Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 10-11 класс, 15 (С3)

Компактное неравенство с модулями


Решим небольшое неравенство, которое включает в себя как логарифмы, так и модули, и может быть решено с помощью метода рационализации.

   

   

Применяем метод рационализации:

   

Теперь надо определить, в каких точках подмодульные выражения будут менять знаки. Для того, чтобы сделать это, надо их приравнять к нулю и решить полученные уравнения, определив точки перемены знака:

   

   

   

   

Раскрываем модуль

То есть имеем три промежутка:

На первом промежутке знак выражения – отрицательный, модуль раскроем со знаком «минус». Знак выражения на этом промежутке – положительный, поэтому раскроем модуль со знаком «плюс»:

   

Или

   

Решение этого неравенства – , но так как мы ограничены границами промежутка, то есть – то решение трансформируется в  .

Решение на одном из интервалов

 

На втором промежутке оба подмодульных выражения отрицательны, поэтому модули раскрываем –  оба – со знаком «минус»:

   

   

   

Или:

   

Решаем это неравенство методом интервалов: , но так как мы ограничены границами промежутка, то есть – то решение трансформируется в – .

Решение на втором интервале

Наконец, последний промежуток: – здесь оба модуля раскрываем со знаком «плюс»:

   

Или

   

Решение этого неравенства – уже с учетом границ промежутка.

Решение неравенства

Таким образом, объединяя решения на трех промежутках, получаем:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *