Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Параметры (18 (С5))

Количество решений в задаче с параметром

В этой задаче нужно очень внимательно разобрать все возможные варианты, которые могут обеспечить наличие трех решений исходного уравнения. Всегда для этого полезно нарисовать картинку: так проще провести анализ и наложить условия, которые помогут проще найти значения параметра.

При каком значении параметра a уравнение

    \[\sin^2 x + (a-2)^2 \sin x + a(a-2)(a-3)=0\]

на отрезке [0; 2\pi] имеет три решения?

Введем замену t=\sin x, t \in [-1;1].

Глядя на тригонометрический круг, понимаем, что при t=0 имеем три решения (0, \pi, 2\pi) – красные точки на рисунке. В точках \frac{\pi}{2} и \frac{3\pi}{2} получим одно решение (синие точки), а во всех квадрантах – по 2.

Рисунок 1

Уравнение после замены:

    \[t^2 + (a-2)^2t + a(a-2)(a-3)=0\]

Рассматриваем случай t=0:

    \[a(a-2)(a-3)=0\]

    \[a=0; a=2; a=3\]

Теперь полученные значения параметра надо обязательно проверить.

При a=0:

    \[t^2+4t=0\]

    \[t=0; t=-4\]

Подходит один корень, t=0, при этом получаем желаемые три корня исходного уравнения, и значение параметра, следовательно, тоже подходит.

При a=2:

    \[t^2=0\]

    \[t=0\]

И это значение параметра годится, так как получили один корень и три решения исходного уравнения.

При a=3:

    \[t^2+t=0\]

    \[t=0; t=-1\]

Это значение параметра не годится, так как получили одно решение, соответствующее t=-1,  и три решения исходного уравнения при t=0.

Рассмотрим еще два случая, которые нас могут устроить: а) и б) если одно решение t=-1, а еще один корень попадет в любой из промежутков и ему будут соответствовать два решения:

Рисунок 2

Или наоборот, в) и г) одно решение t=1, а второй  корень попадет в любой из промежутков и ему будут соответствовать два решения:

Рисунок 3

Рассмотрим все их подробно.

а) Для того, чтобы один корень был t=-1, а второй попал бы в промежуток (0;1), достаточно выполнения условий:

    \[\begin{Bmatrix}{f(-1)=0}\\{f(0)<0}\\{f(1)>0}\end{matrix}\]

Тогда получим систему:

    \[\begin{Bmatrix}{a^3-6a^2+10a-3=0}\\{ a(a-2)(a-3)<0}\\{a^3-4a^2+2a+5>0}\end{matrix}\]

Вычитая из неравенства уравнение, получим:

    \[2a^2-8a+8>0\]

    \[a^2-4a+4>0\]

Это неравенство верно всегда, кроме a=2.

Решение второго неравенства a \in (-\infty; 0) \cup (2;3).

Теперь найдем решение уравнения. Делителями свободного члена являются числа 1;-1;3;-3. По схеме Горнера попробуем разделить уравнение по очереди на a-1; a+1; a-3; a+3. Деление на a-3 приносит результат:

    \[a^3-6a^2+10a-3=(a-3)(a^2-3a+1)\]

Корнями будут являться a=3, a=\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}.

Из этого набора a=3 не подходит, мы это проверяли ранее, a=\frac{3 - \sqrt{5}}{2}  – не попадает в решения неравенства. А корень a=\frac{3 + \sqrt{5}}{2} – подходит.

б) Теперь второй случай рисунка 2. Здесь потребуем, чтобы вершина параболы оказалось между точками (-1) и 0:

    \[\begin{Bmatrix}{f(-1)=0}\\{f(0)>0}\\{-1<-\frac{b}{2a}<0}\end{matrix}\]

Тогда получим систему:

    \[\begin{Bmatrix}{a^3-6a^2+10a-3=0}\\{ a(a-2)(a-3)>0}\\{-1<-\frac{(a-2)^2}{2}<0}\end{matrix}\]

Решения уравнения уже найдены, решения неравенства a \in (0;2) \cup (3; +\infty).

В последнее неравенство системы подставим уже найденные ранее корни и понимаем, что они не подходят.

Случай в):

    \[\begin{Bmatrix}{f(1)=0}\\{f(0)<0}\\{f(-1)>0}\end{matrix}\]

Тогда получим систему:

    \[\begin{Bmatrix}{a^3-6a^2+10a-3=0}\\{ a(a-2)(a-3)<0}\\{a^3-6a^2+10a-3>0}\end{matrix}\]

Аналогично, сложим неравенство с уравнением и получим:

    \[-2a^2+8a-8>0\]

    \[a^2-4a+4<0\]

Полный квадрат не может быть отрицателен, следовательно, здесь нет решений.

Случай г):

    \[\begin{Bmatrix}{f(1)=0}\\{f(0)>0}\\{0<-\frac{b}{2a}<1}\end{matrix}\]

Тогда получим систему:

    \[\begin{Bmatrix}{a^3-4a^2+2a+5=0}\\{ a(a-2)(a-3)>0}\\{0<-\frac{(a-2)^2}{2}<1}\end{matrix}\]

Замечаем, что условие на вершину параболы не выполняется: полный квадрат, перед которым знак минус. Так что здесь тоже нет решений.

В итоге ответ: a \in \{0\}; \{\frac{3 + \sqrt{5}}{2}\}; \{2\}.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *