Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Параметры (18 (С5))

Количество решений в задаче с параметром

В этой задаче нужно очень внимательно разобрать все возможные варианты, которые могут обеспечить наличие трех решений исходного уравнения. Всегда для этого полезно нарисовать картинку: так проще провести анализ и наложить условия, которые помогут проще найти значения параметра.

При каком значении параметра уравнение

   

на отрезке имеет три решения?

Введем замену , .

Глядя на тригонометрический круг, понимаем, что при имеем три решения () – красные точки на рисунке. В точках и получим одно решение (синие точки), а во всех квадрантах – по 2.

Рисунок 1

Уравнение после замены:

   

Рассматриваем случай :

   

   

Теперь полученные значения параметра надо обязательно проверить.

При :

   

   

Подходит один корень, , при этом получаем желаемые три корня исходного уравнения, и значение параметра, следовательно, тоже подходит.

При :

   

   

И это значение параметра годится, так как получили один корень и три решения исходного уравнения.

При :

   

   

Это значение параметра не годится, так как получили одно решение, соответствующее ,  и три решения исходного уравнения при .

Рассмотрим еще два случая, которые нас могут устроить: а) и б) если одно решение , а еще один корень попадет в любой из промежутков и ему будут соответствовать два решения:

Рисунок 2

Или наоборот, в) и г) одно решение , а второй  корень попадет в любой из промежутков и ему будут соответствовать два решения:

Рисунок 3

Рассмотрим все их подробно.

а) Для того, чтобы один корень был , а второй попал бы в промежуток , достаточно выполнения условий:

   

Тогда получим систему:

   

Вычитая из неравенства уравнение, получим:

   

   

Это неравенство верно всегда, кроме .

Решение второго неравенства .

Теперь найдем решение уравнения. Делителями свободного члена являются числа . По схеме Горнера попробуем разделить уравнение по очереди на . Деление на приносит результат:

   

Корнями будут являться , .

Из этого набора не подходит, мы это проверяли ранее,   – не попадает в решения неравенства. А корень – подходит.

б) Теперь второй случай рисунка 2. Здесь потребуем, чтобы вершина параболы оказалось между точками (-1) и 0:

   

Тогда получим систему:

   

Решения уравнения уже найдены, решения неравенства .

В последнее неравенство системы подставим уже найденные ранее корни и понимаем, что они не подходят.

Случай в):

   

Тогда получим систему:

   

Аналогично, сложим неравенство с уравнением и получим:

   

   

Полный квадрат не может быть отрицателен, следовательно, здесь нет решений.

Случай г):

   

Тогда получим систему:

   

Замечаем, что условие на вершину параболы не выполняется: полный квадрат, перед которым знак минус. Так что здесь тоже нет решений.

В итоге ответ: .

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *