[latexpage]
В этой статье предложены задачи, которые помогут отработать формулы пересчета последовательного и параллельного соединения конденсаторов в эквивалентную емкость, причем одновременно будем менять либо диэлектрическую проницаемость, либо толщину слоя диэлектрика.
Задача 1. Плоский воздушный конденсатор, расстояние между пластинами которого $d = 10^{-2}$ м, до половины погрузили в масло. На какое расстояние следует раздвинуть пластины, чтобы емкость конденсатора не изменилась?
Сначала емкость конденсатора была равна
$$C_1=\frac{\varepsilon_0 S }{d}$$
Затем, когда половину площади пластин погрузили в масло, мы получили словно два конденсатора, соединенных параллельно: один с масляным диэлектриком, второй – без. Площади их пластин одинаковы и равны $\frac{S}{2}$. Тогда емкость такой системы будет равна
$$\frac{C_1}{2}+C_2=\frac{\varepsilon_0 S }{2d_1}+\frac{\varepsilon \varepsilon_0 S }{2d_1}=\frac{\varepsilon_0 S }{2d_1} (1+\varepsilon)$$
$d_1$ – это то новое расстояние, на которое мы раздвинем пластины, чтобы емкость не изменилась. Приравняем обе емкости:
$$ C_1=\frac{C_1}{2}+C_2$$
$$\frac{\varepsilon_0 S }{d}=\frac{\varepsilon_0 S }{2d_1} (1+\varepsilon)$$
$$\frac{1}{d}=\frac{1}{2d_1} (1+\varepsilon)$$
$$d_1=\frac{(1+\varepsilon)d}{2}=\frac{(1+2,2)10^{-2}}{2}=1,6\cdot10^{-2}$$
Расстояние изменили на
$$ d_1-d =1,6\cdot10^{-2}-10^{-2}=6\cdot10^{-3}$$
Ответ: нужно раздвинуть пластины на 6 мм.
Задача 2. Конденсатор какой емкости $C_1$ следует подключить последовательно к конденсатору емкостью $C_2 = 800$ пФ, чтобы емкость батареи была С = 160 пФ?
При последовательном соединении двух конденсаторов их эквивалентная емкость будет равна
$$C_e=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}$$
(Она получается из формулы $\frac{1}{C_e}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}$ приведением к общему знаменателю.)
Тогда:
$$160=\frac{800C_1}{C_1+800}$$
$$800C_1=160C_1+160\cdot800$$
$$640C_1=160\cdot800$$
$$C_1=200$$
Ответ: 200 пФ
Задача 3. Два последовательно соединенных конденсатора емкостями $C_1 = 2$ мкФ и $C_2 = 4$ мкФ присоединены к источнику постоянного напряжения $U = 120$ В. Определить напряжение на каждом конденсаторе.
Так как конденсаторы соединены последовательно, их заряды одинаковы. Тогда
$$C_1U_1=C_2U_2$$
Сумма напряжений на последовательно соединенных элементах равна напряжению на источнике:
$$U_1+U_2=U$$
Тогда можно записать:
$$C_1U_1=(U-U_1)C_2$$
$$U_1(C_1+C_2)=UC_2$$
$$U_1=\frac{ UC_2}{ C_1+C_2}=\frac{120\cdot4\cdot10^{-6}}{(2+4)\cdot10^{-6}}=80$$
Тогда $U_2=U-U_1=120-80=40$ В.
Ответ: $U_1=80$ В, $U_2=40$ В.
Задача 4. Два одинаковых воздушных конденсатора соединены последовательно и подключены к батарее с постоянной ЭДС. Один из них заполняют диэлектриком с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon= 4$. Во сколько раз изменится напряженность электрического поля в этом конденсаторе?
Так как напряженность непосредственно связана с напряжением на конденсаторе, то определим, как изменится напряжение на каждом из конденсаторов.
Сначала на конденсаторах одинаковое напряжение, так как они соединены последовательно, и емкости у них одинаковые – $\frac{U}{2}$. Затем емкость второго конденсатора меняется в $\varepsilon$ раз, и заряды по-прежнему остаются одинаковыми на обоих конденсаторах, а напряжения – нет:
$$U_1C_1=U_2C_2$$
$$U_1+U_2=U$$
Решаем систему:
$$U_1C_1=U_2\varepsilon C_1$$
$$U_2+ U_2\varepsilon =U$$
$$U_2=\frac{U}{1+\varepsilon }$$
Найдем отношение напряженностей:
$$\frac{E_2}{E_1}=\frac{U_2d}{U_1d}=\frac{2}{1+\varepsilon }=0,4$$
Ответ: напряженность изменится в 0,4 раза.
