Компактное неравенство с модулями

Решим небольшое неравенство, которое включает в себя как логарифмы, так и модули, и может быть решено с помощью метода рационализации.

Применяем метод рационализации:

Теперь надо определить, в каких точках подмодульные выражения будут менять знаки. Для того, чтобы сделать это, надо их приравнять к нулю и решить полученные уравнения, определив точки перемены знака:

Раскрываем модуль

То есть имеем три промежутка:

На первом промежутке знак выражения – отрицательный, модуль раскроем со знаком «минус». Знак выражения на этом промежутке – положительный, поэтому раскроем модуль со знаком «плюс»:

Или

Решение этого неравенства – , но так как мы ограничены границами промежутка, то есть – то решение трансформируется в  .

Решение на одном из интервалов

На втором промежутке оба подмодульных выражения отрицательны, поэтому модули раскрываем –  оба – со знаком «минус»:

Или:

Решаем это неравенство методом интервалов: , но так как мы ограничены границами промежутка, то есть – то решение трансформируется в – .

Решение на втором интервале

Наконец, последний промежуток: – здесь оба модуля раскрываем со знаком «плюс»:

Или

Решение этого неравенства – уже с учетом границ промежутка.

Решение неравенства

Таким образом, объединяя решения на трех промежутках, получаем: