Компактное неравенство с модулями

Решим небольшое неравенство, которое включает в себя как логарифмы, так и модули, и может быть решено с помощью метода рационализации.

$log_{\left|x-3\right|} {\left|x^2-5x+6 \right|}<2$

$log_{\left|x-3\right|} {\left|x^2-5x+6 \right|}< log_{\left|x-3\right|} {\left( x-3 \right)}^2$

Применяем метод рационализации:

${\left({ \left| x-3 \right|}-1 \right)} {\left({ \left| x^2-5x+6 \right|}- {\left( x-3 \right)}^2 \right)}<0$

Теперь надо определить, в каких точках подмодульные выражения будут менять знаки. Для того, чтобы сделать это, надо их приравнять к нулю и решить полученные уравнения, определив точки перемены знака:

$x-3=0$

$x=3$

$x^2-5x+6=0$

$(x-3)(x-2)=0$

Раскрываем модуль

То есть имеем три промежутка: $(-\infty;2] \cup (2;3] \cup (3; \infty)$

На первом промежутке $(-\infty;2]$ знак выражения $x-3$ – отрицательный, модуль раскроем со знаком «минус». Знак выражения $x^2-5x+6$ на этом промежутке – положительный, поэтому раскроем модуль со знаком «плюс»:

$(3-x-1)( x^2-5x+6-(x^2-6x+9))<0$

Или

$(2-x)(x-3)<0$

Решение этого неравенства – $(-\infty;2) \cup (3; \infty)$ , но так как мы ограничены границами промежутка, то есть $(-\infty;2]$ – то решение трансформируется в $(-\infty;2)$ .

Решение на одном из интервалов

На втором промежутке $(2;3]$ оба подмодульных выражения отрицательны, поэтому модули раскрываем – оба – со знаком «минус»:

$(3-x-1)(-x^2+5x-6-x^2+6x-9)<0$

$(2-x)(-2x^2+11x-15)<0$

$(x-2)(2x^2-11x+15)<0$

Или:

$2(x-2)(x-2,5)(x-3)<0$

Решаем это неравенство методом интервалов: $(- \infty;2) \cup (2,5; 3)$ , но так как мы ограничены границами промежутка, то есть $(2;3]$ – то решение трансформируется в – $(2,5; 3)$ .