Задача 5. Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено двумя слоями диэлектриков толщиной $d_1$ и $d_2$, которые параллельны обкладкам конденсатора. Диэлектрические проницаемости диэлектриков $\varepsilon_1$ и $\varepsilon_2$ соответственно. Площадь пластин $S$. Найти емкость конденсатора С.
Такое расположение слоев диэлектриков приводит к тому, что емкость такого конденсатора равна (эквивалентна) двум последовательно соединенным конденсаторам с емкостями $C_1=\frac{\varepsilon_0 \varepsilon_1 S}{d_1}$ и $C_2=\frac{\varepsilon_0 \varepsilon_2 S}{d_2}$.
Эквивалентная емкость двух последовательно соединенных конденсаторов:
$$C_e=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}=\frac{\varepsilon_0^2\varepsilon_1 \varepsilon_2 S^2 }{d_1d_2\varepsilon_0 S\left(\frac{\varepsilon_1}{d_1}+\frac{\varepsilon_2}{d_2}\right)}=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_1 \varepsilon_2 S}{\varepsilon_1d_2+\varepsilon_2d_1}$$
Задача 6. У плоского конденсатора, заполненного твердым диэлектриком с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$ одну пластину отодвигают от диэлектрика на расстояние, равное половине толщины диэлектрического слоя. При каком значении $\varepsilon$ емкость конденсатора изменится в 2 раза?
Полученный конденсатор эквивалентен двум последовательно включенным: один с диэлектриком, второй воздушный.
Первоначальная емкость:
$$C_1=\frac{\varepsilon_0 \varepsilon S }{d}$$
После изменения:
$$C_e=\frac{C_1C_n}{C_1+C_n}$$
Где $C_n$:
$$C_n=\frac{\varepsilon_0 S }{\frac{d}{2}}=\frac{2\varepsilon_0 S }{d}$$
$$C_e=\frac{\frac{\varepsilon_0 \varepsilon S }{d}\cdot\frac{2\varepsilon_0 S }{d}}{\frac{\varepsilon_0 \varepsilon S }{d}+\frac{2\varepsilon_0 S }{d}}$$
$$C_e=\frac{2\varepsilon_0^2\varepsilon S^2 }{d^2}\cdot\frac{d}{\varepsilon_0 S (\varepsilon+2)}=\frac{2\varepsilon_0\varepsilon S }{d(\varepsilon+2)}$$
Так как по условию
$$\frac{C_e}{C_1}=\frac{1}{2}$$
(емкость уменьшается, ведь мы увеличиваем расстояние между пластинами),то
$$\frac{C_e}{C_1}=\frac{2\varepsilon_0\varepsilon S }{d(\varepsilon+2)}\cdot\frac{d}{\varepsilon_0 \varepsilon S }=\frac{2}{\varepsilon+2}=\frac{1}{2}$$
$$\varepsilon+2=4$$
$$\varepsilon=2$$
Ответ: $\varepsilon=2$
Задача 7. У плоского воздушного конденсатора, заполненного слюдой, удаляют треть толщины диэлектрического слоя. Как и во сколько раз меняется при этом емкость конденсатора?
Первоначальная емкость:
$$C_1=\frac{\varepsilon_0 \varepsilon S }{d}$$
После изменения:
$$C_e=\frac{C_2C_3}{C_2+C_3}$$
Где $C_2$ – емкость конденсатора с утонченным слоем диэлектрика, а $C_3$ – емкость воздушного конденсатора:
$$C_2=\frac{\varepsilon_0 \varepsilon S }{\frac{2d}{3}}=\frac{3\varepsilon_0 \varepsilon S }{2d}$$
$$C_3=\frac{\varepsilon_0 S }{\frac{d}{3}}=\frac{3\varepsilon_0 S }{d}$$
$$C_e=\frac{\frac{3\varepsilon_0 \varepsilon S }{2d}\cdot\frac{3\varepsilon_0 S }{d}}{\frac{3\varepsilon_0 \varepsilon S }{2d}+\frac{3\varepsilon_0 S }{d}}$$
$$C_e=\frac{9\varepsilon_0^2 \varepsilon S^2 }{2d^2}\cdot \frac{2d}{3\varepsilon_0 S(\varepsilon+2) }=\frac{3\varepsilon_0 \varepsilon S }{d(\varepsilon+2)}$$
Найдем отношение:
$$\frac{ C_e }{ C_1}=\frac{3\varepsilon_0 \varepsilon S }{d(\varepsilon+2)}\cdot\frac{d}{\varepsilon_0 \varepsilon S }=\frac{3}{\varepsilon+2}=\frac{3}{8}$$
Ответ: емкость уменьшится, в 2,66 раза.
Пример 2. При х=2.5,...
В 14-ой нашел отношение q1\q2 + q2\q1 = 7 а дальше никак не...
Почему в 13 задании объем воды уменьшается? У нас же плавится...
А как решается 6-й...
Понял,...