Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Неравенства (14 (С3))

Комбинированное неравенство с логарифмом

[latexpage]

Комбинированное неравенство с логарифмом.

Решить неравенство:

$$\frac{\log_2 (2^x-6\cdot 2^{-x}-7)+2x}{x+1}\geqslant 1$$

Решение:

$$\frac{\log_2 (2^x-6\cdot 2^{-x}-7)+2x-x-1}{x+1}\geqslant 0$$

Дробь больше нуля, если и числитель, и знаменатель одного знака. То есть либо

$$\begin{Bmatrix}{\log_2 (2^x-6\cdot 2^{-x}-7)+x-1\geqslant 0}\\{ x+1>0} \end{matrix}$$

либо

$$\begin{Bmatrix}{\log_2 (2^x-6\cdot 2^{-x}-7)+x-1\leqslant 0}\\{ x+1<0} \end{matrix}$$

Первый случай, $x>-1$.

$$\log_2 (2^x-6\cdot 2^{-x}-7)+\log_2  (2^{(x-1)}) \geqslant 0$$

$$\log_2 (2^x-6\cdot 2^{-x}-7)\cdot 2^{(x-1)} \geqslant 0$$

$$\log_2 (2^{2x}\cdot \frac{1}{2}-3-7\cdot 2^x\cdot \frac{1}{2}) \geqslant 0$$

$$2^{2x}\cdot \frac{1}{2}-7\cdot 2^x\cdot \frac{1}{2}-3\geqslant 1$$

Заменим $2^x=t$

$$t^2-7t-8\geqslant 0$$

По сумме коэффициентов  корни (-1) и 8, расставляем знаки, получаем $2^x\geqslant 2^3$, $x\geqslant 3$.

Второй случай, $x<-1$.

$$\log_2 (2^x-6\cdot 2^{-x}-7)+\log_2 2^{(x-1)}\leqslant 0$$

Получается, у данной системы решений нет.

При замене  $2^x=t$ ограничения

$$t^2-7t-6>0$$

$$D=49+24=73$$

Корни $t_1=\frac{7+\sqrt{73}}{2}$ и $t_2=\frac{7-\sqrt{73}}{2}$

Второй корень отрицателен, следовательно,

$$2^x>3,5+\frac{\sqrt{73}}{2}$$

$$x>\log_2(3,5+\frac{\sqrt{73}}{2})$$

Тогда общим решением будет $x \in [3; \infty)$.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *