Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: 10-11 класс, Неравенства (15 (С3))

Компактное неравенство с модулями


Решим небольшое неравенство, которое включает в себя как логарифмы, так и модули, и может быть решено с помощью метода рационализации.

    \[log_{\left|x-3\right|} {\left|x^2-5x+6 \right|}<2\]

    \[log_{\left|x-3\right|} {\left|x^2-5x+6 \right|}< log_{\left|x-3\right|} {\left( x-3 \right)}^2\]

Применяем метод рационализации:

    \[{\left({ \left| x-3 \right|}-1 \right)} {\left({ \left| x^2-5x+6 \right|}- {\left( x-3 \right)}^2 \right)}<0\]

Теперь надо определить, в каких точках подмодульные выражения будут менять знаки. Для того, чтобы сделать это, надо их приравнять к нулю и решить полученные уравнения, определив точки перемены знака:

    \[x-3=0\]

    \[x=3\]

    \[x^2-5x+6=0\]

    \[(x-3)(x-2)=0\]

Раскрываем модуль

То есть имеем три промежутка: (-\infty;2] \cup (2;3] \cup (3; \infty)

На первом промежутке (-\infty;2] знак выражения x-3 – отрицательный, модуль раскроем со знаком «минус». Знак выражения x^2-5x+6 на этом промежутке – положительный, поэтому раскроем модуль со знаком «плюс»:

    \[(3-x-1)( x^2-5x+6-(x^2-6x+9))<0\]

Или

    \[(2-x)(x-3)<0\]

Решение этого неравенства – (-\infty;2) \cup (3; \infty), но так как мы ограничены границами промежутка, то есть (-\infty;2] – то решение трансформируется в  (-\infty;2).

Решение на одном из интервалов

 

На втором промежутке (2;3] оба подмодульных выражения отрицательны, поэтому модули раскрываем –  оба – со знаком «минус»:

    \[(3-x-1)(-x^2+5x-6-x^2+6x-9)<0\]

    \[(2-x)(-2x^2+11x-15)<0\]

    \[(x-2)(2x^2-11x+15)<0\]

Или:

    \[2(x-2)(x-2,5)(x-3)<0\]

Решаем это неравенство методом интервалов: (- \infty;2) \cup (2,5; 3), но так как мы ограничены границами промежутка, то есть (2;3] – то решение трансформируется в – (2,5; 3).

Решение на втором интервале

Наконец, последний промежуток: (3; \infty) – здесь оба модуля раскрываем со знаком «плюс»:

    \[(x-3-1)(x^2-5x+6-x^2+6x-9)<0\]

Или

    \[(x-4)(x-3)<0\]

Решение этого неравенства (3; 4) – уже с учетом границ промежутка.

Решение неравенства

Таким образом, объединяя решения на трех промежутках, получаем: (- \infty;2) \cup (2,5; 3) \cup (3;4)

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *