Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Переменный ток, Электро-магнитные колебания

Колебания в резонансном контуре

Электромагнитные колебания в контуре – одна из сложных тем ЕГЭ. Энергия переходит из одной формы в другую и концентрируется то в конденсаторе, то в катушке. Период колебаний энергии – вдвое меньше, чем  период колебаний в контуре (энергия колеблется с двойной частотой).

Задача 1. Колебательный контур состоит из катушки индуктивности и двух одинаковых конденсаторов, включенных параллельно. Период собственных колебаний в контуре T_1 = 20 мкс. Чему будет равен период T_2‚ если конденсаторы включить последовательно?

Емкость цепи равна C+C=2C, так как конденсаторы включены параллельно. Тогда период колебаний:

    \[T_1=2\pi \sqrt{2LC}\]

Теперь, если мы включим конденсаторы последовательно, то емкость будет равна

    \[C_1=\frac{C^2}{2C}=\frac{C}{2}\]

Тогда

    \[T_2=2\pi \sqrt{\frac{LC}{2}}\]

То есть подкоренное выражение стало меньше в 4 раза, а значит, период стал меньше вдвое.

Ответ: T_2=10 мкс.

Задача 2. В колебательном контуре емкость конденсатора C = 10 мкФ, индуктивность катушки L=0,1 Гн, амплитуда напряжения на конденсаторе U_m = 4 В. В некоторый момент времени напряжение на конденсаторе U = 1 В. Найдите энергию магнитного поля W_m в этот момент.
Амплитуда напряжения позволяет найти полную энергию:

    \[W=\frac{CU_m^2}{2}=\frac{10^{-5}\cdot16}{2}=8\cdot10^{-5}\]

Так как напряжение на конденсаторе в некоторый момент времени равно 1 В, то в этот момент его энергия равна

    \[W_t=\frac{CU^2}{2}=\frac{10^{-5}\cdot1}{2}=0,5\cdot10^{-5}\]

Следовательно, энергия магнитного поля равна

    \[W_m=W-W_t=(8-0,5) \cdot10^{-5}\]

Ответ: W_m=75 мкДж


Задача 3. Чему равен период свободных электрических колебаний в контуре, если максимальный заряд конденсатора q_0 = 10^{-6} Кл, а максимальная сила тока в контуре I_0 = 2\cdot10^{-3} А?

Полная энергия поля равна

    \[W=\frac{CU_m^2}{2}=\frac{q_0^2}{2C}=\frac{LI_0^2}{2}\]

Откуда

    \[CL=\frac{q_0^2}{I_0^2}\]

Тогда период равен

    \[T=2\pi\sqrt{LC}=2\pi \frac{q_0}{I_0}=\pi\cdot10^{-3}\]

Ответ: T=\pi\cdot10^{-3} c.

Задача 4. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью C= 400 пФ и катушки индуктивности L= 10 мГн (см. рис.). Какова амплитуда колебаний силы тока I_m, если амплитуда колебаний напряжения U_m = 600 В?

К задаче 4

Определим угловую частоту:

    \[\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}=500000\]

Ток может быть найден по формуле:

    \[I_m=\frac{U_m}{\omega L}=\frac{600}{500000\cdot10\cdot10^{-3}}=0,12\]

Ответ: 0,12 А
Задача 5. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 1 мкФ и катушки индуктивности 4 Гн. Амплитуда колебаний заряда конденсатора 100 мкКл. Напишите уравнение зависимости напряжения на конденсаторе от времени U(t).

Общий вид зависимости напряжения от  времени

    \[U(t)=U_m \sin (\omega t+\psi_0)\]

То есть нужно определить угловую частоту и амплитуду напряжения.

    \[\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}=500\]

Полная энергия поля равна

    \[W=\frac{CU_m^2}{2}=\frac{q_0^2}{2C}=\frac{LI_0^2}{2}\]

Откуда

    \[CL=\frac{q_0^2}{I_0^2}\]

    \[I_0=\frac{q_0}{\sqrt{CL}}=q_0 \omega=10^{-4}\cdot500=0,05\]

Тогда

    \[U_m=I_m \omega L=0,05\cdot500\cdot4=100\]

Записываем зависимость напряжения от времени:

    \[u=100\sin 500t\]

Задача 6. Два конденсатора C_1 = 2 мкФ, C_2= 8 мкФ и катушка индуктивности L = 1,6 Гн соединены по схеме (см. рис.). В начальный момент ключ в цепи конденсаторов разомкнут, конденсатор C_2 не заряжен, ток в катушке отсутствует, хотя конденсатор C_1 заряжен до напряжения U = 20 В. Какова амплитуда силы тока в катушке при установившихся колебаниях после замыкания ключа?

К задаче 6

На конденсаторе C_1 накоплен заряд, которым он «поделится» с конденсатором C_2. «Дележ» произойдет так, что

    \[q_1=q_1'+q_2'\]

Но напряжение на конденсаторах одно и то же:

    \[U=\frac{q_1'}{C_1}=\frac{q_2'}{C_2}\]

    \[q_2'=C_2\frac{q_1'}{C_1}\]

Тогда

    \[C_1U=q_1'(1+\frac{C_2}{C_1})\]

Откуда:

    \[q_1'=\frac{UC_1^2}{C_1+C_2}=\frac{20\cdot4\cdot10^{-12}}{10^{-5}}=8\cdot10^{-6}\]

    \[q_2'=\frac{UC_1C_2}{C_1+C_2}=\frac{20\cdot4\cdot4\cdot10^{-12}}{10^{-5}}=32\cdot10^{-6}\]

То есть q_1=q_1'+q_2'=10^{-5}.

Определяем ток:

    \[I_0=\frac{q_1}{\sqrt{CL}}\]

Емкость двух конденсаторов, соединенных параллельно, равна C_1+C_2=10 мкФ.

    \[I_0=\frac{4\cdot10^{-5}}{\sqrt{10^{-5}\cdot1,6}}=10^{-2}\]

Ответ: 0,01 А.
Задача 7. По условию предыдущей задачи определите период изменения энергии магнитного поля катушки. Он вдвое меньше периода колебаний.

    \[\frac{T}{2}=\pi \sqrt{LC}=\pi \sqrt{1,6\cdot10^{-5}}=4\pi\cdot10^{-3}=12,56\cdot10^{-3}\]

Ответ: T_m=12,56\cdot10^{-3} c

Задача 8. Конденсатор емкостъю 1 мкФ зарядили до максимапьного заряда 4 мкКл и замкнули на катушку с индуктивностью 0,12 Гн. Пренебрегая активным сопротивлением соединительных проводов контура, определите, каким будет мгновенное значение тока в контуре в тот момент, когда энергия контура будет распределена между электическим и магнитным полем в соотношении \frac{W_m}{W_e}=3.

Определим амплитуду напряжения:

    \[U_m=\frac{q}{C}=4\]

Полная энергия поля равна

    \[W=\frac{CU_m^2}{2}=\frac{10^{-6}\cdot16}{2}=8\cdot10^{-6}\]

Откуда

    \[W_m+W_e=W\]

    \[W_m+\frac{W_m}{3}=W\]

    \[W_m=8\cdot10^{-6}\cdot\frac{3}{4}=6\cdot10^{-6}\]

    \[W_e=2\cdot10^{-6}\]

    \[I=\sqrt{\frac{ 2W}{L}}=10^{-2}\]

Ответ: 0,01 А

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *