Компактное неравенство с модулями

[latexpage]

Решим небольшое неравенство, которое включает в себя как логарифмы, так и модули, и может быть решено с помощью метода рационализации.

$$log_{\left|x-3\right|} {\left|x^2-5x+6 \right|}<2$$

$$log_{\left|x-3\right|} {\left|x^2-5x+6 \right|}< log_{\left|x-3\right|} {\left( x-3 \right)}^2$$

Применяем метод рационализации:

$${\left({ \left| x-3 \right|}-1 \right)} {\left({ \left| x^2-5x+6 \right|}- {\left( x-3 \right)}^2 \right)}<0$$

Теперь надо определить, в каких точках подмодульные выражения будут менять знаки. Для того, чтобы сделать это, надо их приравнять к нулю и решить полученные уравнения, определив точки перемены знака:

$$x-3=0$$

$$x=3$$

$$x^2-5x+6=0$$

$$(x-3)(x-2)=0$$

Раскрываем модуль

То есть имеем три промежутка: $(-\infty;2] \cup (2;3] \cup (3; \infty)$

На первом промежутке $(-\infty;2]$ знак выражения $x-3$ – отрицательный, модуль раскроем со знаком «минус». Знак выражения $x^2-5x+6$ на этом промежутке – положительный, поэтому раскроем модуль со знаком «плюс»:

$$(3-x-1)( x^2-5x+6-(x^2-6x+9))<0$$

Или

$$(2-x)(x-3)<0$$

Решение этого неравенства – $(-\infty;2) \cup (3; \infty)$, но так как мы ограничены границами промежутка, то есть $(-\infty;2]$ – то решение трансформируется в  $(-\infty;2)$.

Решение на одном из интервалов

На втором промежутке $(2;3]$ оба подмодульных выражения отрицательны, поэтому модули раскрываем –  оба – со знаком «минус»:

$$(3-x-1)(-x^2+5x-6-x^2+6x-9)<0$$

$$(2-x)(-2x^2+11x-15)<0$$

$$(x-2)(2x^2-11x+15)<0$$

Или:

$$2(x-2)(x-2,5)(x-3)<0$$

Решаем это неравенство методом интервалов: $(- \infty;2) \cup (2,5; 3)$, но так как мы ограничены границами промежутка, то есть $(2;3]$ – то решение трансформируется в – $(2,5; 3)$.

Решение на втором интервале

Наконец, последний промежуток: $(3; \infty)$ – здесь оба модуля раскрываем со знаком «плюс»:

$$(x-3-1)(x^2-5x+6-x^2+6x-9)<0$$

Или

$$(x-4)(x-3)<0$$

Решение этого неравенства $(3; 4)$ – уже с учетом границ промежутка.

Решение неравенства

Таким образом, объединяя решения на трех промежутках, получаем: $(- \infty;2) \cup (2,5; 3) \cup (3;4)$