Конденсаторы: меняем толщину диэлектрика

В этой статье предложены задачи, которые помогут отработать формулы пересчета последовательного и параллельного соединения конденсаторов в эквивалентную емкость, причем одновременно будем менять либо диэлектрическую проницаемость, либо толщину слоя диэлектрика.

Задача 1. Плоский воздушный конденсатор, расстояние между пластинами которого $d = 10^{-2}$ м, до половины погрузили в масло. На какое расстояние следует раздвинуть пластины, чтобы емкость конденсатора не изменилась?

Сначала емкость конденсатора была равна

$C_1=\frac{\varepsilon_0 S }{d}$

Затем, когда половину площади пластин погрузили в масло, мы получили словно два конденсатора, соединенных параллельно: один с масляным диэлектриком, второй – без. Площади их пластин одинаковы и равны $\frac{S}{2}$ . Тогда емкость такой системы будет равна

$\frac{C_1}{2}+C_2=\frac{\varepsilon_0 S }{2d_1}+\frac{\varepsilon \varepsilon_0 S }{2d_1}=\frac{\varepsilon_0 S }{2d_1} (1+\varepsilon)$

$d_1$ – это то новое расстояние, на которое мы раздвинем пластины, чтобы емкость не изменилась. Приравняем обе емкости:

$C_1=\frac{C_1}{2}+C_2$

$\frac{\varepsilon_0 S }{d}=\frac{\varepsilon_0 S }{2d_1} (1+\varepsilon)$

$\frac{1}{d}=\frac{1}{2d_1} (1+\varepsilon)$

$d_1=\frac{(1+\varepsilon)d}{2}=\frac{(1+2,2)10^{-2}}{2}=1,6\cdot10^{-2}$

Расстояние изменили на

$d_1-d =1,6\cdot10^{-2}-10^{-2}=6\cdot10^{-3}$

Ответ: нужно раздвинуть пластины на 6 мм.

Задача 2. Конденсатор какой емкости $C_1$ следует подключить последовательно к конденсатору емкостью $C_2 = 800$ пФ, чтобы емкость батареи была С = 160 пФ?

При последовательном соединении двух конденсаторов их эквивалентная емкость будет равна

$C_e=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}$

(Она получается из формулы $\frac{1}{C_e}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}$ приведением к общему знаменателю.)

Тогда:

$160=\frac{800C_1}{C_1+800}$

$800C_1=160C_1+160\cdot800$

$640C_1=160\cdot800$

$C_1=200$

Ответ: 200 пФ

Задача 3. Два последовательно соединенных конденсатора емкостями $C_1 = 2$ мкФ и $C_2 = 4$ мкФ присоединены к источнику постоянного напряжения $U = 120$ В. Определить напряжение на каждом конденсаторе.

Так как конденсаторы соединены последовательно, их заряды одинаковы. Тогда

$C_1U_1=C_2U_2$

Сумма напряжений на последовательно соединенных элементах равна напряжению на источнике:

$U_1+U_2=U$

Тогда можно записать:

$C_1U_1=(U-U_1)C_2$

$U_1(C_1+C_2)=UC_2$

$U_1=\frac{ UC_2}{ C_1+C_2}=\frac{120\cdot4\cdot10^{-6}}{(2+4)\cdot10^{-6}}=80$

Тогда $U_2=U-U_1=120-80=40$ В.

Ответ: $U_1=80$ В, $U_2=40$ В.

Задача 4. Два одинаковых воздушных конденсатора соединены последовательно и подключены к батарее с постоянной ЭДС. Один из них заполняют диэлектриком с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon= 4$ . Во сколько раз изменится напряженность электрического поля в этом конденсаторе?

Так как напряженность непосредственно связана с напряжением на конденсаторе, то определим, как изменится напряжение на каждом из конденсаторов.

Сначала на конденсаторах одинаковое напряжение, так как они соединены последовательно, и емкости у них одинаковые – $\frac{U}{2}$ . Затем емкость второго конденсатора меняется в $\varepsilon$ раз, и заряды по-прежнему остаются одинаковыми на обоих конденсаторах, а напряжения – нет:

$U_1C_1=U_2C_2$

$U_1+U_2=U$

Решаем систему:

$U_1C_1=U_2\varepsilon C_1$

$U_2+ U_2\varepsilon =U$

$U_2=\frac{U}{1+\varepsilon }$

Найдем отношение напряженностей:

$\frac{E_2}{E_1}=\frac{U_2d}{U_1d}=\frac{2}{1+\varepsilon }=0,4$

Ответ: напряженность изменится в 0,4 раза.
Задача 5. Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено двумя слоями диэлектриков толщиной $d_1$ и $d_2$ , которые параллельны обкладкам конденсатора. Диэлектрические проницаемости диэлектриков $\varepsilon_1$ и $\varepsilon_2$ соответственно. Площадь пластин $S$ . Найти емкость конденсатора С.

Такое расположение слоев диэлектриков приводит к тому, что емкость такого конденсатора равна (эквивалентна) двум последовательно соединенным конденсаторам с емкостями $C_1=\frac{\varepsilon_0 \varepsilon_1 S}{d_1}$ и $C_2=\frac{\varepsilon_0 \varepsilon_2 S}{d_2}$ .

Эквивалентная емкость двух последовательно соединенных конденсаторов:

$C_e=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}=\frac{\varepsilon_0^2\varepsilon_1 \varepsilon_2 S^2 }{d_1d_2\varepsilon_0 S\left(\frac{\varepsilon_1}{d_1}+\frac{\varepsilon_2}{d_2}\right)}=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_1 \varepsilon_2 S}{\varepsilon_1d_2+\varepsilon_2d_1}$

Задача 6. У плоского конденсатора, заполненного твердым диэлектриком с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$ одну пластину отодвигают от диэлектрика на расстояние, равное половине толщины диэлектрического слоя. При каком значении $\varepsilon$ емкость конденсатора изменится в 2 раза?

Полученный конденсатор эквивалентен двум последовательно включенным: один с диэлектриком, второй воздушный.

Первоначальная емкость:

$C_1=\frac{\varepsilon_0 \varepsilon S }{d}$

После изменения:

$C_e=\frac{C_1C_n}{C_1+C_n}$

Где $C_n$ :

$C_n=\frac{\varepsilon_0 S }{\frac{d}{2}}=\frac{2\varepsilon_0 S }{d}$

$C_e=\frac{\frac{\varepsilon_0 \varepsilon S }{d}\cdot\frac{2\varepsilon_0 S }{d}}{\frac{\varepsilon_0 \varepsilon S }{d}+\frac{2\varepsilon_0 S }{d}}$

$C_e=\frac{2\varepsilon_0^2\varepsilon S^2 }{d^2}\cdot\frac{d}{\varepsilon_0 S (\varepsilon+2)}=\frac{2\varepsilon_0\varepsilon S }{d(\varepsilon+2)}$

Так как по условию

$\frac{C_e}{C_1}=\frac{1}{2}$

(емкость уменьшается, ведь мы увеличиваем расстояние между пластинами),то

$\frac{C_e}{C_1}=\frac{2\varepsilon_0\varepsilon S }{d(\varepsilon+2)}\cdot\frac{d}{\varepsilon_0 \varepsilon S }=\frac{2}{\varepsilon+2}=\frac{1}{2}$

$\varepsilon+2=4$

$\varepsilon=2$

Ответ: $\varepsilon=2$

Задача 7. У плоского воздушного конденсатора, заполненного слюдой, удаляют треть толщины диэлектрического слоя. Как и во сколько раз меняется при этом емкость конденсатора?

Первоначальная емкость:

$C_1=\frac{\varepsilon_0 \varepsilon S }{d}$

После изменения:

$C_e=\frac{C_2C_3}{C_2+C_3}$

Где $C_2$ – емкость конденсатора с утонченным слоем диэлектрика, а $C_3$ – емкость воздушного конденсатора:

$C_2=\frac{\varepsilon_0 \varepsilon S }{\frac{2d}{3}}=\frac{3\varepsilon_0 \varepsilon S }{2d}$

$C_3=\frac{\varepsilon_0 S }{\frac{d}{3}}=\frac{3\varepsilon_0 S }{d}$

$C_e=\frac{\frac{3\varepsilon_0 \varepsilon S }{2d}\cdot\frac{3\varepsilon_0 S }{d}}{\frac{3\varepsilon_0 \varepsilon S }{2d}+\frac{3\varepsilon_0 S }{d}}$

$C_e=\frac{9\varepsilon_0^2 \varepsilon S^2 }{2d^2}\cdot \frac{2d}{3\varepsilon_0 S(\varepsilon+2) }=\frac{3\varepsilon_0 \varepsilon S }{d(\varepsilon+2)}$

Найдем отношение:

$\frac{ C_e }{ C_1}=\frac{3\varepsilon_0 \varepsilon S }{d(\varepsilon+2)}\cdot\frac{d}{\varepsilon_0 \varepsilon S }=\frac{3}{\varepsilon+2}=\frac{3}{8}$

Ответ: емкость уменьшится, в 2,66 раза.

Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Вс
« Сен
			1	2	3	4
5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24	25
26	27	28	29	30	31

Конденсаторы: меняем толщину диэлектрика

Для вас другие записи этой рубрики:

Добавить комментарий Отменить ответ

Поиск

ПОСЛЕДНИЕ КОММЕНТАРИИ

Рекомендую

Рубрики

Профи.ру

Лучший хостинг в мире!

Последние записи

Облако меток

Подписка

Введите Ваши данные:

Архивы