$C_1U_1=C_2U_2$$

Сумма напряжений на последовательно соединенных элементах равна напряжению на источнике:

$$U_1+U_2=U$$

Тогда можно записать:

$$C_1U_1=(U-U_1)C_2$$

$$U_1(C_1+C_2)=UC_2$$

$$U_1=\frac{ UC_2}{ C_1+C_2}=\frac{120\cdot4\cdot10^{-6}}{(2+4)\cdot10^{-6}}=80$$

Тогда $U_2=U-U_1=120-80=40$ В.

Ответ: $U_1=80$ В, $U_2=40$ В.

Задача 4.  Два одинаковых воздушных конденсатора соединены последовательно и подключены к батарее с постоянной ЭДС. Один из них заполняют диэлектриком с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon= 4$. Во сколько раз изменится напряженность электрического поля в  этом конденсаторе?

Так как напряженность непосредственно связана с напряжением на конденсаторе, то определим, как изменится напряжение на каждом из конденсаторов.

Сначала на конденсаторах одинаковое напряжение, так как они соединены последовательно, и емкости у них одинаковые – $\frac{U}{2}$. Затем емкость второго конденсатора меняется в $\varepsilon$ раз, и заряды  по-прежнему остаются одинаковыми на обоих конденсаторах, а напряжения – нет:

$$U_1C_1=U_2C_2$$

$$U_1+U_2=U$$

Решаем систему:
$$U_1C_1=U_2\varepsilon C_1$$

$$U_2+ U_2\varepsilon =U$$

$$U_2=\frac{U}{1+\varepsilon }$$

Найдем отношение  напряженностей:

$$\frac{E_2}{E_1}=\frac{U_2d}{U_1d}=\frac{2}{1+\varepsilon }=0,4$$

Ответ: напряженность изменится в 0,4 раза.
Задача 5. Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено двумя слоями диэлектриков толщиной $d_1$ и $d_2$, которые параллельны обкладкам конденсатора. Диэлектрические проницаемости диэлектриков $\varepsilon_1$  и $\varepsilon_2$ соответственно. Площадь пластин $S$. Найти емкость конденсатора С.

Такое расположение слоев диэлектриков приводит к тому, что емкость такого конденсатора равна (эквивалентна) двум последовательно соединенным конденсаторам с емкостями $C_1=\frac{\varepsilon_0 \varepsilon_1 S}{d_1}$ и $C_2=\frac{\varepsilon_0 \varepsilon_2 S}{d_2}$.

Эквивалентная емкость двух последовательно соединенных конденсаторов:

$$C_e=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}=\frac{\varepsilon_0^2\varepsilon_1 \varepsilon_2 S^2 }{d_1d_2\varepsilon_0 S\left(\frac{\varepsilon_1}{d_1}+\frac{\varepsilon_2}{d_2}\right)}=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_1 \varepsilon_2 S}{\varepsilon_1d_2+\varepsilon_2d_1}$$

Задача 6. У плоского конденсатора, заполненного твердым диэлектриком с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$ одну  пластину отодвигают от диэлектрика на расстояние, равное  половине толщины диэлектрического слоя. При каком значении $\varepsilon$  емкость конденсатора изменится в  2 раза?

Полученный конденсатор эквивалентен двум последовательно включенным: один с диэлектриком, второй воздушный.

Первоначальная емкость:

$$C_1=\frac{\varepsilon_0 \varepsilon S }{d}$$

После изменения:

$$C_e=\frac{C_1C_n}{C_1+C_n}$$

Где $C_n$:

$$C_n=\frac{\varepsilon_0 S }{\frac{d}{2}}=\frac{2\varepsilon_0 S }{d}$$

$$C_e=\frac{\frac{\varepsilon_0 \varepsilon S }{d}\cdot\frac{2\varepsilon_0 S }{d}}{\frac{\varepsilon_0 \varepsilon S }{d}+\frac{2\varepsilon_0 S }{d}}$$

$$C_e=\frac{2\varepsilon_0^2\varepsilon S^2 }{d^2}\cdot\frac{d}{\varepsilon_0 S (\varepsilon+2)}=\frac{2\varepsilon_0\varepsilon S }{d(\varepsilon+2)}$$

Так как по условию

$$\frac{C_e}{C_1}=\frac{1}{2}$$

(емкость уменьшается, ведь мы увеличиваем расстояние между пластинами),то

$$\frac{C_e}{C_1}=\frac{2\varepsilon_0\varepsilon S }{d(\varepsilon+2)}\cdot\frac{d}{\varepsilon_0 \varepsilon S }=\frac{2}{\varepsilon+2}=\frac{1}{2}$$

$$\varepsilon+2=4$$

$$\varepsilon=2$$

Ответ: $\varepsilon=2$

Задача 7. У плоского воздушного конденсатора, заполненного слюдой, удаляют треть толщины диэлектрического слоя. Как и во сколько раз меняется при этом емкость конденсатора?

Первоначальная емкость:

$$C_1=\frac{\varepsilon_0 \varepsilon S }{d}$$

После изменения:

$$C_e=\frac{C_2C_3}{C_2+C_3}$$

Где $C_2$ – емкость конденсатора с утонченным слоем диэлектрика, а $C_3$ – емкость воздушного конденсатора:

$$C_2=\frac{\varepsilon_0 \varepsilon S }{\frac{2d}{3}}=\frac{3\varepsilon_0 \varepsilon S }{2d}$$

$$C_3=\frac{\varepsilon_0 S }{\frac{d}{3}}=\frac{3\varepsilon_0 S }{d}$$

$$C_e=\frac{\frac{3\varepsilon_0 \varepsilon S }{2d}\cdot\frac{3\varepsilon_0 S }{d}}{\frac{3\varepsilon_0 \varepsilon S }{2d}+\frac{3\varepsilon_0 S }{d}}$$

$$C_e=\frac{9\varepsilon_0^2 \varepsilon S^2 }{2d^2}\cdot \frac{2d}{3\varepsilon_0 S(\varepsilon+2) }=\frac{3\varepsilon_0 \varepsilon S }{d(\varepsilon+2)}$$

Найдем отношение:

$$\frac{ C_e }{ C_1}=\frac{3\varepsilon_0 \varepsilon S }{d(\varepsilon+2)}\cdot\frac{d}{\varepsilon_0 \varepsilon S }=\frac{3}{\varepsilon+2}=\frac{3}{8}$$

Ответ: емкость уменьшится, в 2,66 раза.