Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Неравенства (15 (С3))

Комбинированное неравенство с логарифмом

Комбинированное неравенство с логарифмом.

Решить неравенство:

    \[\frac{\log_2 (2^x-6\cdot 2^{-x}-7)+2x}{x+1}\geqslant 1\]

Решение:

    \[\frac{\log_2 (2^x-6\cdot 2^{-x}-7)+2x-x-1}{x+1}\geqslant 0\]

Дробь больше нуля, если и числитель, и знаменатель одного знака. То есть либо

    \[\begin{Bmatrix}{\log_2 (2^x-6\cdot 2^{-x}-7)+x-1\geqslant 0}\\{ x+1>0} \end{matrix}\]

либо

    \[\begin{Bmatrix}{\log_2 (2^x-6\cdot 2^{-x}-7)+x-1\leqslant 0}\\{ x+1<0} \end{matrix}\]

Первый случай, x>-1.

    \[\log_2 (2^x-6\cdot 2^{-x}-7)+\log_2  (2^{(x-1)}) \geqslant 0\]

    \[\log_2 (2^x-6\cdot 2^{-x}-7)\cdot 2^{(x-1)} \geqslant 0\]

    \[\log_2 (2^{2x}\cdot \frac{1}{2}-3-7\cdot 2^x\cdot \frac{1}{2}) \geqslant 0\]

    \[2^{2x}\cdot \frac{1}{2}-7\cdot 2^x\cdot \frac{1}{2}-3\geqslant 1\]

Заменим 2^x=t

    \[t^2-7t-8\geqslant 0\]

По сумме коэффициентов  корни (-1) и 8, расставляем знаки, получаем 2^x\geqslant 2^3, x\geqslant 3.

Второй случай, x<-1.

    \[0<\log_2 (2^x-6\cdot 2^{-x}-7)+\log_2 2^{(x-1)}\leqslant 1\]

При замене  2^x=t

    \[t^2-7t-6>0\]

    \[D=49+24=73\]

Корни t_1=\frac{7+\sqrt{73}}{2} и t_2=\frac{7-\sqrt{73}}{2}

Второй корень отрицателен, следовательно,

    \[2^x>3,5+\frac{\sqrt{73}}{2}\]

    \[x>\log_2(3,5+\frac{\sqrt{73}}{2})\]

Но решали мы это неравенство при условии x<-1. Получается, у данной системы решений нет.

Тогда общим решением будет x \in [3; \infty).

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *